1、1.函數(shù)的定義 （1）映射的定義： (2) 一一映射的定義： (3)函數(shù)的定義： 2.函數(shù)的性質(zhì) （1）定義域： （2）值域： （3）奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮） 定義： 判斷方法：.定義法 步驟：a.求出定義域； b.判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； c.求； d.比較或的關(guān)系。 圖象法 已知： 若非零函數(shù)的奇偶性相同，則在公共定義域內(nèi)為偶函數(shù)若非零函數(shù)的奇偶性相反，則在公共定義域內(nèi)為奇函數(shù)常用的結(jié)論：若是奇函數(shù)，且，則；若是偶函數(shù)，則；反之不然。 （4）單調(diào)性（在定義域的某一個(gè)子集內(nèi)考慮） 定義： 證明函數(shù)單調(diào)性的方法： .定義法 步驟： a.設(shè)； b.作差； （一般結(jié)果要分解為若干個(gè)因式的乘

2、積，且每一個(gè)因式的正或負(fù)號(hào)能清楚地判斷出） c.判斷正負(fù)號(hào)。 用導(dǎo)數(shù)證明： 若在某個(gè)區(qū)間A內(nèi)有導(dǎo)數(shù)， 則在A內(nèi)為增函數(shù)； 在A內(nèi)為減函數(shù)。求單調(diào)區(qū)間的方法： a.定義法： b.導(dǎo)數(shù)法： c.圖象法： d.復(fù)合函數(shù)在公共定義域上的單調(diào)性：若f與g的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)； 若f與g的單調(diào)性相反，則為減函數(shù)。 注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。一些有用的結(jié)論： a.奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同； b.偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反； c.在公共定義域內(nèi)增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。 d.函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上是單調(diào)遞減。 （5

3、）函數(shù)的周期性 定義：若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立 則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。 例：（1）若函數(shù)在R上是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且 則關(guān)于 對(duì)稱；的周期為 ；在（1，2）是 函數(shù)（增、減）；=，則 。 （2）設(shè)是定義在上，以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上，=,則= 。3、函數(shù)的圖象 1、基本函數(shù)的圖象：（1）一次函數(shù)、（2）二次函數(shù)、（3）反比例函數(shù)、（4）指數(shù)函數(shù)、（5）對(duì)數(shù)函數(shù)、（6）三角函數(shù)。 2、圖象的變換 （1）平移變換函數(shù)的圖象是把函數(shù)平；函數(shù)的圖象是把函數(shù)右平；函數(shù)的圖象是把函數(shù)平；函數(shù)的圖象是把函數(shù)平。 （2）對(duì)稱變換

4、函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=0對(duì)稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；如果函數(shù)對(duì)于一切都有，那么 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。 與關(guān)于直線對(duì)稱。 （3）伸縮變換的圖象，可將的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的倍。的圖象，可將的圖象上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的倍。例：（1）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1），則的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn) 。 （2）由函數(shù)的圖象，通過(guò)怎樣的變換得到的圖象？4、函數(shù)的反函數(shù) 1、求反函數(shù)的步驟： 求原函數(shù)，的值域B把看作方程，解出；x，y互換的的反函數(shù)為，。 2、函數(shù)與反函數(shù)之間的一個(gè)有用的結(jié)論： 3、原函數(shù)

5、在區(qū)間上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增；但一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)。例1：，的反函數(shù)為 。 2：已知，求的反函數(shù)。 3：設(shè) 。 4：四十五分鐘能力訓(xùn)練題十（13題）。 5、函數(shù)、方程與不等式 1、“實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；當(dāng)=0時(shí)，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為。若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形？ 2、利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論一元二次方程實(shí)根的分布。 設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)根。若則；當(dāng)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，時(shí)，當(dāng)在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，若時(shí) 注意：根據(jù)要求先畫出拋物線，然后寫出圖象成立的充要條件。注意端點(diǎn)，驗(yàn)證端點(diǎn)。例：1、對(duì)于定義在R上的函數(shù)若其所以的函數(shù)值都不超過(guò)1，則m的取值范圍 。 2、已知函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)，則 。 3