1、含參數(shù)的不等式( 2 )3含參數(shù)的不等式的成立問題首先請看這樣一個題目：已知函數(shù)()若的定義域,試求的取值范圍.() 若在上有意義, 試求的取值范圍.()若的解集為,試求的值. 這三問中,() 的定義域非空,相當于存在實數(shù),使成立, 是能成立問題.()在區(qū)間上有意義,等價于在恒成立, 是恒成立問題.()的解集為,等價于不等式的解集為;是恰成立問題.在近幾年的高考數(shù)學試題中，常常出現(xiàn)這類含參數(shù)的不等式成立的問題，這類問題與函數(shù)，導數(shù)，方程等知識綜合在一起，演繹出一道道設(shè)問新穎，五光十色的題目，這些試題的思辨性很強，往往讓人眼花繚亂，使解題者不知所措，這些題目從解題目標上看，基本上有三種，即求參數(shù)

2、的取值范圍，使含參數(shù)的不等式恒成立，能成立或恰成立.（1） 不等式的恒成立, 能成立, 恰成立等問題的操作程序用函數(shù)思想作指導,解不等式的恒成立、能成立、恰成立問題的操作程序基本上是這樣的:恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最小值大于,若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于.能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最大值大于,若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, 則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于.恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為,若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解

3、集為,如果從解題模式看,好象問題很簡單, 但是, 由于試題的結(jié)構(gòu)千變?nèi)f化, 試題的設(shè)問方式各不相同, 就使得題目變得十分靈活, 如何對這類題目進行思辨和模式識別, 把問題化歸到常見的基本的題型, 是高考復習的一個課題. （2）不等式的恒成立問題【例1】設(shè),若僅有一個常數(shù)使得對于任意的,都有滿足方程,這時的取值集合為 【解】 . 由得,則在上是減函數(shù),本題等價于在上恒成立,因此有 即,解得.因為常數(shù)是唯一的,所以即的取值集合為.【例2】若上是減函數(shù)，則的取值范圍是 ( )A. B. C. D. 【解】C. 由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故為正確答案【例3】已知函數(shù)（），對于，

4、總有成立，則實數(shù)a的值為【解】4. 當時,;當時, 可化為 ,設(shè),則,所以,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因此,當時, 最大, ,從而.當時, 可化為 ,設(shè),則,所以,在上單調(diào)遞增,因此,當時, 最小, ,從而.由以上,【例4】設(shè)函數(shù).() 當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;() 若函數(shù)僅在處有極值,求的取值范圍;() 若對于任意的,不等式在上恒成立, 求的取值范圍.【解】() 當時, 令,得當變化時, 的變化情況如下:負正負正減極小值增極大值減極小值增所以在和內(nèi)是增函數(shù),在和內(nèi)是減函數(shù).() ,顯然不是方程的根,為使函數(shù)僅在處有極值,必須使恒成立,于是有解得.這時,是的唯一的極值.() 由條件可知, 從

5、而恒成立.因此,當時, 當時,所以,函數(shù)在區(qū)間上的最大值是與中的最大者.于是對于任意的,不等式在上恒成立的充分必要條件是 即在上恒成立.由,所以的取值范圍為【例5】已知函數(shù)在與時都取得極值()求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.()若對，不等式恒成立，求的取值范圍?！窘狻?) ，由，得,.，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：（¥，）（，1）f¢（x）00f（x）增極大值減極小值增所以函數(shù)的遞增區(qū)間是與,遞減區(qū)間是() ，當時，c為極大值，而，則為最大值。要使,恒成立，只需.解得或.【例6】已知向量若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求t的取值范圍.【解】 依定義在區(qū)間上是增函數(shù)等價于在區(qū)間上恒成立;而

6、在區(qū)間上恒成立又等價于在區(qū)間上恒成立;設(shè)進而在區(qū)間上恒成立等價于考慮到在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),則.于是, t的取值范圍.是.【例7】設(shè)數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上.（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m.【解】（）依題意得，即.當n2時，;當n=1時，×-2×1-1-6×1-5所以.（）由（）得，故=.因此，使得成立的必須滿足,即，即,故滿足要求的最小整數(shù)為10.需要注意的是，在求得參數(shù)的范圍時，什么時候有等號，什么時候沒有等號？如例5，要使,恒成立，只需，而.解可得的范圍， 而例6，要使在區(qū)間上恒成立等價于考

7、慮到在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),的最大值應在處取得，但是，函數(shù)的定義域是一個開區(qū)間 ，沒有函數(shù)值，只是在開區(qū)間 上的上確界，正因為在取不到值，所以時，仍然有成立，所以應該為.如果本題改為在閉區(qū)間上恒成立,則只有,這就是例5的情形.再如例7,第（）問等價于使得恒成立,顯然, 沒有最大值,但是有是的極限值,這里用極限值代替最大值,此時也需加上等號, 即,.【例8】已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.【解】先看如下的解法:令,要使在區(qū)間上是減函數(shù),只要在區(qū)間上是減函數(shù),且在區(qū)間上.因此,需,的最小值應在時取得,然而,題目給出的是開區(qū)間,為此應有 解得.【例9】設(shè)函數(shù)若對所有的都有成立，求實數(shù)

8、的取值范圍?！窘狻窟@是一個恒成立問題,由于不等式的兩邊都含有變量,所以可以構(gòu)造函數(shù)于是問題轉(zhuǎn)化為對所有的恒成立對所有的成立.下面求的最小值.令得 減最小值 增由以上, 在上是減函數(shù),而在上是增函數(shù),(1) 若,即,由的單調(diào)性可知,在時, ,若,即,由的單調(diào)性可知, .此時, 不恒成立.由以上, 實數(shù)的取值范圍是.【例10】已知函數(shù),其中為參數(shù),且.() 當時,判斷函數(shù)是否有極值;() 要使函數(shù)的極小值大于零,求參數(shù)的取值范圍;() 若對()中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.【解】() 當時, ,則函數(shù)在上是增函數(shù),所以沒有極值.() ,令得.(1) 當時,

9、極大值極小值因此,函數(shù)在處取得極小值.解得.因為,所以或.(2) 當時,極大值極小值因此,函數(shù)在處取得極小值但是, 與矛盾,此時無解.綜合以上, 參數(shù)的取值范圍是.() 由(), 函數(shù)的增區(qū)間是和,由題意. 應是它們的子區(qū)間.于是有或在這里,出現(xiàn)了不等式,這實際上是恒成立問題,即不等式在時恒成立,求的取值范圍.因此,當時,不等式恒成立.解得,由以上, 實數(shù)的取值范圍是【例11】已知函數(shù)，其中是的導函數(shù).（）對滿足的一切的值，都有，求實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，當實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點【解】只考慮（）.解法1.由題意，這一問表面上是一個給出參數(shù)的范圍，解不等式的問題，

10、實際上，把以為變量的函數(shù)，改為以為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立的問題，即 令，則對，恒有，即，從而轉(zhuǎn)化為對，恒成立，又由是的一次函數(shù)，因而是一個單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點得到.為此只需 即 解得.故時，對滿足的一切的值，都有.解法2.考慮不等式.由知,于是,不等式的解為 .但是,這個結(jié)果是不正確的,因為沒有考慮的條件,還應進一步完善.為此,設(shè).不等式化為恒成立,即.由于在上是增函數(shù),則,在上是減函數(shù),則所以, .故時，對滿足的一切的值，都有.【例12】求與拋物線相切于坐標原點的最大圓的方程.【解】因為圓與拋物線相切于坐標原點,所以,可設(shè).由題意, 拋物線上的點除坐標原點之外,都在圓

11、的外邊.設(shè)和圓心的距離為,則本題等價于 在的條件下,恒成立.整理式得 于是,本題又等價于式在的條件下,恒成立.即,由得 ,即.所以,符合條件的最大圓的半徑是,最大圓的方程為【例13】三個同學對問題“關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 【解】關(guān)鍵在于對甲，乙，丙的解題思路進行思辨，這一思辨實際上是函數(shù)思想的反映.設(shè).甲的解題思路，實際上是針

12、對兩個函數(shù)的，即把已知不等式的兩邊看作兩個函數(shù)，設(shè)其解法相當于解下面的問題：對于,若恒成立,求的取值范圍.所以，甲的解題思路與題目,恒成立,求的取值范圍的要求不一致.因而, 甲的解題思路不能解決本題.按照丙的解題思路需作出函數(shù)的圖象和的圖象,然而,函數(shù)的圖象并不容易作出.由乙的解題思路,本題化為在上恒成立,等價于時, 成立.由在時,有最小值,于是,.【例14】已知兩個函數(shù)，其中為實數(shù).()若對任意的，都有成立，求的取值范圍；()若對任意的，都有，求的取值范圍.()若對于任意,總存在使得成立，求的取值范圍.【解】 () 令,問題轉(zhuǎn)化為 在 上恒成立,為此只需在上的最小值 即可, 由, 得 或 .

13、 , 由, 解得 . ()由題意可知當時,都有. 由 得., , . 由得, , , ,.則, 解得. () 若對于任意,總存在使得成立，等價于的值域是的值域的子集，由()可知，在的值域為，在的值域為，于是，即滿足解得?！纠?5】設(shè)，對任意實數(shù)，記（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（）當時，對任意正實數(shù)成立；（）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立【解】（I）所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（II）本問有兩小問,都是恒成立問題,但是,設(shè)問的方式不同.其中,第（i）問是一個在區(qū)間內(nèi)任意正實數(shù)恒成立問題,而第（）問則是一個在唯一一個值得一提上,對任意正實數(shù)恒成立問題問題,因而,解法

14、上,也有一些區(qū)別.（i）解法1.令，則，當時，由，得，當時，所以在內(nèi)的最小值是故當時，對任意正實數(shù)成立解法2.對任意固定的，令，則，由，得當時， 當時，.所以當時，取得最大值因此當時，對任意正實數(shù)成立（ii）解法1.由（i）得，對任意正實數(shù)成立即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立下面證明的唯一性：當，時，由（i）得， 再取，得，所以， 即時，不滿足對任意都成立故有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立解法2.對任意，因為關(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：，即，又因為，不等式成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立【例16】設(shè)函數(shù)（），其中（）當時

15、，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的極大值和極小值；（）當時，證明存在，使得不等式對任意的恒成立【解】（）略（）略（）本問也是恒成立問題,但是,設(shè)問的方式不是求使不等式恒成立的的范圍,而是證明,在區(qū)間上存在使不等式恒成立的值.由，得，當時，由（）知，在上是減函數(shù)，要使，只要即 設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為要使式恒成立，即對恒成立,等價于,即，解得或由于.所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立【練習題】1.已知函數(shù).()若此函數(shù)在上有意義, ,試求的取值范圍.() 若此函數(shù)的定義域是,試求的值.2.已知函數(shù)()若的定義域,試求的取值范圍.() 若在上有意義, 試求的取值范圍.()若的解集為,

16、試求的值. 3.已知 在區(qū)間上是增函數(shù).()求實數(shù)的值組成的集合;()設(shè)關(guān)于的方程的兩個非零實根為.試問:是否存在實數(shù),使得不等式對任意及恒成立?若存在,求的取值范圍; 若不存在,請說明理由.4.若函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù), 在區(qū)間上為增函數(shù),試求的取值范圍.).【練習題參考解答】1.要注意這兩問的區(qū)別,第()問是指在區(qū)間上恒成立,是一個恒成立問題,而第()問求定義域,則要求不等式只能在在區(qū)間上成立,而在區(qū)間之外都不成立,因此是一個恰成立的問題.() 函數(shù)在上有意義,等價于在區(qū)間上恒成立,即恒成立.記,在上是增函數(shù),因此的最大值為.恒成立,等價于于是,的取值范圍為.()函數(shù)的定義域是,應滿足,解

17、這個不等式,得由得 , ,令 ,解得.對于第()問也可以這樣思考:由于在區(qū)間上恰成立,則時,必有,即 2. 這三問中,第()問是能成立問題,第()問是恒成立問題,第()問是恰成立問題.() 的定義域非空,相當于存在實數(shù),使成立,即的最大值大于0成立, 解得 或.()在區(qū)間上有意義,等價于在恒成立,即的最小值大于0.解不等式組或 即或解得()的解集為,等價于不等式的解集為;于是有,這等價于方程的兩個根為2和3, 于是可解得.3. 第()問相當于在區(qū)間上是增函數(shù), 求實數(shù)的取值范圍.,由已知, 在區(qū)間上是增函數(shù),則等價于對恒成立.即對恒成立.這是一個含參數(shù)的不等式的問題,如何處理這一問題呢?首先是函數(shù)思想起了作用.把看作函數(shù)！ 記.要使對恒成立,只要就可以了.所以問題轉(zhuǎn)化為求的最大值.由于時,為減函數(shù), 時,為增函數(shù),因此,又要進行分類討論.當時,由的圖象可以看出,最大. 解不等式組得 當時,由的圖象可以看出,最大. 解不等式組得 綜合以上得.即.可以知道,在上的最大值只能在區(qū)間的端點得到,因此只要解就可以得到.下面研究第(