1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫：劉楚中教案制作：劉楚中 第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本章學(xué)習(xí)要求： 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可 導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。 熟悉一階微分形式不變性。 熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則，能熟練運(yùn)用求導(dǎo)的基本公式、 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程 求導(dǎo)法、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)和微 分。 理解 n 階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求常見(jiàn)函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)。 熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問(wèn)題函數(shù)方 程求解、不等式的證明等）。 掌握羅必塔法則并能熟練運(yùn)用它計(jì)

2、算有關(guān)的不定式極限。 第五節(jié) 微分中值定理第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一. 費(fèi)馬定理二. 羅爾中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理費(fèi)馬定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理 微分中值定理xxfxxfxfx)()(lim)(0函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義為即函數(shù)在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)等于0 x時(shí), 函數(shù)xxfxxf)()(的極限值.在點(diǎn) x 處的差商導(dǎo)數(shù)與差商 我們常常需要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所給出的局部的或“小范圍性質(zhì), 推出其整體的或“大范圍性質(zhì). 為此, 我們需要建立函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式, 這些關(guān)系式稱為“微分學(xué)中值定理”. 這些中值定理的創(chuàng)建要?dú)w功于費(fèi)馬、拉格朗日、柯

3、西等數(shù)學(xué)家.首先, 從直觀上來(lái)看看“函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式”是怎么一回事.Oxy1x2x可微 )(xfy ABP0 x1212)()( xxxfxfkAB的斜率：割線)( 0 xfkP處切線的斜率：點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與差商相等！1212)()()(xxxfxff將割線作平行移動(dòng), 那么它至少有一次會(huì)達(dá)到這樣的位置：在曲線上與割線距離最遠(yuǎn)的那一點(diǎn)P 處成為切線, 即在點(diǎn)P 處與曲線的切線重合. , ),(21xx也就是說(shuō), 至少存在一點(diǎn)使得該命題就是微分中值定理.極值的定義若內(nèi)有定義在設(shè) , )(U )( 0 xxf , )(U )()(00 xxxfxf, )( )( 0的極大值為則稱xfx

4、f , )(U )()(00 xxxfxf, )( )( 0的極小值為則稱xfxf. 0為函數(shù)的極大點(diǎn)x. 0為函數(shù)的極小點(diǎn)x I , I )( 內(nèi)某點(diǎn)且在內(nèi)有定義在區(qū)間設(shè)xf則必有存在若處取極大（?。┲?, )( . f . 0)(f一. 費(fèi)馬定理 可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零.Oxy)(xfy abP費(fèi)馬定理的幾何解釋 如何證明？ , I )( 內(nèi)有定義在區(qū)間設(shè)xf處且在 x),( f取極大值則有)(U )()(xfxf則存在若 , )( f , 0)()(lim)(0 xfxffx , 0)()(lim)(0 xfxffx于是. 0)(f（極小值類似可證）

5、)(是特殊情況Cxf證證)( )b ,()(xfaCxf可保證 . b , 內(nèi)取到它的最大最小值在 aOxyab)(xfy 但是不保證在內(nèi)部！Oxy)(xfy Pab)()(bfaf)b ,()(aCxf存在在 ) ,( )(baxf 0)(f水平的可保證在內(nèi)部一點(diǎn)取到極值二. 羅爾中值定理設(shè); ) ,()( ) 1 (baCxf; ) ,( )( )2(內(nèi)可導(dǎo)在baxf, )()( )3(bfaf則至少存在一點(diǎn). 0)( , ) ,(fba使得Oxy)(xfy abAB 實(shí)際上, 切線與弦線 AB 平行. ) ,()( baCxf上取到它的最大值、必在 , )( baxf最小值至少各一次.)

6、(min , )(max , ,xfmxfMbaxbax令mM ) 1 (若 , )( baxMxfm , )( baxmxf. 0)( , ) ,( fba均有故證證) ( )2(mMMm即若 ) ,()( baCxf上取到它的最大值、必在 , )( baxf最小值至少各一次. , )()( bfaf又 . )( mMbxaxxf和處分別取到和不能同時(shí)在故使得即至少存在一點(diǎn) , ) ,( ba.)( )(mfMf或由費(fèi)馬定理可知：. ) ,( 0)(baf , , , dcbadcba皆為實(shí)數(shù)設(shè), )()()()(dxcxbxaxxf . , 0)( 并指出根所在區(qū)間僅有三個(gè)實(shí)根證明方程 x

7、f , ) , , ,()(dccbbaCxf, 0)()()()( dfcfbfaf又, ),( , )(內(nèi)可微在是四次多項(xiàng)式xf得上運(yùn)用羅爾中值定理在 , , , , , , dccbba . 0)()()(321fff例1證證其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321dccbba. 0)( 至少有三個(gè)實(shí)根即 xf , )( 是四次多項(xiàng)式xf , )( 是三次多項(xiàng)式xf . 0)(至多有三個(gè)實(shí)根 xf綜上所述, 0)(僅有三個(gè)實(shí)根 xf. ) ,( ), ,( ), ,(中分別在dccbba證明內(nèi)可導(dǎo)在設(shè) , ) ,( , ) ,()( babaCxf)()()()( 222xf

8、abafbfx . ) ,( 內(nèi)至少有一根在ba0)()()()( 222xfabafbfx0) )()()()( (222xfabafbfx)()()()(222afabafbfa)()()()(222bfabafbfb)()(22afbbfa連續(xù)可微端點(diǎn)函數(shù)值相等例2分析證明內(nèi)可導(dǎo)在設(shè) , ) ,( , ) ,()( babaCxf)()()()( 222xfabafbfx . ) ,( 內(nèi)至少有一根在ba例2證證)()()()()( 222xfabafbfxxF令 , )( 得的連續(xù)性和可導(dǎo)性則由xf, ) ,( )( , ) ,()(內(nèi)可導(dǎo)在baxFbaCxF)()()()( 22af

9、bbfabFaF又由羅爾定理, 至少存在一點(diǎn)使得 ) ,(ba0)()()()( 2)(22fabafbfF. ) ,( 內(nèi)至少有一根方程在即ba 分析問(wèn)題的條件, 作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵 .滿足其中實(shí)數(shù) , , 1naa 012) 1(3121naaann 證明方程0) 12cos(3coscos21xnaxaxan, 2 , 0 內(nèi)至少有一根在）（xnnaxaxaxFn) 12sin(123sin3sin)( 21令, )(02)0( FF則且滿足羅爾定理其它條件,使故 2 , 0 )(0) 12cos(3coscos)(21naaaFn例3證證 . 2 , 0 內(nèi)至少有一根即方程在）（

10、, ) ,( , ) ,()( )( 內(nèi)可導(dǎo)在、設(shè)babaCxgxf . 0)( 0)( 的一個(gè)根的兩各根之間至少有xgxf2)()()()()( )()(xgxgxfxgxfxgxf則的兩個(gè)根是如果 , 0)( , 21xfxx0)()()()(2211xgxfxgxf . ) 0)( (xg這時(shí)必須想想, 看能不能找到證明的方法.例4分析證明方程且 . 0)()()()( ), ,(xgxfxgxfbax, ) ,( , ) ,()( )( 內(nèi)可導(dǎo)在、設(shè)babaCxgxf證明方程且 . 0)()()()( ), ,(xgxfxgxfbax . 0)( 0)( 的一個(gè)根的兩各根之間至少有xg

11、xf例4證證. 0)( ) ,( , 21的兩個(gè)根是設(shè)xfbaxx . 0)( 21及其之間沒(méi)有根與在并設(shè)方程xxxg, )()()( xgxfxF令. 21xx 不妨假設(shè) . 0)( ）（此時(shí)xg, , )(21上滿足羅爾定理?xiàng)l件在xxxF則由已知條件可知:使得故至少存在一點(diǎn) , ) ,( 21xx0)()()()()()(2ggfgfF. , 0)()()()( 與已知矛盾從而gfgf該矛盾說(shuō)明命題為真 . , )(仍滿足羅爾定理?xiàng)l件xf 如果使用一次羅爾定理后, 能否再一次使用羅爾定理?例5證證 , ),( ), ,()(),( 內(nèi)二階可導(dǎo)在設(shè)babaCxgxf ),( ),()( ),

12、()( ),()( bacbgbfcgcfagaf且 ).()( ),( :gfba 使得至少存在一點(diǎn)證明 ,)()( ),()()( caxgxfx則令 . 0)( ),( ,11使得至少存在一點(diǎn)由羅爾中值定理ca 0.)( ),( ,22使得至少存在一點(diǎn)同理bc , )( , 21則再運(yùn)用羅爾中值定理上對(duì)函數(shù)在x ),(),( 21使得至少存在一點(diǎn)ba , 0)() )( ).()( gf 即例6證證 , 0)( , )( ),( afIxgxf且有上可微在區(qū)間設(shè) 0)()()( , , , 0)(xgxfxfIbabf證明方程).,( 0bax 至少存在一根 , ),( 0 ,)( 令所

13、以由于xeeexxx , )()()(xfexFxg . 0)()()() )()(0)(0)(0)(0000 xgexfexfxfexFxgxgxxxg , 0)()( , ),( ),()(bFaFbabaCxF且內(nèi)可導(dǎo)在 :則由已知條件可知 ),( :0使得至少存在一點(diǎn)故由羅爾中值定理bax . , 0)()()( , 0 000)(0即得所證故有因?yàn)閤gxfxfexg引理 1 , 0)()( , , )( bfafbaxf且上處處可導(dǎo)在設(shè) . 0)( ),( fba使得則至少存在一點(diǎn) 達(dá)布中值定理 ),()( , , )( bfafbaxf且上處處可導(dǎo)在設(shè) , )( )( 之間的任何一

14、個(gè)數(shù)值和則對(duì)介于bfaf .)( ),( fba使得都至少存在一點(diǎn) . )( 1 連續(xù)中不要求引理xf . 0)( , 0)( bfaf不妨設(shè) , 0)()()(lim 根據(jù)極限的保號(hào)性得由afaxafxfax ),( , 0)()(aUxaxafxf ).()( ),()( :11afxfbaaUx使得從而可推出 . , )( )( 上的最小值在不是由此斷定baxfaf . , )( )( ,上的最小值在不是可以斷定類似地baxfbf ),( )( ,使得內(nèi)點(diǎn)可知至少存在一點(diǎn)綜上所述ba . 0)( ),(min)(,fxffbax故由費(fèi)馬定理得 . 1 ,)()( 即可利用推論作輔助函數(shù)x

15、xfxF ).(),( )(),( 2 1 bfafbfaf可以換成中的導(dǎo)數(shù)和推論推論 請(qǐng)自己完成請(qǐng)自己完成!Oxy)(xfy abABABPabafbff)()()(如何描述這一現(xiàn)象三. 拉格朗日中值定理設(shè); ) ,()( ) 1 (baCxf, ) ,( )( )2(內(nèi)可導(dǎo)在baxf則至少存在一點(diǎn) , ) ,(使得baabafbff)()()()()()( abfafbf即Oxy)(xfy abAB 切線與弦線 AB 平行)()()()( axabafbfafyAB的方程：弦如何利用羅爾定理來(lái)證明？)()()()()()( axabafbfafxfx令則由已知條件可得：, ) ,()(ba

16、Cx . ) ,( )(內(nèi)可導(dǎo)在bax, 0)()( ba且故由羅爾定理, 至少存在一點(diǎn)使得 , ) ,(ba0)()()()(abafbff)()()( abfafbf即證證定理的證明方法很多, 例如, 可作輔助函數(shù))()()()()(xfabxafbfxF定理中的公式均可寫成還是不論 baba) , ( )()()(之間在baabfafbf拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(xxxfxfxxf) ( )(之間與在xxxxfy式可寫成拉格朗日中值定理的公) , ( |)(| | )()(|之間在baabfafbf？以得出其它的什么結(jié)論由拉格朗日中值定理可 )( )()()(abfafb

17、f)( )()()(1212xxfxfxf). ,( 0)( ) 1 (baxxf.)(常數(shù)xf. | )(| )2(Mxf. | | )()(|00 xxMxfxf).0( 0)( )3( xf)( )(xf還有什么？)(f ?)()()(abfafbf , I , . I , 0)( 21有則若xxxxf , 0)()()(2121xxfxfxf推論 1. I , )( , I , 0)( xCxfxxf則若 . )()(21xfxf推論 2)()() )()(xgxfxgxf , I )()( xxgxf若 , I , 0) )()()( xxgxfxF則. I )()( , I )()

18、( xCxgxfxxgxf則若( C 為常數(shù) ) . I , )()()(xCxgxfxF)()()(abfafbf推論 3)()()(abfafbf , ) )( ( | )(| 有界即若xfMxf . | |)(| | )()(| abMabfafbf則則且條件 ), ,( , | )(| ,baxMxf| )()(|abMafbf理上滿足拉格朗日中值定在若 , )( baxf 用來(lái)證明一些重要的不等式推論 4)()()(abfafbf . , I,1221xxxx不妨設(shè) )( )()()(211212xxxxfxfxf, )()( , I 0)( 12xfxfxxf則若, )()( ,

19、I 0)( 12xfxfxxf則若, )0)( 0)( , I )( xfxfxf且可導(dǎo)在區(qū)間若減少上單調(diào)增加在區(qū)間則)( I )( xf 用來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性在推論 4 中, , ) ,( , , )( 內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在如果babaxf )( , )0)( 0)( ,baxfxfxf則可推出且. )( ,baxf , )0)( 0)( 但僅在孤立點(diǎn)處出如果xfxf )( , 0)( 上嚴(yán)格單調(diào)增仍在區(qū)間則現(xiàn)Ixfxf )( , )0)( 0)( xfxfxfI則上如果在區(qū)間 ).( 嚴(yán)格單調(diào)減少上嚴(yán)格單調(diào)增加在區(qū)間I ).( 嚴(yán)格單調(diào)減少加推論 5)()( , I )( , )( agafx

20、gxf且內(nèi)可導(dǎo)在區(qū)間設(shè). ) I (a, I) ,( )()( baxxgxf若那么. ) ,( , )()(baxxgxf . 0)( , 0)( , )()()( axxgxfx則令再由推論 4 , 即得命題成立 . 該推論可以用來(lái)證明不等式.證證. ) ,( , 3的單調(diào)性討論xxyOxy3xy , 03)(23xxy , 0 時(shí)且僅當(dāng)x, 0 y. ) ,(3x故, ) ,(時(shí)x解例7 , 0 時(shí)當(dāng)證明：ba .lnaababbab)(1lnln)(1 abaababb即要證, b , , ln)( axxxf令, , )( 理?xiàng)l件上滿足拉格朗日中值定在則baxf故, )(1lnlnb

21、aabab從而 .lnaababbab例8證證. , 1 xeexx 時(shí)當(dāng)證明：) 1( ln1 xxx即要證)()()( abfafbf比較有上運(yùn)用在 , 01ln , 1 x . 1lnln1xx , , 1 ln)( 則由拉格朗日中值定理令xtttf).1 ( , 1) 1(11lnln xxxx得 . , 1 exexx 時(shí)故當(dāng)例9證證. 1 , 1 , 2arccosarcsin xxx證明： , 0)11(11)arccos(arcsin22xxxx, 1 , 1 時(shí)當(dāng)x) 1 , 1( arccosarcsin xCxx故從而計(jì)算得取 , 2 0 Cx . ) 1 , 1( 2a

22、rccosarcsinxxx例10證證 , ) 1 , 1 ()arccos(arcsin 可得由Cxx . 1 , 1 2arccosarcsinxxx延拓延拓!內(nèi)滿足關(guān)系式在若證明： ) ,( )( xf.)( , )()( , 1)0(xexfxfxff則. ) ,( , 1)( xexfx即要證), ,( ,)()( xexfxx令Cx )( 證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為xxxeexfexfx2)()()( ), ,( , 0 x例11證證). ,( ,)( xCx, 1)0( f又 )()( Cexfxx1)0()0( 0ef故 . 1C從而. ) ,( ,)(xexfx , )( , 523)(

23、2baxfxxxf在求設(shè) . 值理的上滿足拉格朗日中值定 , )( 滿足拉格朗日中值在易驗(yàn)證baxf. 定理的條件 , )2)(6)52(35)2(3 22abaabb由 , 6)(3 ab得 . 2 ab從而所求為 )()()( abfafbf例12解. 2 , 0 sin 上的單調(diào)性在討論xxy, ) 2 , 0 (sin Cxxy, )2 , 0( , 0cos1xxy. sin 2 , 0 xxy例13解. )1ln( , 0 xxx時(shí)：證明, ) , 0 , )1ln()( xxxxf令, ) ) , 0 ()( Cxf則, 0)0(f又 , ) 0( , 0111)(時(shí)xxxf故,

24、 )() , 0 xf從而 , )0( , 0)0()(xfxf即. )1ln( , 0 xxx時(shí)例14證. 1)1ln( , 0 xxxx時(shí)：證明, )1ln()( xxf令. ) , 0 , 1)( xxxxg那么. 0)0()0( gf又, 11)(xxf, )1 (1)(2xxg且, ) , 0( , )()(xxgxf故, ) , 0( , )()(xxgxf即. 1)1ln( , 0 xxxx時(shí), ) (0, )( ),(內(nèi)可導(dǎo)在xgxf例15證證的參數(shù)方程為設(shè)弧 AB , )()(battgxtfy斜率為上任意一點(diǎn)處的切線的則弧 AB)()(ddtgtfxy 的斜率為而弦 AB)()()()(agbgafbfkOxyAB)(xfy 在拉格朗日中值定理中, 將曲線用參數(shù)方程表示 , 會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)論？, ,P至少存在一點(diǎn)由拉格朗日中值定理使曲線在該點(diǎn)的切線與弦線平行, 即它們的斜率相等.則有點(diǎn)設(shè)對(duì)應(yīng)于 , , tP )0)( )()()()()(tggfagbgafbf注意:并不具備任意性,它們間的關(guān)系由曲線確定., )( )( 真正具有任意性時(shí)與當(dāng)tgtf.上述結(jié)論就是柯西定理 )( )( 之間與中曲線的參數(shù)方程表示式tgtf四. 柯西中值定理設(shè); ) ,()( , )( ) 1 (b