1、最優(yōu)控制習(xí)題及參考答案習(xí)題1求通過x(0) = 1 , x(1)= 2,使下列性能指標(biāo)為極值的曲線:t f 2J = / (x2+1)dtt0解：由已知條件知：to = 0 , tf = 1d由歐拉方程得：一(2x) = 0 dtx = C1x = C1t+ C2將x(0) = 1, x(1) = 2代入，有：C2 = 1, C1 = 1 *得極值軌線：x (t) = t+1習(xí)題2 求性能指標(biāo)： J =1 (x2 +1)dt/0在邊界條件x(0) = 0 , x(1)是自由情況下的極值曲線。奉 x*(t)%，解：由上題得：x*(t) = C1t + C2由x(0) = 0 得：C2 = 0?L

2、由 =2x(t f ) = 2C1 . = 0 t=t?xf于是：x* (t) = 0【分析討論】對(duì)于任意的 x(0) = X0 , x(1)自由。有：C2 = X0 , Cl = 0，即：x (t) = X0其幾何意義：x(1)自由意味著終點(diǎn)在虛線上任意點(diǎn)。習(xí)題3已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x1 (t) = x2 (t) , x2 (t) = u(t)邊界條件為：xi (0) = x2 (0) = 1 , x(3) = x2 (3) = 0 ,3 1試求使性能指標(biāo)J = J-u2(t)dt 2取極小值的最優(yōu)控制u* (t)以及最優(yōu)軌線x*(t)。2 ?解:由已知條件知：f = ? 2 ?H = 1

3、 u2?u 3THamiton 函數(shù)：H = L + 入 f?人=0由協(xié)態(tài)方程：？c1 _ )? 2 - - 1? X=C得：? 1? = - C1t + C2?H由控制方程：_. . _n =u + 2 = 0?u得：u =-卜=Gt - C2由狀態(tài)方程：x = u = C1t - C2得：x (t) = 1_C t2 - C t +C12322由狀態(tài)方程：x1 = x2得：x(t) = 1_C t3 - 1c t 2+ C t +C1 6 12 234?1?0?將x(0) =? ? , x(3) =? ?代入，, ?1?夕？10聯(lián)立解得：Ci C2 = 2 , C3 = C4 =1 9由、

4、式得：u* (t)=" t - 9t 2 + t +12t +1x1* (t) = 27 t3X* (t) = 5 t2 -2 9習(xí)題4已知系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x=u， x(0) = 1試確定最優(yōu)控制使下列性能指標(biāo)取極小值。1J = £ (x2 + u2 )e2tdt解： H = x2e2t + u2e2t + Au? x=u? ot列方程：？入=-2xe?2t_? 2e u+ 入=0由得，u =- 1 e 2t入2 e代人得，xx=-1 e 2t 入1 e-2t 入 e-2t 入+2將，代入，并考慮到u = xx 1 e- 2t (- 2xe2t ) +e- 2t (

5、- 2e2t=-x)2整理可得：x + 2x- x = 0特征方程：s + 2s - 1 = 0Si = - 1+、2, S2 =- 1 - 1 2于是得：x*(t) = C eSlt+C e s2t4t 胃 2e2留-2e2txX(t) =-2e2t (CisJ + C s e>e2 2由 x(0) =1 ,得：Ci +C2 =1由 Mtf ) = M1) = 0得：&$田 s1 +C2 s2es = 0、聯(lián)立，可得Cp C2求導(dǎo)代回原方程可得x* 一 U*(略)習(xí)題5 求使系統(tǒng)：x1 = x2, x2 = u由初始狀態(tài)x1(0) = x2(0)= 出發(fā)，在t f = 1時(shí)轉(zhuǎn)移

6、至U目標(biāo)集01 J 2x1(1) + x2 (1) = 1,并使性能指標(biāo) J = fu2 (t)dt2 0. * .- *為最小值的最優(yōu)控制u (t)及相應(yīng)的最優(yōu)軌線x (t)。解：本題f (i), L(i)與習(xí)題3同，故H(i)相同一方程同一通解同八 X 1 X 9? ?=J C t3 - J C t2 +C t +C61 C1-2C ；+c12? 2 2? u = Ct - C2x(0) =? ?,有：C3 = C4 = 0由 Xl(1) +X2(1) =1,有:1C+ 1 C - C =1?由 乂1)= +u3? Y= 0,3?x ?x2 12=1=X1 +x2 - 1?有:M1)= ?

7、Y= 0 ?入(1)=入(1)于是：C1 =德+ C22C1 = C23-C2 =-7=-34 + 6一7It31422147+ 3 ,76+ _7t2習(xí)題 6已知一階系統(tǒng)：x(t) = - x(t) + u(t) ,x(0)= 3(1)試確定最優(yōu)控制u (t),使系統(tǒng)在t = 2時(shí)轉(zhuǎn)移到x(2) = 0 ,并使性能泛函2J = ( (1+ u2 )dt = min解:f2e 3 c 一一 c1c 二1 一 42- e2c c ? ?(2)如果使系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到 x(t ) = 0的終端時(shí)間tf自由，問u(t)應(yīng)如何確定?H =1 +u2 + Au - 2x? x=- x +u ?列方程：？入=入?

8、 2u + 入=0由協(xié)態(tài)方程得：入=C et 1 t 由控制方程：u = - -Ce 2代入狀態(tài)方程：x = -x - t? x(t) = C2e -C1e t2=2, x(2) = 0笈24 1123e4解得：Ci = -, C2=e - 1e - 16 t*e代入得：u (t)=- x(t f ) = 2, tf自由 e4 - 12 e211o-4o一一£1H(?解得：C140 - 6 = 0.325u* (t) = - 0.162 e,習(xí)題7 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x(t) = u (t) , x(0) = 1試確定最優(yōu)控制u*(t),使性能指標(biāo)1% 2J = t f +

9、u u dt2出為極小，其中終端時(shí)間tf未定，x(t f ) = 0。解： H = 1 u2 + Au2由協(xié)態(tài)方程得：入=0一入=C1由控制方程：u +入=0-u = - Ci由狀態(tài)方程：x = u =- Ci ? x(t) = - Cit +C2由始端：x(0) = 1- C2 = 1由末端：x(t f) = 0 - Gtf +1 = 0考慮到：H (t f) = - -? ?Z1 ? 丫=-1?T ?T f f1 2有：u + u = - 121C2 - C2 = - 1? C2 =2-1112_C1 = 土石當(dāng)C1 J2時(shí)，代入有：t fCi 1 222時(shí)，代入當(dāng)Ci =有：tf = 1

10、 = - 1 ,不合題意，故有 C = 2C121最優(yōu)控制u* = -五習(xí)題8 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為Xi (t) = X2(t) , Xi(0) = 2x2 =u(t)，x2 (0) = 1性能指標(biāo)為J = 1/ u2dt2 o要求達(dá)到x(t f ) = 0,試求：(1) t = 5時(shí)的最優(yōu)控制u* (t)； f*.(2) tf自由時(shí)的最優(yōu)控制u (t)；解：本題f (i ), L(i ), H (i )與前同，故有4 =-1 Gt+C21c t3 -C t2 +C t +C?2? u =Gt -C21 2 2C t2 - C t +C123?C25125 由 x(0) =? ?x(5)

11、 =?0?,得：？ClC2 + 5c3+ C4 = 0?1? ? 62?25 - 5C +C = 0u* = 0.432t - 1.28? 4?CC=t32- 1C t 2 + C +C= 0聯(lián)立得：C1 = 0.432, C2 = 1.28 , t f自由t916 2x2 =u(t),1控制約束為u(t) < -,要求最優(yōu)控制2 f 3 f 4f乙? 12 cC t2 - C +C = 0? H(t f) =0聯(lián)立有：C2t 2 - 2C +2 = 0 ,t 2 f 2 f無論C為何值，t均無實(shí)解。2f習(xí)題9給定二階系統(tǒng)x (t)=x (t) + 1(0) = - 1并使x(tf )

12、= 0 ,4114x2 (0) = - 7u (t)，使系統(tǒng)在t = t時(shí)轉(zhuǎn)移到f? - 1人入W1? c 22*? 12u (t)=- 入 >1C 2tf 2J = C u (t)dt = minJ0其中tf自由。解：H = u2 +入x + 1入+入u1 2 4 12本題屬最小能量問題，因此：?-?2?人= 0 一 入二 C由協(xié)態(tài)方程：？ 111?2 X =-1入-2 =- C1 t+C2%是t的直線函數(shù)。當(dāng)u (t) = -= C t - 時(shí)(試取)入C _2 2 2 12 2x (t) = 1c t2 - 2C t +C1 C t3 - 1 C t2 + 1 t +C t + C

13、121由始端條件一 C3 = C4 =由末端條件一1 Ct 3t12 1 f41+1t +1=01Ct t4 1 f另：H(t f ) = 0聯(lián)立解得:于是，X2-1C - 一，C2 - 0, t - 39f1? h =1 時(shí)，t < 0=t ?4、二 _1 時(shí) t = 99? |口，【9在t從0 一 3段，萬0 1滿足條件。01234習(xí)題10 設(shè)二階系統(tǒng)X1=-x1(t) + u(t) , X1 (0) = 1X2 (t) = X1 (t) ,X2 (0) = 0控制約束為u(t) <1 ,當(dāng)系統(tǒng)終端自由時(shí)，求最優(yōu)控制u* (t),使性能指標(biāo)J = 2X1 (1) + X2 (1

14、)取極小值，并求最優(yōu)軌線X* (t)。解：由題意，f ? - X1+u? =X + X , L = 0 ,Xi*? +1入=C et + C121? % = Ci由控制方程可得：u =? = X-由協(xié)態(tài)方程可得：？11? = 0?由 Mtf)=?x(t f )?1?=1，C =e-12?入=et-1 +1 -在t > 0的范圍內(nèi)? 1? I =1人>11故：u =- 1 t 0,1X 1 ? ?X.7若需計(jì)算最優(yōu)軌線，=七t -1只需把u* = - 1代入狀態(tài)方程，可得：-2e-t - t + 2習(xí)題11設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為Xi (t) = X2(t) , X1 (0) = X10x? - P 2 + 4 = g 巳=+2(W + 2 舍-?Pzb P2 P = 0 3p2=-±4(由£p電-£)2P?23 (t) = U ，X2 (0) = X20，12性能指標(biāo)為J=pf (4x 2 + u2 )dt試用調(diào)節(jié)器方法確定最優(yōu)控制u*(t)。?0 1?解：由已知條件得：A = ?0 0?，B=? ?,?4R=1B? 0 AE= ?1Q =?001?0，.二可控取優(yōu)解存在 ?0?考慮到?4Q = ?00? 2?0