1、停車問題1問題描述如下圖所示，考慮一個 10m*7m大小的停車場，將車從如下初始位置停到停車場中任 意位置，如圖停車位置 14所示。-1-5543210-4-3-2-101234x(m)圖1問題描述示意圖2數(shù)學模型車的模型示意圖如下所示，則可以得到如下數(shù)學模型方程式:*1 t = % cos X3X2 t = X5sin X3（1）X3 t = X5 tan X4X4 t = 5圖2車的模型示意圖3問題求解3.1 變分法求解最優(yōu)控制定義如下性能指標函數(shù)：通過構建Hamiltonian求解，并采用數(shù)值法求解兩點邊值問題。 (1)停車位置1:-0.51.5u1u21.50.5-0.5t(s)t(s

2、)x(m)x3-肌向角x4-前輪轉向角x5-速度圖3變分法求解結果(停車位置 1)1.50.5-0.5-10-5-4-3-2-1012345x(m)x3-機問用 x4-前輪轉向角 x5-速度1.510.50-0.5-1 IIIII0123456t(s)123456t(s)圖4變分法求解結果（停車位置3)3.2 動態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制定義如下性能指標函數(shù):bJ=2|xtf -Xf2 tf 1十一 t0 22dt(3)采用離散動態(tài)規(guī)劃求解，分別將時間、狀態(tài)量、控制量、化。分別嘗試不同的離散化程度。（1）第一次離散化求解：運行時間（1120s）狀態(tài)方程和性能指標函數(shù)離散離散化后的維度為：時間（150

3、）;狀態(tài)（4*10*2*3*6 ）;控制（6*6）1.81.61.41.20.5-0.06-0.04-0.020-0.12-0.1-0.080.02x3x4x50.80.60.40.2u1u20.80.60.40.20 IIIEJII020406080100120140160-0.4-10-0.2-0.6-0.8圖5動態(tài)規(guī)劃求解結果（第一次離散化）（2）第二次離散化求解：運行時間（70291s）離散化后的維度為：時間（30）;狀態(tài)（10*25*12*16*15 ）;控制（15*15）8圖6動態(tài)規(guī)劃求解結果(第二次離散化)3.3直接打靶法求解最優(yōu)控制定義如下性能指標函數(shù):(4)采用SQP方法求解

4、，結果如下: (1)停車位置1-1-5-4-3-2-1012345x(m)1.61.41.210.80.60.40.20-0.2-0.4012345678t(s)x3-機問用 x4-前輪轉向角 x5-速度0.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.81l.01 u1. u2t(s)1.6-1542100 x(m)3 )-5-4-3-2-11.41.210.80.60.40.20-0.2-0.4t(s) x3-航向角x4-前輪轉向角x5-速度12345圖8直接打靶法求解結果(停車位置3)3.4 模型預測控制求解最優(yōu)控制定義如下性能指標函數(shù):if k:k Np-1J = q|xi(k:k +

5、 Np-1)-XiT 2r(5)預測步長N =20 ,控制步長Nc = 1。 pc(1)停車位置1x(m)_ x3-航向角 x4-前輪轉向角 x5-速度0.80.60.40.20-0.2-0.4 L 06810121416t(s)t(s)圖9模型預測控制求解Z果(停車位置 1)-5x(m)u1u2-0.5x3-航向角x4-前輪轉向角x5-速度圖10模型預測控制求解Z果（停車位置3）3.5 自適應動態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)控制（嘗試）首先采用經(jīng)典的 HDP92方法進行嘗試，但多次試驗的效果都不好；之后嘗試每次用數(shù) 值法求解最優(yōu)的控制量， 但效果依舊很差；然后采用值迭代的方法， 并嘗試用二次型近似值 函數(shù)和

6、神經(jīng)網(wǎng)絡近似值函數(shù)兩種方式，但是最后的效果依舊很差（包括一般值迭代和廣義值迭代）。（上述方法對PPT上的例子，效果還不錯）4結果分析變分法求解最優(yōu)控制：針對本問題這樣一個相對復雜的模型，變分法無法很好地處理控制量和狀態(tài)量的約束。而且在求解過程中，由于無法得到解析解，因而需要采用數(shù)值法求解 一個兩點邊值問題。 而在采用BVP4c求解時，需要經(jīng)過多次初值選擇試湊，才能保證可解，否則BVP4c無法求解。因此只能采用自己編寫打靶法程序求解，致使最后的求解結果不是 特別好（速度在剛開始一下增加到很大，即加速度過大；針對停車位置3,路徑曲線不是很光滑）。另外，所得結果是一個開環(huán)控制。離散動態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)控

7、制：如果對時間、狀態(tài)、控制的離散化程度太低，則求解結果很差；當增加離散化程度，求解結果有一定的改善，但還遠遠不夠，需要繼續(xù)提高離散化程 度。然而，由于本問題狀態(tài)量的維數(shù)較大，此時將導致維數(shù)災難問題。第二次離散化求解的運行時間為70291s （19個多小時），如果繼續(xù)增加離散化程度，雖然求解結果會更加好，但 求解時間會更長。而針對本問題，如此長的求解時間是沒有太多價值的。直接打靶法求解最優(yōu)控制： 相比變分法，求解結果更加好。 而且可以比較好地處理控制 量和狀態(tài)量的約束。但是，最后時刻的控制并不是0,而在實際停車過程中最后時刻控制應該為0。另外，所得結果是一個開環(huán)控制。模型預測控制求解最優(yōu)控制：同樣可以比較好地處理控制量和狀態(tài)量的約束。而且相比直接打靶法求解，最后時刻的控制能緩慢變?yōu)?。另外，所得結果是一個近似閉環(huán)控制，這在實際停車過程中是很有必要的，因為車的每一步運動都會有誤差。自適應動態(tài)規(guī)劃求解最優(yōu)控制：我們嘗試了幾種自適應動態(tài)規(guī)劃的方法，但效果都不是很好。針對PPT上的例子，這些方法的效果還可以。在這些例子中，系統(tǒng)最后的穩(wěn)定狀態(tài)都是0,而