1、.1.1.7柱、錐、臺(tái)和球的體積學(xué)習(xí)目的：1.理解柱、錐、臺(tái)和球的體積計(jì)算公式重點(diǎn)2.可以運(yùn)用柱、錐、臺(tái)、球的體積公式求簡(jiǎn)單幾何體的體積重點(diǎn)3.臺(tái)體的體積及簡(jiǎn)單幾何體的體積計(jì)算難點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1祖暅原理1“冪勢(shì)既同，那么積不容異，即“夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，假如截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等2作用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等2柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式其中S、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑名稱體積V柱體棱柱Sh圓柱r2h錐體棱錐Sh

2、圓錐r2h臺(tái)體棱臺(tái)hSS圓臺(tái)hr2rrr2球R3根底自測(cè)1判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的某個(gè)平面所截，假如截得的兩個(gè)截面面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等2錐體的體積只與底面積和高度有關(guān)，與其詳細(xì)形狀無(wú)關(guān)3由V錐體S·h，可知三棱錐的任何一個(gè)面都可以作為底面答案1×232圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為3，那么其體積為【導(dǎo)學(xué)號(hào)：90662054】A15B30C12 D36C圓錐的高h(yuǎn)4，故V×32×412.3假設(shè)一個(gè)球的直徑是12 cm，那么它的體積為_cm3.解析由題意，知球的半徑R6 cm，

3、故其體積VR3××63288cm3答案288合 作 探 究·攻 重 難求柱體的體積如圖1­1­68所示的幾何體，上面是圓柱，其底面直徑為6 cm，高為3 cm，下面是正六棱柱，其底面邊長(zhǎng)為4 cm，高為2 cm，現(xiàn)從中間挖去一個(gè)直徑為2 cm的圓柱，求此幾何體的體積圖1­1­68解V六棱柱×42×6×248cm3，V圓柱·32×327cm3，V挖去圓柱·12×325cm3，此幾何體的體積：VV六棱柱V圓柱V挖去圓柱4822cm3規(guī)律方法計(jì)算柱體體積的關(guān)鍵及

4、常用技巧：1計(jì)算柱體體積的關(guān)鍵：確定柱體的底面積和高2常用技巧：充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，構(gòu)造直角三角形，從而計(jì)算出底面積和高由于柱體的體積僅與它的底面積和高有關(guān)，而與柱體是幾棱柱，是直棱柱還是斜棱柱沒有關(guān)系，所以我們往往把求斜棱柱的體積通過(guò)作垂直于側(cè)棱的截面轉(zhuǎn)化成求直棱柱的體積跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)正方體的底面積和一個(gè)圓柱的底面積相等，且側(cè)面積也相等，求正方體和圓柱的體積之比.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：90662055】解設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，圓柱高為h，底面半徑為r，那么有由得ra，由得rh2a2，V圓柱r2ha3，V正方體V圓柱a312.求錐體的體積如圖1­1­69三棱臺(tái)ABCA1B

5、1C1中，ABA1B112，求三棱錐A1­ABC，三棱錐B­A1B1C，三棱錐CA1B1C1的體積之比圖1­1­69思路探究解設(shè)棱臺(tái)的高為h，SABCS，那么SA1B1C14S.VA1ABCSABC·hSh，VCA1B1C1SA1B1C1·hSh.又V臺(tái)hS4S2SSh，VBA1B1CV臺(tái)VA1ABCVCA1B1C1ShSh，體積比為124.規(guī)律方法三棱柱、三棱臺(tái)可以分割成三個(gè)三棱錐，分割后可求錐體的體積和柱體或臺(tái)體的體積關(guān)系，割補(bǔ)法在立體幾何中是一種重要的方法跟蹤訓(xùn)練2在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體

6、，那么截去8個(gè)三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是A.B.C. D.D如圖，去掉的一個(gè)棱錐的體積是××，剩余幾何體的體積是18×.求臺(tái)體的體積正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為20 cm和10 cm，側(cè)面積是780 cm2.求正四棱臺(tái)的體積.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：90662056】思路探究可以嘗試借助四棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形求出棱臺(tái)底面積和高，從而求出體積解如下圖，正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，那么E1E是側(cè)面ABB1A1的高設(shè)O1、O分別是上、下底面的中心，那么四邊形EOO1E1是直角梯形由S側(cè)4×1020

7、·E1E780，得EE113，在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15，OEAB10，O1O12，V正四棱臺(tái)×12×10220210×202 800 cm3故正四棱臺(tái)的體積為2 800 cm3.規(guī)律方法求臺(tái)體的體積關(guān)鍵是求出上、下底面的面積和臺(tái)體的高要注意充分運(yùn)用棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形或圓臺(tái)的軸截面尋求相關(guān)量之間的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練3本例假設(shè)改為“正四棱臺(tái)的上、下兩底的底面邊長(zhǎng)分別為2 cm和4 cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2 cm，求該棱臺(tái)的體積解如圖，正四棱臺(tái)ABCD­A1B1C1D1中，上、下底面邊長(zhǎng)分別為2 cm和4 cm，那么O1B1 cm，OB2 cm，

8、過(guò)點(diǎn)B1作B1MOB于點(diǎn)M，那么B1M為正四棱臺(tái)的高，在RtBMB1中，BB12 cm，MB2 cm根據(jù)勾股定理MB1cmS上224 cm2，S下4216cm2，V正四棱臺(tái)××416××28 cm3.求球的體積過(guò)球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心O的間隔 等于球的半徑的一半，且ABBCCA3 cm，求球的體積和外表積.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：90662057】思路探究解決此題要充分利用條件，尤其是球半徑，截面圓半徑和球心距構(gòu)成的直角三角形解如圖，設(shè)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的截面為圓O，連接OO、AO、AO.ABBCCA3 cm，O為正三角形ABC的中心，AOAB cm設(shè)OAR，

9、那么OOR，OO截面ABC，OOAO，AOR cm，R2 cm，V球R3cm3，S球4R216cm2即球的體積為 cm3，外表積為16 cm2.規(guī)律方法球的根本性質(zhì)是解決與球有關(guān)的問(wèn)題的根據(jù)，球半徑、截面圓半徑和球心到截面的間隔 所構(gòu)成的直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要方法跟蹤訓(xùn)練4假如三個(gè)球的半徑之比是123，那么最大球的體積是其余兩個(gè)球的體積之和的A1倍B2倍C3倍D4倍C半徑大的球的體積也大，設(shè)三個(gè)球的半徑分別為x,2x,3x，那么最大球的半徑為3x，其體積為×3x3，其余兩個(gè)球的體積之和為x3×2x3，×3x3÷3.空間幾何體的體積探究

10、問(wèn)題1設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.假設(shè)它們的側(cè)面積相等，且，求的值提示設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由，得，那么.由圓柱的側(cè)面積相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，那么，所以.2把長(zhǎng)和寬分別為6和3的矩形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，求這個(gè)圓柱的體積提示設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，當(dāng)2r6時(shí)，r，l3，所以V圓柱r2·l·2·3.當(dāng)2r3時(shí)，r，l6，所以V圓柱r2·l·2·6.所以這個(gè)圓柱的體積為或.如圖1­1­70所示，正方體ABCDA1B1

11、C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，那么三棱錐ADED1的體積為_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：90662058】圖1­1­70思路探究1利用轉(zhuǎn)換底面以便于找到幾何體的高，從而求出幾何體的體積2利用等體積法可求點(diǎn)到平面的間隔 解V三棱錐ADED1V三棱錐EDD1A××1×1×1.母題探究：.本例中，求點(diǎn)A到平面A1BD的間隔 d.圖1­1­71解在三棱錐A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA11，A1BBDA1D，VA1ABDVAA1BD，××1×1×1××&

12、#215;··d.d.規(guī)律方法1計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題旋轉(zhuǎn)體的軸截面是用過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體而得到的截面例如，圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是過(guò)球心的平面截球所得的圓面2在求不規(guī)那么的幾何體的體積時(shí)，可利用分割幾何體或補(bǔ)全幾何體的方法轉(zhuǎn)化為柱、錐、臺(tái)、球的體積計(jì)算問(wèn)題當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1假如軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4，那么圓柱的體積等于AB2C4 D8B設(shè)軸截面正方形的邊長(zhǎng)為a，由題意

13、知S側(cè)a·aa2.又S側(cè)4，a2.V圓柱×22.2.高為3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形如圖1­1­72，那么三棱錐B1­ABC的體積為圖1­1­72A.B.C. D.DVSh××3.3圓錐SO的高為4，體積為4，那么底面半徑r_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：90662059】解析由得4r2×4，解得r.答案4棱臺(tái)上、下底面面積之比為19，那么棱臺(tái)的中截面分棱臺(tái)成兩部分的體積之比是_解析設(shè)棱臺(tái)高為2h，上底面面積為S，那么下底面面積為9S，中截面面積為4S，.答案5一個(gè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，求這個(gè)三棱錐體積.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：90662