1、抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一.概念：抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函 數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點的函數(shù)值, 特定的運算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一 個銜接點，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體，因此理解研究起來比 較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力1、周期函數(shù)的定義：對于f(x)定義域內(nèi)的每一個 x,都存在非零常數(shù) T ,使得f(x + T)= f (x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一個周期，則kT (

2、 k w Z,k*0)也是f (x)的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期。分段函數(shù)的周期： 設(shè)y = f (x)是周期函數(shù)，在任意一個周期內(nèi)的圖像為 C： y = f(x),xwa,bT=b-a。把丫 = f(x)沿x軸平移KT = K(b - a)個單位即按向量a = (kT,0)平移，即得y=f(x)在其他周期的圖像：y = f (x - kT), x kT a, kT b Lf ；f(x)xw b,bJX - J(x-kT)xw kT +a,kT+b2、奇偶函數(shù)：設(shè) y = f (x), x w a,b 故xw Lb,a】U 6,b 】若f(-x) = -f (x)，則稱y

3、 = f(x)為奇函數(shù)；若f (-x) = f (x)則稱y = f (x)為偶函數(shù)。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：(1)中心對稱即點對稱：點A(x, y)與B(2a -x,2b - y)關(guān)于點(a,b)對稱；點A(a -x,b - y)與B(a +x,b + y)關(guān)于(a,b)對稱;函數(shù)y = f(x)f2b-y = f (2a -x)關(guān)于點(a,b)成中心對稱；函數(shù)b- y = f (a -x)f b + y = f (a +x)關(guān)于點(a,b)成中心對稱;函數(shù)F (x, y) = 0與F(2a -x,2b - y) = 0關(guān)于點(a,b)成中心對稱。(2)軸對稱：對稱軸方程為：Ax

4、+ By+C=0。/ /、 2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、", 點A(x, y)與B(x , y ) =B(x-,y-2-)關(guān) 于A2 B2A2 B2直線Ax+By + C = 0成軸對稱；函數(shù)y = f (x)與y 一型片吟 =f (x _2A(絲+呼。)關(guān)于直線 A BA BAx + By +C =0成軸對稱。2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、 F (x, y): 0與 F (x -, y -); 0 關(guān)于直線 ABABAx + By +C =0成軸對稱。二、函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論(一)函數(shù)y = f (x)圖象本身的對稱性(自身對稱)若 f(x

5、+a) =±f(x+b)，則 f(x)具有周期性；若 f(a + x)=±f(b-x)，則 f (x) 具有對稱性：”內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”。1、 f(a+x) = f(b x) u y = f(x)圖象關(guān)于直線 x =(a t xb-x) =ab 對稱 22推論1 ： f(a+x) = f(ax)u y = f(x)的圖象關(guān)于直線 x = a對稱推論2、f(x) = f(2ax) u y = f (x)的圖象關(guān)于直線 x = a對稱推論3、f (-x) = f (2a + x) = y = f (x)的圖象關(guān)于直線 x = a對稱2、 f(a+x) + f (b

6、 x) =2c u y=f(x)的圖象關(guān)于點(alb,c)對稱 2推論1、f(a+x) + f(ax) =2b u y = f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱推論2、f(x) + f(2ax)=2b u y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱推論3、 f (x)十f(2a+x) =2b u y = f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱(二)兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)(利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解)1、偶函數(shù)y = f (x)與y = f (x)圖象關(guān)于Y軸對稱2、奇函數(shù)y = f (x)與y = - f (-x)圖象關(guān)于原點對稱函數(shù)3、函數(shù)y = f儀)與y =-f (x)圖象關(guān)于

7、X軸對稱1 一一4、互為反函數(shù)y = f(x)與函數(shù)y= f (x)圖象關(guān)于直線y = x對稱.一. b-a5.函數(shù)丫 = "2+*)與丫 = f(bx)圖象關(guān)于直線 x = 對稱2推論1:函數(shù)y = f (a + x)與y = f (a _ x)圖象關(guān)于直線 x = 0對稱推論2：函數(shù)y = f (x)與y = f (2a -x)圖象關(guān)于直線x = a對稱推論3：函數(shù)y = f (x)與y = f (2a +x)圖象關(guān)于直線x = -a對稱(三)抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)1若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：(1) f(a +x)

8、 =f(a x) (2) f(2a - x) =f(x) (3) f(2a +x) =f( - x)性質(zhì)2若函數(shù)y = f(x)關(guān)于點(a, 0)中心對稱，則以下三個式子成立且等價：(1) f(a +x) = f(a -x) (2) f(2a -x) = f(x) (3) f(2a +x) =- f( -x)易知，y=f(x)為偶(或奇)函數(shù)分別為性質(zhì)1 (或2)當(dāng)a = 0時的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、若對于定義域內(nèi)的任一變量x,均有fg( x) =fg(x),則復(fù) 數(shù)函數(shù)y=fg(x)為偶函數(shù)。定義2、若對于定義域內(nèi)的任一變量x,均有fg( x) = fg(x),則 復(fù)合函數(shù)y =

9、 fg(x)為奇函數(shù)。說明：(1)復(fù)數(shù)函數(shù)fg(x)為偶函數(shù)，則fg( x) =fg(x)而不是f g(x) = fg(x),復(fù)合函數(shù)y = fg(x)為奇函數(shù)，則fg( x) = fg(x)而不是 f -g(x) = fg(x)。(2)兩個特例：y=f(x + a)為偶函數(shù)，則 f(x +a) = f( x + a)； y=f(x + a)為奇函數(shù)，則 f( x+a) = f(a +x)(3) y = f(x +a)為偶(或奇)函數(shù)，等價于單層函數(shù)y = f(x)關(guān)于直線x=a軸對稱(或關(guān)于點(a, 0)中心對稱)3、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y = f(a +x)與y=f(b x)關(guān)于

10、直線x= (b a) /2軸對稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y = f(a +乂)與丫= f(b x)關(guān)于點(b-a) /2 , 0)中 心對稱推論1、復(fù)合函數(shù)y = f(a +x)與y = f(a x)關(guān)于y軸軸對稱推論2、復(fù)合函數(shù)y = f(a +乂)與丫= f(a x)關(guān)于原點中心對稱4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y = f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點有下列條件 之一成立，則函數(shù)y = f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。f(x + a) =f(x a)f(x + a) = f(x) f(x + a) = 1/f(x) f(x +a) = 1/f(x)5、函數(shù)的對稱性與周期性性

11、質(zhì)5若函數(shù)y = f(x)同時關(guān)于直線x = a與x = b軸對稱，則函數(shù)f(x)必 為周期函數(shù)，且T= 2|ab|性質(zhì)6、若函數(shù)y = f(x)同時關(guān)于點(a, 0)與點(b, 0)中心對稱，則函 數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T= 2|a -b|性質(zhì)7、若函數(shù)y = f(x)既關(guān)于點(a, 0)中心對稱，又關(guān)于直線x = b軸對 稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T= 4|ab|6、函數(shù)對稱性的應(yīng)用(1)若 y = f(x)關(guān)于點(h,k)對稱，貝U x + x/ =2h,y + y/ =2k,即f(x) f (x/) = f(x) f (2h -x) =2kf(xj f(x2)f(xn) f

12、(2h-xn) f(2h-xn) f(2h-xi) = 2nk(2)例題f(x) =1 1|)對稱：f(x) + f(1-x) =1;2 2f(x) f(-x) =2f(x)= 4- -2x , 1 關(guān)于(0,1)對稱: 2x111 11f(x) = -(：-R,x = 0)關(guān)于(,一)對稱：f (x) f(-) =1x- 12 2x2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(0, 0)對稱：f(x)+ f(x)=0。3 、若 f (x) = f (2ax)或f (ax) = f (a + x),則y = f (x)的圖像關(guān)于直線 x = a對稱。設(shè)f (x) =0有n個不同的實數(shù)根，則xx2，xn=x1(2a

13、 一x1)x2(2a -x2)，xn(2a -xn) = na .22(當(dāng)n=2k+1 時，必有x1=2a x1,= x1 =a)(四)常用函數(shù)的對稱性三、函數(shù)周期性的幾個重要結(jié)論1、f(x士T) = f (x)( T #0) u y = f(x)的周期為 T, kT ( k w Z )也是函數(shù)的周期2、f (x+a) = f (x+b) = y = f (x)的周期為 T=ba3、f(x+a)=f(x)y y = f(x)的周期為 T =2a.14、f(x + a)= u y = f (x)的周期為 T = 2af(x)一-15、f(x+a) = u y = f (x)的周期為 T = 2a

14、f(x)6、f (x + a) =1 f(x) u y = f (x)的周期為 T =3a1 f (x),-17、 f(x+a) = -仁 y = f (x)的周期為 T = 2af(x) 1c1 f (x)8、f(x + a)= u y = f (x)的周期為 T = 4a1 - f (x)9、f (x+2a) = f (x+a) f(x) u y = f (x)的周期為 T = 6a10、若 p >0, f (px) = f (px -),則 T =£.11、y = f(x)有兩條對稱軸 x = a和x = b(bAa)u y = f(x)周期 T = 2(b a)推論：偶

15、函數(shù) y = f (x)滿足 f(a+x)=f(ax)u y=f(x)周期 T = 2a12、y = f (x)有兩個對稱中心(a,0) 和(b,0) (b a a) u y = f (x)周期 T = 2(b a)推論：奇函數(shù) y = f (x)滿足 f(a+x)=f(ax)u y=f(x)周期 T = 4a13、y = f(x)有一條對稱軸 x = a和一個對稱中心(b,0)(ba)u f (x)的 T = 4(b a)四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問題，它對訓(xùn)練學(xué)生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實例說明

16、其應(yīng)用類型。1,求函數(shù)值例1. ( 1996年高考題)設(shè) f(x)是(-«,")上的奇函數(shù)，f (2 + x) = f(x),當(dāng)0 E x E1 時，f (x) = x，則 f (7.5)等于(-0.5 )(A) 0.5;(B) -0.5；(C) 1.5;(D) -1.5.例2. (1989年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)已知f(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(x+2)1-f(x)=1 + f(x), f (1) = 2 + J3，求 f (1989)的值.f(1989) = V3-2o2、比較函數(shù)值大小1例3.若f(x)(xw R)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)xe 10,1】時，

17、f (x) =x1998,試比較98101104f(-)、 f()、f()的大小.1917151解：: f (x)(xw R)是以2為周期的偶函數(shù)，又V f(x) = x98在b上是增函數(shù)，且1161411614口 門10198104< < < < 1 ,f ()< f ()< f ()，即 f ( < f () < f ().1719151719151719153、求函數(shù)解析式例4. ( 1989年高考題)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(_/,十比)上且以2為周期的函數(shù)，對2kWZ ,用1k表布區(qū)間(2k-1,2k+1),已知當(dāng)xw I0時，f(x)

18、= x2.求f (x)在1k上的解析式.解：設(shè) x (2k -1,2k 1),. 2k -1 < x :二 2k 1= -1 ：二 x - 2k < 1丫 xw I0 時，有 f (x) =x2,J.由1 <x2k <1 彳4f (x2k) =(x2k)2丫 f(x)是以 2 為周期的函數(shù)，: f(x2k)= f(x),. f(x) = (x 2k)2.例5.設(shè)f(x)是定義在(*,依)上以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間 2,3】上，f(x) = 2(x3)2 +4.求 xw 1,2】時，f(x)的解析式.解：當(dāng)x-1一3,-2，即x-2,31,f (x

19、) = f (-x) = -2(-x -3)2 4 = -2(x 3)2 4又f (x)是以2為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng) xW 1,2,即3Ex4 E2時，有f (x) = f(x-4)=f(x)=-2(x-4) 32 4=-2(x-1)2 4(1 三 x 三2).f (x) =-2(x -1)2 4(1 Mx M2).4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知f(x)的周期為4,且等式f (2+x) = f(2x)對任意義運R均成立,判斷函數(shù)f (x)的奇偶性.解：由 f(x)的周期為 4,得 f(x) = f(4+x),由 f(2 + x)= f(2x)得f (一x) = f (4 +x) ,f (一x)

20、 = f (x)，故 f (x)為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)例7.設(shè)函數(shù)f (x)對任意實數(shù)x滿足f (2 + x) = f (2 x), f (7 + x)=f(7 -x)且f (0) =0，判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間-30,30上與x軸至少有多少個交點解：由題設(shè)知函數(shù) f(x)圖象關(guān)于直線* = 2和* = 7對稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得f (x)是以10為周期的函數(shù).在一個周期區(qū)間 b,10 )上，f (0) = Q f (4) = f (2 + 2) = f (2 2) = f (0) = 0且f (x)不能包為零，故f (x)圖象與x軸至少有2個交點.而區(qū)間1-30,30府6

21、個周期，故在閉區(qū)間 匚30,30上f(x)圖象與x軸至少有13個交 點.6、在數(shù)列中的應(yīng)用例8.在數(shù)列an中，a1 = J3,an =1+烝(n22),求數(shù)列的通項公式，并計算 1 - ana1 , a5 a9-4997.分析：此題的思路與例 2思路類似.人1 a11tg 工 二斛：令 a1 =tgn,則 a2 =- =tg(一十口)1 -a11 -tg：4a3 =1 a21 - a2ji1 tg(- - -)311 -tg(4 -«)31他2 -:)1 anJI , I二 anj=tg |(n -1)x- +«，于正 an =;=tg ,|(n -1)-+a.41-an.

22、4. . . n n , 、 一, 不難用歸納法證明數(shù)列的通項為：an =tg( n - +豆)，且以4為周期.44于是有1, 5, 9 1997是以4為公差的等差數(shù)列，,a=a5 =a9=a1997 ,由1997 =1十(n 1)父4得總項數(shù)為500項,a a5 a9 -a 99797 =500 a1 =500 3.7、在二項式中的應(yīng)用例9.今天是星期三，試求今天后的第9272天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項式的展開式后，利用一周為七天這個循環(huán)數(shù)來進行計算即可露.QQ9292092 C191. .90 90291 91用牛. 92 =(9 1 1) C 92 9 1C92 9 11 C 92 9

23、 1C92 9 1 I二 9292 =(7x13+1)92 =C；2(7m13)92 +C92(7m13)91 十+ C92)(7x 13)2 + C；2(7m13) +1因為展開式中前92項中土有7這個因子，最后一項為1,即為余數(shù)，故9292天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例10.(上海市1994年高考題)設(shè)z = 一2十2_3 i(i是虛數(shù)單位)，則滿足等式zn = z, 22且大于1的正整數(shù)n中最小的是()(A) 3;(B) 4;(C) 6;(D) 7.分析：運用z = 1 +上3J方哥的周期性求值即可. 22解：Tzn =z,. z(zn,-1) =0= zn'=1,丫 z3 =1

24、,二 n -1 必須是3勺倍數(shù)，即n-1 = 3k(kw N), n =3k 1(k N)., k =1 時,n最小,(n)min =4.故選擇(B)9、解“立幾”題例11.ABCD- AB1C1D1是單位長方體，黑白二蟻都從點 A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走 一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是AA1 t A1D1T，黑蟻爬行的路線是AB t BB1 t.它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i十2段所在直線與第i段所在直線必須是異面直線(其中i w N).設(shè)黑白二蟻走完第1990段后，各停止在正方體的某個頂點處， 這時黑白蟻的距離是(A) 1;(B)板;(C) E ;(D) 0.解：依條件列出白蟻

25、的路線 AA1 > A1D1 > D1cl > C1c > CB >BAt AAt，立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻走完六段后又回到了A點.可驗證知：黑白二蟻走完六段后必回到起點，可以判斷每六段是一個周期1990=6父331十4,因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻走完四段后的位置，不難計算出在走完四段后黑蟻在Di點，白蟻在C點，故所求距離是V2.例題與應(yīng)用例 1 : f(x) 是 R上的奇函數(shù) f(x)= f(x+4), xC 0 , 2時 f(x)=x ,求 f(2007) 的值例2:已知f(x)是定義在 R上的函數(shù)，且滿足 f(x+2)1 f(x)=1+f(x), f(1)=2

26、,求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(251 X8+1)=f(1)=2例3:已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x) ，且當(dāng)xw L2,0】時，f(x)二2x+1,則當(dāng)xw 4,6】時求f(x)的解析式例4:已知f(x)是定義在 R上的函數(shù)，且滿足 f(x+999)= -1- , f(999+x)=f(999x),f(x)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5:已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當(dāng)xW I2,0】時，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)xw 4,6】時造)為增函數(shù)例 6: f(x)滿足 f(x) =-f(6-x), f(x)= f(2-

27、x),若 f(a) =-f(2000) , a C 5 , 9且 f(x)在5 , 9上單調(diào).求a的值.例 7:已知 f(x)是定義在 R上的函數(shù)，f(x)= f(4x) , f(7+x)= f(7x),f(0)=0,求在區(qū)間 1000, 1000上f(x)=0 至少有幾個根？解：依題意f(x)關(guān)于x=2, x=7對稱，類比命題 2 (2)可知f(x)的一個周期是10故 f(x+10)=f(x). . f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0 , 10上，方程f(x)=0至少兩個根又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根，因此方程f(x)=0 在區(qū)間 1000, 1000上至少有1 + 2黑？000