1、第二節(jié)第二節(jié) 概率分布概率分布 在學(xué)習(xí)隨機事件及其概率時在學(xué)習(xí)隨機事件及其概率時,我們了解了我們了解了樣本空間的概念樣本空間的概念1、拋擲一、拋擲一骰子出現(xiàn)點數(shù)骰子出現(xiàn)點數(shù) 1,2,3,4,5,6 2、拋擲一、拋擲一硬幣正反面出現(xiàn)情況硬幣正反面出現(xiàn)情況 正面，反面正面，反面3、某城市、某城市120電話臺一晝夜的呼喚次數(shù)電話臺一晝夜的呼喚次數(shù) 0 1,2,3, ，4、一批產(chǎn)品中任取一產(chǎn)品的合格情況、一批產(chǎn)品中任取一產(chǎn)品的合格情況 正正品品，次次品品一一、隨機變量、隨機變量實例實例1 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色觀察摸出球的顏色.S=紅色、

2、白色紅色、白色 非數(shù)量非數(shù)量將將 S 數(shù)量化數(shù)量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S紅色紅色 白色白色)(eXR10即有即有 X (紅色紅色)=1 , ., 0, 1)(白色白色紅色紅色eeeXX (白色白色)=0.這樣便將非數(shù)量的這樣便將非數(shù)量的 S=紅色，白色紅色，白色 數(shù)量化了數(shù)量化了.實例實例2 拋擲骰子拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù)., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6) 6(, 5) 5(, 4) 4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6樣本點本身就是數(shù)量樣本點本身就是數(shù)量恒等變換恒等變換

3、且有且有eeX )(則有則有1 1、隨機變量的定義、隨機變量的定義.)(),(,)(,. , 為隨機變量為隨機變量稱稱上的單值實值函數(shù)上的單值實值函數(shù)這樣就得到一個定義在這樣就得到一個定義在與之對應(yīng)與之對應(yīng)有一個實數(shù)有一個實數(shù)果對于每一個果對于每一個如如它的樣本空間是它的樣本空間是是隨機試驗是隨機試驗設(shè)設(shè)eXeXSeXSeeSE 隨機變量隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的值隨機變量隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的值, 因此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律因此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的普通函數(shù)是定義在實

4、數(shù)軸上的,而隨機變量而隨機變量是定義在樣本空間上的是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元素不一定樣本空間的元素不一定是實數(shù)是實數(shù)).2.2.說明說明(1)隨機變量與普通的函數(shù)不同隨機變量與普通的函數(shù)不同實例實例1 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了現(xiàn)該射手射了30次次, 則則,)(射中目標(biāo)的次數(shù)射中目標(biāo)的次數(shù) eX是一個隨機變量是一個隨機變量.且且 X(e) 的所有可能取值為的所有可能取值為:.30, , 3, 2, 1, 0實例實例2 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊現(xiàn)該射手不斷向目

5、標(biāo)射擊 , 直到擊中目標(biāo)為止直到擊中目標(biāo)為止,則則,)(所需射擊次數(shù)所需射擊次數(shù) eX是一個隨機變量是一個隨機變量.且且 X(e) 的所有可能取值為的所有可能取值為:., 3, 2, 1實例實例3 某公共汽車站每隔某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通分鐘有一輛汽車通過過, 如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機的如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機的, 則則,)(此人的等車時間此人的等車時間 eX是一個隨機變量是一個隨機變量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值為能取值為:.5 , 03 3、隨機變量的分類、隨機變量的分類(1)離散型離散型 隨機變量所取的可能值是有限多個或隨機變量所取的可能值是有限多個

6、或無限可列個無限可列個, 叫做離散型隨機變量叫做離散型隨機變量.(2)連續(xù)型連續(xù)型 隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.(1,2,),1, 2,.kkkkXxkXXxP XxpkX若離散型隨機變量 所有可能取到的值為取各個可能值的概率即事件的概率 為稱此為離散型機變量 的分布律隨1、定義定義二、離散型隨機變量二、離散型隨機變量.X如果一個隨機變量 只能取有限個或可列個可能值，則稱此隨機變量為離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律也可表示為離散型隨機變量的分布律也可表示為 nnpppxxxX2121Xkpnxx

7、x21nppp21說明：離散型隨機變量有以下性質(zhì) ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp例例 離散型隨機變量的分布律如下：離散型隨機變量的分布律如下：Xkp134.5 2ccc 11 ;PX 試求：試求：(1)常數(shù)常數(shù)c的值；的值；(2) 概率概率 (3)概率概率 2 .P X 解：解：(1)根據(jù)分布律的性質(zhì)，根據(jù)分布律的性質(zhì)，21,ccc 所以，所以，1/ 4.c 例例 離散型隨機變量的分布律如下：離散型隨機變量的分布律如下：Xkp134.5 2ccc 11 ;PX 試求：試求：(1)常數(shù)常數(shù)c的值；的值；(2) 概率概率 (3)概率概率 2 .P X 解：解：(2) 1

8、1PX (3) 1P X 14c 20P X 例：一只袋中裝有例：一只袋中裝有5只球，編號只球，編號1，2，3，4，5在在袋中同時取出袋中同時取出3只，以只，以X表示取出表示取出3只球中的最大只球中的最大的號碼，寫出隨機變量的號碼，寫出隨機變量X的分布律。的分布律。Xkp345351C2335CC2435CC110 310 610 .),(,.21,的分布律的分布律求求相互獨立的相互獨立的設(shè)各組信號燈的工作是設(shè)各組信號燈的工作是號燈的組數(shù)號燈的組數(shù)它已通過的信它已通過的信表示汽車首次停下時表示汽車首次停下時以以車通過車通過的概率允許或禁止汽的概率允許或禁止汽每組信號燈以每組信號燈以組信號燈組信

9、號燈的道路上需經(jīng)過四的道路上需經(jīng)過四設(shè)一汽車在開往目的地設(shè)一汽車在開往目的地XX解解練練Xkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 02 2、常見離散型隨機變量的概率分布、常見離散型隨機變量的概率分布 A貝努利試驗：如果隨機試驗E只有兩個可能結(jié)果 與 ，就稱該試驗為貝努利試驗A新生兒性別登記；拋擲硬幣正面出現(xiàn)情況；檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格；明天會不會下雨；參加英語等級考試結(jié)果；射手對目標(biāo)進行射擊；參加總統(tǒng)競選結(jié)果；例例 我國新生兒的性別登記情況我國新生兒的性別登記情況. 隨機變量隨機變量 X 服從服從 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,e 當(dāng)男生e

10、當(dāng)女生.Xkp01120120 100100120 100其分布律為其分布律為設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 只可能取只可能取0與與1兩個值兩個值 , 它的分它的分布律為布律為Xkp0p 11p則稱則稱 X 服從服從 (01) 分布分布或或兩點分布兩點分布.1.(0-1)分布分布 實例實例 200件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,現(xiàn)從中隨機抽取一件現(xiàn)從中隨機抽取一件,那么那么,若規(guī)定若規(guī)定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.則隨機變量則隨機變量 X 服從服從(0 1)分布分布.Xkp0120019020010 兩點分布是最簡單的一種分

11、布兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點都屬于兩點分布分布.說明說明n重貝努利試驗（貝努利概型）：將貝努利試驗獨立重復(fù)進行n次，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重貝努利試驗若在一次貝努利試驗中，關(guān)心事件A是否發(fā)生。那么在n重貝努利試驗中，則會關(guān)心事件A的發(fā)生次數(shù),發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)重重伯伯努努利利試試驗驗中中事事件件表表示示若若AnX所有可能取的值為所有可能取的值為則則 X., 2, 1, 0n,)0(時時當(dāng)當(dāng)nkkX

12、 .次次次試驗中發(fā)生了次試驗中發(fā)生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA發(fā)生發(fā)生k k次的情形有多少種？次的情形有多少種？發(fā)生發(fā)生k k次的概率？次的概率？1101nnkknknknnXknpqC pqC p qp稱這樣的分布為稱這樣的分布為二項分布二項分布.記為記為( ,).XB n p次次的的概概率率為為次次試試驗驗中中發(fā)發(fā)生生在在因因此此knA(1)kkn knC pp pq 1記記kkn knC p q 的的分分布布律律為為得得 X二項分布二項分布1 n兩點分布兩點分布2.二項二項分布分布 二項分布是常見的一類分布二項分布是常見的一

13、類分布如：獨立地進行射擊如：獨立地進行射擊5次，擊中目標(biāo)次數(shù)次，擊中目標(biāo)次數(shù)獨立地進行試驗獨立地進行試驗5次，成功次數(shù)次，成功次數(shù)k個燈泡，使用超過個燈泡，使用超過1000小時的燈泡個數(shù)小時的燈泡個數(shù)n個供水設(shè)備，正在使用的個數(shù)個供水設(shè)備，正在使用的個數(shù)它們都是服從二項分布的它們都是服從二項分布的二項分布是應(yīng)用廣泛的一類重要分布二項分布是應(yīng)用廣泛的一類重要分布如：在港口建設(shè)中要了解如：在港口建設(shè)中要了解n年中年最大波高過年中年最大波高過米的次數(shù)；米的次數(shù)；在機器維修問題中要了解在機器維修問題中要了解n臺機床需要修理的機臺機床需要修理的機床數(shù)；床數(shù)；在昆蟲群體問題中要了解在昆蟲群體問題中要了解n

14、個蟲卵中能孵化成蟲個蟲卵中能孵化成蟲的個數(shù)；的個數(shù)；在高層建筑防火安全通道的設(shè)計中要了解在高層建筑防火安全通道的設(shè)計中要了解n層樓層樓中發(fā)生火災(zāi)樓層數(shù)；中發(fā)生火災(zāi)樓層數(shù)；它們都是服從二項分布的它們都是服從二項分布的例例 在相同條件下相互獨立地進行在相同條件下相互獨立地進行 5 次射擊次射擊,每次每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為射擊時擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的次數(shù)則擊中目標(biāo)的次數(shù) X 的分布律的分布律.5) 4 . 0(1450.6 0.4C22350.6 0.4C33250.6 0.4C4450.6 0.4C56 . 0Xkp012345故故X (5,0.6) 大學(xué)英語六級考試（舊）是

15、為全面檢驗大學(xué)生英語水平而設(shè)置的一種考試，具有一定的難度。除英文寫作占15分外，其余85道多種答案選擇每題1分，即每一道題附有A，B，C，D四個選擇答案，要求考生從中選擇最佳答案。這種考試方式使有的學(xué)生產(chǎn)生想碰運氣的僥幸心理，那么靠碰運氣能通過英語六級考試嗎？選擇題能考出真實成績嗎？選擇題能考出真實成績嗎？分析分析：按及格計算，85道選擇題必須答對51道題以上。如果瞎猜測的話，則每道題答對的概率為1/4，答錯的概率是3/4。顯然，各道題的解答互不影響，因此，可以將解答85道選擇題看成85重貝努利試驗。 8585858512855185 0.250.250.75510.250.758.74 10

16、kkkkkkkXXBP XkCP XC 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量表表示示答答對對的的題題數(shù)數(shù)，則則，其其分分布布律律為為請問剛好答對51道選擇題的概率？例：現(xiàn)有張一百元的人民幣，已知其中混例：現(xiàn)有張一百元的人民幣，已知其中混有張假幣，從中取張，如果正好將張假有張假幣，從中取張，如果正好將張假幣取出來算是成功一次，某人這樣做了次，幣取出來算是成功一次，某人這樣做了次，成功次，設(shè)各次成功與否相互獨立，試問此成功次，設(shè)各次成功與否相互獨立，試問此人對假幣有沒有一定的鑒別能力？人對假幣有沒有一定的鑒別能力？解：設(shè)成功為事件解：設(shè)成功為事件A，古典概型，古典概型P(A)=1/C1/C2 21010=1/45

17、=1/45設(shè)為成功次數(shù)，據(jù)題意知設(shè)為成功次數(shù)，據(jù)題意知(10,1/45),(10,1/45),成功成功次的概率為次的概率為 4641014440.000044545p XC 因此，他對假幣有一定的鑒別能力因此，他對假幣有一定的鑒別能力小概率原理：小概率原理：概率很小的事件在一次試驗中認(rèn)為是不會發(fā)生的。例例：某柜臺上有4位售貨員，只準(zhǔn)備了兩臺臺秤，已知每位售貨員在8小時內(nèi)均有2小時時間使用臺秤，求臺秤不夠用的概率。解解：已知每位售貨員在8小時內(nèi)均有2小時時間使用臺秤，說明每位售貨員使用臺秤的概率皆為p=1/4。 同時使用臺秤的售貨員個數(shù)X是一個離散型隨機變量，它服從參數(shù)為n=4,p=1/4的二項

18、分布，即 4,1/ 4XB臺秤不夠用，意味著同時使用臺秤的售貨員超過2個，因此時間X2表示臺秤不夠用。注意到X2范圍內(nèi)，離散型隨機變量X的可能取值只有兩個，即X=3與X=4，有概率 234P XP XP X 3434131+444C 130.0508256所以，臺秤不夠用的概率是0.0508。. 泊松分布泊松分布 0, 1, 2,e,0,1,2,!0.,( ).kP XkkkXXP 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量所所有有可可能能取取的的值值為為而而取取各各個個值值的的概概率率為為其其中中是是常常數(shù)數(shù)則則稱稱 服服從從參參數(shù)數(shù)為為 的的泊泊松松分分布布 記記為為泊松分布的背景及應(yīng)用泊松分布的背景及應(yīng)用泊松

19、分布是一種比較常見的離散型隨機變泊松分布是一種比較常見的離散型隨機變量的分布量的分布. .第二次世界大戰(zhàn)時，德軍隔著英吉第二次世界大戰(zhàn)時，德軍隔著英吉利海峽用飛彈轟擊倫敦，后來發(fā)現(xiàn)，各區(qū)落下利海峽用飛彈轟擊倫敦，后來發(fā)現(xiàn)，各區(qū)落下的飛彈數(shù)服從泊松分布。的飛彈數(shù)服從泊松分布。二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的與分析放射性物質(zhì)放出的 粒子個數(shù)的情況時粒子個數(shù)的情況時, ,他他們做了們做了2608次觀察次觀察( (每次時間為每次時間為7.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi)性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi), , 其放射的粒子數(shù)其

20、放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 在生物學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中業(yè)的排隊等問題中 , 泊松分布是常見的泊松分布是常見的.它常常用來描述它常常用來描述“稀有事件稀有事件”的數(shù)目的數(shù)目.如如:某頁書上印刷錯誤的字?jǐn)?shù)；某頁書上印刷錯誤的字?jǐn)?shù)；某醫(yī)院一天內(nèi)的急診病人數(shù)；某醫(yī)院一天內(nèi)的急診病人數(shù)；某地區(qū)某一時間間隔內(nèi)發(fā)生的交通事故數(shù)；某地區(qū)某一時間間隔內(nèi)發(fā)生的交通事故數(shù)；一年內(nèi)爆發(fā)戰(zhàn)爭的數(shù)目；一年內(nèi)爆發(fā)戰(zhàn)爭的數(shù)目；腐敗現(xiàn)象的發(fā)生和發(fā)展；腐敗現(xiàn)象的發(fā)生和發(fā)展；等等都服從泊松分布等等都服從泊松分布例：某城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)服從

21、參數(shù)的泊松分布，求該城市一天發(fā)生次或次以上火災(zāi)的概率0.8 解：設(shè)該城市一天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)為解：設(shè)該城市一天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)為，則則XP(0.8) 00.810.820.8310120.80.80.810.04740!1!2!P XP XP XP Xeee 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9048.8187.7408.6703.6065.5488.4966.44931.0905.1638.2223.2681.3033.3293.3476.35952.0045.0164.0333.0573.0758.0988.1217.14383.0002.0011.0003.0072.012

22、6.0198.0284.03834.00010.0007.0016.0030.0050.007750.0002.0004.0007.001260.0001.0002700 k 公元1500年至1931年這432年間，有223年沒有爆發(fā)戰(zhàn)爭（已爆發(fā)，正繼續(xù)的不算），一年中爆發(fā)1次、2次、3次和4次的總年數(shù)分別是142年、48年、15年和4年，平均每年爆發(fā)0.69次戰(zhàn)爭。把實際數(shù)據(jù)與參數(shù)為0.69的泊松分布的理論數(shù)據(jù)作比較，見下表。1年中戰(zhàn)爭數(shù)實際年數(shù)理論年數(shù)0223216.68091142149.509824851.580931511.8636442.0465例 有一繁忙的汽車站，有大量汽車通過

23、，設(shè)每輛車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.001.在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故車輛數(shù)不小于2的概率是多少？將每輛車通過看成一次試驗，設(shè)出事故的車輛數(shù)為X，則隨機變量X的服從參數(shù)為n=1000,p=0.001的二項分布，其分布律為： 100010000.0010.9990,1,kkkP XkCkn 10001999100021011 0.9990.001 0.9990.2642P XP XP XC 泊松定理泊松定理 ,(0,1, )!kkkn knXB n pnpC p qeknknp 如如果果當(dāng)當(dāng) 較較大大， 較較小小時時，可可用用泊泊松松分分布布代代替替二二項項分分布布

24、，兩兩者者的的近近似似程程度度較較好好 即即其其中中注：一般情況下，n10，p0.1時，可以用泊松分布代替二項分布。 此題中，n=1000,p=0.001，可用泊松分布（參數(shù) ）近似代替。1000 0.0011 100019991000011121011 0.9990.001 0.9991110!1!1 0.3678 0.36780.2644P XP XP XCee 例(壽命保險問題)在保險公司里有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險，在一年中每人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日必須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司里領(lǐng)取2000元賠償金，求(1)保險公司

25、虧本的概率；(2)保險公司獲利不少于10000元的概率 在農(nóng)村尤其是偏遠(yuǎn)地區(qū)和經(jīng)濟落后地區(qū)，人們“傳宗接代”、“多子多?！薄ⅰ霸缟鷥鹤釉缦砀！钡扔^念意識還很強，一對夫婦一定要生個兒子才肯罷休的現(xiàn)象并不少見；假設(shè)生女兒的概率為p，求生到兒子為止，子女?dāng)?shù)目X的分布律。 1-111,2,iXiiiP Xippi 表表示示前前胎胎生生女女兒兒，而而第第 胎胎生生兒兒子子，故故 1111iip p 不不難難驗驗證證，。我我們們稱稱這這種種形形式式概概率率函函數(shù)數(shù)的的隨隨機機變變量量服服從從幾幾何何分分布布4. 幾何分布幾何分布 例例 某公共汽車站每隔某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過分鐘有一輛汽車

26、通過, 如如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機的果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機的, 則則,)(此人的等車時間此人的等車時間 eX是一個隨機變量是一個隨機變量. 且且 X(e) 的所有可能取值為的所有可能取值為:.5 , 0實際上實際上“某人等到某人等到2分分59秒秒”的這種隨機事件幾乎的這種隨機事件幾乎不可能發(fā)生，研究不可能發(fā)生，研究0，5中一個點的概率無意義，中一個點的概率無意義，通常關(guān)注取值落在一個區(qū)間上的概率。通常關(guān)注取值落在一個區(qū)間上的概率。三三、連續(xù)型隨機變量、連續(xù)型隨機變量 - , :-,baXp xa babP aXbp x dxp xX 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 在在上上取取值值，若若存存

27、在在非非負(fù)負(fù)可可積積函函數(shù)數(shù)，使使對對任任意意的的實實數(shù)數(shù)均均有有：則則稱稱為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量 的的概概率率密密度度或或密密度度函函數(shù)數(shù)1.概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)定義定義 105PX 例例 中中， 50p x dx 12PX 21p x dx 2.983P X 01 xo( ) x 1( )d1Sp xx 1S 21121( )dxxP xXxp xxS 1x 2x 2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì) 1( )d1p xx 20p x 注意注意 對于任意可能值對于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機變量取連續(xù)型隨機變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP連續(xù)型隨機

28、變量取值落在某一連續(xù)型隨機變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)bXaP bXaP bXaP .bXaP , 03,( )2, 34,20,.7(1); (2)1.2Xkxxxp xxkPX 設(shè)設(shè) 隨隨機機變變量量 具具有有概概率率密密度度其其它它確確定定常常數(shù)數(shù)求求例例解解(1)( )d1,p xx 由由034034( )d( )d( )d( )dp xxp xxp xxp xx 得得2342340303d(2)d2224xkxkxxxxx 9946124k16k 所以所以解解(1)( )d1,p xx 由由0101( )d( )d( )dp xxp xxp x

29、x 得得 12241001d124244kkkkkkxxxxx 4k 所所以以 0.8122410.80.8(2)0.841d20.1296P Xp x dxxxxxx 1,( )0,.Xaxbp xbaXa bXU a b 定定義義 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量 具具有有概概率率密密度度其其它它則則稱稱 在在區(qū)區(qū)間間區(qū)區(qū)間間上上服服從從均均勻勻分分布布記記為為1. 均勻分布均勻分布 常見連續(xù)型隨機變量的分布常見連續(xù)型隨機變量的分布解解由題意由題意,R 的概率密度為的概率密度為1 (1100-900),9001100,( )0,.rp r 其其他他故有故有1050950 RP. 5 . 0

30、d20011050950 r例例 設(shè)電阻值設(shè)電阻值 R 是一個隨機變量，均勻分布在是一個隨機變量，均勻分布在 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在900950 1050 的概率的概率 練：某公共汽車站從上午練：某公共汽車站從上午6時起，每時起，每15分鐘來分鐘來一輛車，即一輛車，即6:00,6:15,6:30,6:45等時刻有汽車等時刻有汽車進站。如某乘客到達(dá)此站的時間是進站。如某乘客到達(dá)此站的時間是6:00到到6:30之間均勻分布隨機變量，試求該乘客等待時間之間均勻分布隨機變量，試求該乘客等待時間少于少于5分鐘的概率。分鐘的概率。e,0,( )0,0.0,.xXxp x

31、xX 定定義義 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量 的的概概率率密密度度為為其其中中為為常常數(shù)數(shù) 則則稱稱服服從從參參數(shù)數(shù)為為 的的指指數(shù)數(shù)分分布布2. 指數(shù)分布指數(shù)分布 指數(shù)分布在實際應(yīng)用中經(jīng)常碰到，在排隊指數(shù)分布在實際應(yīng)用中經(jīng)常碰到，在排隊論及可靠性理論中指數(shù)分布常用來表示機器的論及可靠性理論中指數(shù)分布常用來表示機器的維修時間，尋呼臺收到服務(wù)到達(dá)的時間間隔，維修時間，尋呼臺收到服務(wù)到達(dá)的時間間隔，元器件的使用壽命生物的壽命等。元器件的使用壽命生物的壽命等。應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景練：到某服務(wù)單位辦事總要排隊等待。設(shè)等待練：到某服務(wù)單位辦事總要排隊等待。設(shè)等待時間時間T是服從指數(shù)分布的隨機變量，概

32、率密度是服從指數(shù)分布的隨機變量，概率密度函數(shù)為函數(shù)為101e,0,( )100,0.ttp tt 某人到此處辦事，等待時間若超過某人到此處辦事，等待時間若超過15min，他就，他就憤然離去。設(shè)此人一個月去該處憤然離去。設(shè)此人一個月去該處10次，求（次，求（1）正好有兩次憤然離去的概率（正好有兩次憤然離去的概率（2）至少有）至少有2次憤然次憤然離去的概率離去的概率22()221( )e,2,(0),( ,).x Xxx X XN 定定義義 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量 的的概概率率密密度度為為其其中中為為常常數(shù)數(shù) 則則稱稱 服服從從參參數(shù)數(shù)為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布或或高高斯斯分分布布 記記為

33、為3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征(1),( ),;f xx當(dāng)當(dāng)固固定定改改變變的的大大小小時時圖圖形形的的形形狀狀不不變變 只只是是沿沿著著軸軸作作平平移移變變換換(2),( ),.f x當(dāng)固定改變的大小時圖形的對稱軸當(dāng)固定改變的大小時圖形的對稱軸不變 而形狀在改變越小 圖形越高越瘦越大不變 而形狀在改變越小 圖形越高越瘦越大圖形越矮越胖圖形越矮越胖 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品

34、尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 ).1, 0(,1, 0),(2NN記記為為態(tài)態(tài)分分布布的的正正態(tài)態(tài)分分布布稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正這這樣樣時時中中的的當(dāng)當(dāng)正正態(tài)態(tài)分分布布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為221( )e,2xxx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖形 222(0,1),11;21.25213ed2tXNP XPXt 已已知知求求: :解解例例 221ed( ),.2txP Xxtxx 21

35、2111ed(1)0.84132tP Xt 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系2( ,),.XNP Xb 已已知知求求 22212xbP Xbedx 2212xtbted t 設(shè)設(shè)2212btedt b 22446252( ,),1612dd ,3d已知且概率密度求 ，若求的值.求xxccXNp xexp xxp xxcp xx 例例例例:公共汽車車門的高度是按成年男子與公共汽車車門的高度是按成年男子與車門頂碰頭的概率不大于車門頂碰頭的概率不大于1%的要求設(shè)計的要求設(shè)計的的.若成年男子的身高若成年男子的身高X(cm)服從服從 分布分布,問車門的高度應(yīng)確定為多少問車

36、門的高度應(yīng)確定為多少?2(170,6 )N 某公司在某次招工考試中，準(zhǔn)備招工某公司在某次招工考試中，準(zhǔn)備招工300名名（280名正式工，名正式工，20名臨時工），而報考的人數(shù)名臨時工），而報考的人數(shù)是是1657名，考試滿分為名，考試滿分為400分。分。 考試后不久，通過當(dāng)?shù)匦侣劽浇榈玫饺缦滦趴荚嚭蟛痪?，通過當(dāng)?shù)匦侣劽浇榈玫饺缦滦畔ⅲ嚎荚嚻骄窒ⅲ嚎荚嚻骄?66分，分，360分以上的高分考生分以上的高分考生31名。某考生名。某考生A的成績是的成績是256分，問他能否被錄取分，問他能否被錄取?如被錄取能否是正式工？如被錄取能否是正式工？解：設(shè)考生考試成績?yōu)榻猓涸O(shè)考生考試成績?yōu)閄，則，則X是隨機變

37、量，對是隨機變量，對于一次成功的考試來說，于一次成功的考試來說，X應(yīng)服從正態(tài)分布，本應(yīng)服從正態(tài)分布，本題中，題中，因為考試成績高于因為考試成績高于360分的頻率是分的頻率是31 / 1657,所以所以 2166,XN 3136013601657P XP X 360-166311-=0.9811657 即即360-1662.08,93 知知求求得得 2166 93XN所所以以，下面預(yù)測該考生的考試名次，他的考分為下面預(yù)測該考生的考試名次，他的考分為256分，分，查表知查表知 2561256P XP X256166110.8340.16693 說明考試成績高于說明考試成績高于256分的人數(shù)大約占總

38、認(rèn)識的分的人數(shù)大約占總認(rèn)識的16.6%，所以，考試名次排在該生之前的大約有，所以，考試名次排在該生之前的大約有16570.166275 即該考生大約排名即該考生大約排名276名，所以被錄為正式工的名，所以被錄為正式工的可能性較大?？赡苄暂^大。解：因為最低分?jǐn)?shù)線解：因為最低分?jǐn)?shù)線x0的確定應(yīng)使高于此線的考的確定應(yīng)使高于此線的考生的頻率等于生的頻率等于300/1657，即，即 0030011657P XxP Xx 0-1663001-=0.819931657x 即即00-1660.91,25193xx知知求求得得所以能錄取的最低分?jǐn)?shù)線是所以能錄取的最低分?jǐn)?shù)線是251分，該考生能被分，該考生能被錄取

39、。錄取。3.2.2 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望二、二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望引例引例1 分賭本問題分賭本問題(產(chǎn)生背景產(chǎn)生背景) A, B 兩人賭技相同兩人賭技相同, 各出賭金各出賭金100元元,并約定先勝三局者為勝并約定先勝三局者為勝, 取得全部取得全部 200 元元.由于出現(xiàn)意外情況由于出現(xiàn)意外情況 ,在在 A 勝勝 2 局局 B 勝勝1 局時局時,不得不終止賭博不得不終止賭博, 如果要分如果要分賭金賭金,該如何分配才算公平該如何分配才算公平? 注注:165

40、4年年,一個騎士就此問題求教于帕斯卡一個騎士就此問題求教于帕斯卡, 帕斯卡與費馬通信討論帕斯卡與費馬通信討論這一問題這一問題, 共同建立了概率論的第一個基本概念共同建立了概率論的第一個基本概念-數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望在已賭過的三局在已賭過的三局(A 勝勝2局局B 勝勝1局局)的基礎(chǔ)上，若繼續(xù)賭的基礎(chǔ)上，若繼續(xù)賭A 勝勝 1/2B 勝勝 1/2A 勝勝 1/2B 勝勝 1/2A勝出的概率勝出的概率 1/2+1/2*1/2=3/4 B勝出的概率勝出的概率 1/2*1/2=1/4 在賭技相同的情況下在賭技相同的情況下, A, B 最終獲勝的可能性大小最終獲勝的可能性大小之比為之比為, 1:3即即A 應(yīng)獲得

41、賭金的應(yīng)獲得賭金的 而而 B 只能獲得賭金的只能獲得賭金的,43.41因而因而A期望所得的賭金即為期望所得的賭金即為X的的 “期望期望”值值,等于等于X 的可能值與其概率之積的累加的可能值與其概率之積的累加.).元 即為即為若設(shè)隨機變量若設(shè)隨機變量 X 為為:在在 A 勝勝2局局B 勝勝1局的前提局的前提下下, 繼續(xù)賭下去繼續(xù)賭下去 A 最終所得的賭金最終所得的賭金.則則X 所取可能值為所取可能值為:2000其概率分別為其概率分別為:4341 引例引例2(射擊問題射擊問題) 射手在同樣條件下進行射擊，命中的環(huán)數(shù)為隨機射手在同樣條件下進行射擊，命中的環(huán)數(shù)為隨機變量變量

42、，其分布律如下：，其分布律如下： 求該射手平均每次命中的環(huán)數(shù)。求該射手平均每次命中的環(huán)數(shù)。 Y89100.30.10.6Yp8 0.3 9 0.1 10 0.69.3 1122 kkkkkEp xp xp xp x 數(shù)學(xué)期望又可以稱為數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望期望，均值。均值。121213.1kkkkkxxxppppx pE 定義 設(shè)離散型隨機變量 的分布律為定義 設(shè)離散型隨機變量 的分布律為若級數(shù)絕對收斂若級數(shù)絕對收斂數(shù)學(xué)期數(shù)學(xué)期定義 的定義 的望望，則為，則為離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)于定義的幾點說明關(guān)于定義的幾點說明 (1) E(X)是一個實數(shù)是一個實數(shù),它是一種它是

43、一種加權(quán)平均加權(quán)平均, 也稱均值也稱均值. (2) 級數(shù)的絕對收斂性級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變項次序的改變而改變 .,甲甲、乙乙兩兩個個射射手手他他們們擊擊中中環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)的的分分布布律律分分別別為為試問哪個射手技術(shù)較好試問哪個射手技術(shù)較好?例例 誰的技術(shù)好誰的技術(shù)好? ?乙射手乙射手2X擊擊中中環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手1X擊擊中中環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1環(huán)環(huán) XE),( 1 . 93 . 0105 . 09

44、2 . 08)(2環(huán)環(huán) XE故甲射手的技術(shù)比較好故甲射手的技術(shù)比較好.例例 投資理財決策投資理財決策 某人某人現(xiàn)有現(xiàn)有10萬元現(xiàn)金進行為期一年的投資，現(xiàn)有萬元現(xiàn)金進行為期一年的投資，現(xiàn)有2種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲利息。種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲利息。若買股票，則一年收益主要取決于全年經(jīng)濟形式好（若買股票，則一年收益主要取決于全年經(jīng)濟形式好（概率概率30%）、中等（概率）、中等（概率50%）、和差（概率）、和差（概率20%）三種狀態(tài)，形式好就能獲利三種狀態(tài)，形式好就能獲利40000元，形式中等也能元，形式中等也能獲利獲利10000元，形式差就要損失元，形式差就要損失

45、20000元。若存入銀行元。若存入銀行，則按，則按8%的年利率獲得利息的年利率獲得利息8000元。元。解解設(shè)設(shè) X 為投資利潤，則為投資利潤，則()40000 0.3 10000 0.520000 0.213000E X 存入銀行的利息存入銀行的利息:8000故應(yīng)選擇股票投資故應(yīng)選擇股票投資.Xp400003 . 00.51000020000 0.2 0132p0.4 0.30.20.1 練練 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 的的分分布布律律為為 22 -1EEE求求，0 0.41 0.32 0.23 0.11E 解解：2 02123222p0.40.30.20.12 隨隨機機變變量量的的分分布布律律為

46、為20 0.41 0.34 0.29 0.12E 21 -1153p0.40.30.20.121 隨隨機機變變量量的的分分布布律律為為 211 0.41 0.33 0.25 0.11E 例例3 3 最優(yōu)訂購方案最優(yōu)訂購方案 某商場訂購下一年的掛歷，零售價某商場訂購下一年的掛歷，零售價8080元元/ /本，進價本，進價5050元元/本，若當(dāng)年賣不出去，則降價到本，若當(dāng)年賣不出去，則降價到20元元/本全部銷本全部銷售出去。根據(jù)往年經(jīng)驗，需求概率如下：在當(dāng)年售出售出去。根據(jù)往年經(jīng)驗，需求概率如下：在當(dāng)年售出150本、本、160本、本、170本和本和180本的概率分別為本的概率分別為0.1，0.4，0

47、.3，0.2。有以下四種訂購方案。有以下四種訂購方案 ：(1)訂購訂購150本；本； (2)訂購訂購160本；本； (3)訂購訂購170本；本； (4)訂購訂購180本，請問哪本，請問哪種方案可使期望利潤最大？種方案可使期望利潤最大？(1)訂購訂購150本本:設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X表示該方案下的利潤表示該方案下的利潤(百元百元)Xp450.40.34545450.20.145 0.1 45 0.4 45 0.3 45 0.245EX (2)訂購訂購160本本:設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量Y表示該方案下的利潤表示該方案下的利潤(百元百元)Yp420.40.34848480.20.142 0.1 48 0

48、.4 48 0.3 48 0.247.4EY (3)訂購訂購170本本:設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量Z表示該方案下的利潤表示該方案下的利潤(百元百元)Zp390.40.34551510.20.139 0.1 45 0.4 51 0.3 51 0.247.4EZ (4)訂購訂購180本本:設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量R表示該方案下的利潤表示該方案下的利潤(百元百元)Rp360.40.34248540.20.136 0.1 42 0.4 48 0.3 54 0.245.6ER 選擇方案選擇方案2或或3，可使期望利潤最大。，可使期望利潤最大。例例 設(shè)由自動生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)徑設(shè)由自動生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)徑

49、X X( (mmmm) )服服從正態(tài)分布從正態(tài)分布 ，內(nèi)徑小于，內(nèi)徑小于1010或大于或大于1212為不合為不合格品，其余為合格品。銷售每件合格品獲利，銷售格品，其余為合格品。銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損。已知銷售利潤每件不合格品虧損。已知銷售利潤T T( (元元) )與銷售零件與銷售零件內(nèi)徑內(nèi)徑X X有如下關(guān)系：有如下關(guān)系： 11,1N1,10,20, 10125,12XTX 求銷售一個零件的平均利潤是多少？求銷售一個零件的平均利潤是多少？注意注意T是離散型隨機變量。是離散型隨機變量。 110201012512E TP XPXP X 11011201211 -10115 1121

50、1 2512115 46126 46126 12.7 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 例例 已知隨機變量已知隨機變量 在區(qū)間在區(qū)間a,b上服從均勻分布，上服從均勻分布，求求X.EX1,( )0,Xaxbf xba 解解：隨隨機機變變量量 的的概概率率密密度度為為其其他他 211( ).22bbaabaEXxf x dxxdxxbaba 例：對圓的直徑作近似測量，其值均勻分布在區(qū)間例：對圓的直徑作近似測量，其值均勻分布在區(qū)間a,b上，求圓的面積的數(shù)學(xué)期望。上，求圓的面積的數(shù)學(xué)期望。1,( )0,axbp xba 解解：設(shè)設(shè)直直徑徑為為隨隨機機變變量量 ，則則 的的概概率率密密度

51、度為為其其他他 例例 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量XE (1)，求求2().XE e 解解 X的概率密度為的概率密度為 , 0( ) 0, 0 xexp xx22()( )XxE eep x dx30 xedx3013xe 13例例 國際市場每年對我國某種商品的需求量是隨國際市場每年對我國某種商品的需求量是隨機變量機變量X(噸噸),它服從它服從2000,4000上的均勻分布上的均勻分布.已已知每售出知每售出1噸噸,可掙得外匯可掙得外匯3千元千元,但如售不出去而但如售不出去而積壓積壓,則每噸需花庫存費用及其他損失工則每噸需花庫存費用及其他損失工1千元千元,問問需組織多少貨源需組織多少貨源,才能使國家收益

52、期望最大才能使國家收益期望最大? 20004000,3 ,4,ttYXYg Xt XtYg XXt Xt 解解：設(shè)設(shè)應(yīng)應(yīng)組組織織貨貨源源 噸噸，顯顯然然應(yīng)應(yīng)要要求求國國家家收收益益萬萬元元 是是 的的函函數(shù)數(shù)表表達(dá)達(dá)式式為為：1(), ( )( ) ( ),kkkg xpEE gg x f x dx 離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型1,( ),kkkx pExf x dx 離離散散型型連連續(xù)續(xù)型型 求求隨隨機機變變量量 的的期期望望Eg( ) 求求隨隨機機變變量量 函函數(shù)數(shù)的的期期望望小結(jié)小結(jié)三、三、 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1 若若C C是常數(shù)是常數(shù), ,則則E(C)=C.性質(zhì)性質(zhì)

53、2 2 若若C C是常數(shù)是常數(shù), ,則則E(C )=CE( ).3().EEE 性性質(zhì)質(zhì) 0 221XEX 隨隨機機變變量量 服服從從區(qū)區(qū)間間，上上的的均均勻勻分分布布，求求數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望 提提示示：利利用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望的的性性質(zhì)質(zhì)分布分布期望期望 X U a b, ,EX2ab ,X B n pnp X P X E 2,X N 1 3 方差方差一、一、 隨機變量方差的概念二、 隨機變量方差的計算三、隨機變量方差的性質(zhì)X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8X1P 4 5 61/4 1/2 1/4設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取

54、值規(guī)律如下： 兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大，的偏差大，如果需要使用直徑為如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品較產(chǎn)品2理想。理想。引例引例一、隨機變量方差的概念一、隨機變量方差的概念若需要直徑為若需要直徑為5的產(chǎn)品，選哪種產(chǎn)品較理想？的產(chǎn)品，選哪種產(chǎn)品較理想？甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如圖：距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近因

55、為乙炮的彈著點較集中在中心附近 . 中心中心中心中心1 1、方差的定義、方差的定義 2DEE 稱為稱為均方差均方差或或標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差.D 即即 方差刻畫了隨機變量的取值與數(shù)學(xué)期望的方差刻畫了隨機變量的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離偏離程度程度, ,它的大小可以衡量它的大小可以衡量隨機變量取值的穩(wěn)定性隨機變量取值的穩(wěn)定性. .D ( )Var 設(shè)設(shè) 是一隨機變量，如果是一隨機變量，如果 存在，則稱存在，則稱為為 的方差，記作的方差，記作 或或 .2(EE ） 2. 方差的意義方差的意義(2)若方差若方差 ，則隨機變量則隨機變量 恒取常數(shù)值。恒取常數(shù)值。0D (1)方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量方差是一個常用來

56、體現(xiàn)隨機變量 取值分散取值分散程度的量程度的量. . 如果如果 值大值大, , 表示表示 取值分散程度取值分散程度大大, , 的代表性差的代表性差; ; 而如果而如果 值小值小, ,則表示則表示 取值比較集中取值比較集中, , 以以 作為隨機變量的代表性好作為隨機變量的代表性好. . D E D E （常用的常用的）計算方差的簡化公式）計算方差的簡化公式: :22()()DEE 2DEE 解解 222211145625.5424E P 4 5 61/4 1/2 1/4例例 設(shè)有一種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：設(shè)有一種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下： 求求 。 D 5E 2225.5250.

57、5DEE 三 、方差的性質(zhì)3()DDD 、當(dāng)當(dāng)隨隨機機變變量量 ， 相相互互獨獨立立時時，C 為常數(shù)為常數(shù)22()D aa D 、a為常數(shù)為常數(shù)1( )0D C 、一、二元離散型隨機變量一、二元離散型隨機變量 二、二元連續(xù)型隨機變量二、二元連續(xù)型隨機變量 3.2.3 3.2.3 二元隨機變量及其分布二元隨機變量及其分布一、二元隨機變量的定義一、二元隨機變量的定義 在實際問題中,一個隨機試驗的結(jié)果w對應(yīng)的不僅是一個隨機變量,常常要考慮多個隨機變量.例如:考慮某地區(qū)兒童的健康情況要同時考慮身高X,體重Y,肺活量Z等.若只研究一個就是一元的,若同時研究兩個或兩個以上,作為整體(X,Y,Z)來研究就是

58、多元隨機變量.(, )EXYX Y設(shè)設(shè)是是一一個個隨隨機機試試驗驗, ,設(shè)設(shè)和和是是定定義義在在樣樣本本空空間間上上的的隨隨機機變變量量, ,由由它它們們構(gòu)構(gòu)成成的的一一個個向向量量，叫叫作作二二元元隨隨機機變變量量 。定義定義實例實例1 炮彈的彈著點的炮彈的彈著點的位置位置 ( X, Y ) 就是一個二維就是一個二維隨機變量隨機變量. 二維隨機變量二維隨機變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與 X 、Y 有關(guān)有關(guān),而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系.實例實例2 考查某一地考查某一地 區(qū)學(xué)前區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的則兒童的身高身高 H 和體重和體重 W 就構(gòu)成二就構(gòu)成二維隨機變量維隨機變量 ( H, W ).說明說明 若二維隨機變量若二維隨機變量 ( X, Y ) 所