1、第6屆周培源全國大學(xué)生力學(xué)競賽初賽（樣題） 時間 3 小時，滿分 120分 一、奇怪的獨木橋（25分） 一位游客在某處發(fā)現(xiàn)有座獨木橋，上面寫著：禁止獨自一人過橋。他發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)鼐用竦拇_都是成雙結(jié)隊并且好像以某種相互配合的方式過橋。他覺得很奇怪，為什么 2 個人可以過橋而 1 個人卻不能。等周圍沒有其它人時他想獨自試試，結(jié)果沒走到半程，就把獨木橋壓斷了而掉入水中。 根據(jù)事后他的調(diào)查，小河寬 4 米，獨木橋長 6米，如圖 1所示橫跨在小河上（支撐點可以認(rèn)為是鉸鏈約束）。獨木橋采用當(dāng)?shù)氐妮p質(zhì)木材做成，等截面，允許最大彎矩為M=600N.m 。為方便假設(shè)每人的體重均為 800N，而獨木橋的重量不計。請你分

2、析一下： （1）本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？ （2）如果一個人想過橋，最多能走多遠(yuǎn)？ （3）當(dāng)?shù)鼐用襁^橋時兩人需要進(jìn)行配合，你認(rèn)為兩人應(yīng)如何配合才能安全過橋？ 圖 1 奇怪的獨木橋 二、模特兒與新型舞臺（35 分） 有位模特兒在一種新型舞臺上練習(xí)走臺步。該舞臺類似長方形桌子，長為 ，寬為 ，有 6 條等長的桌腿（圖 2）。每條桌腿都與水平地面有接觸開關(guān)，如果接觸處有壓力就會使對應(yīng)的一盞燈亮起來。該模特兒發(fā)現(xiàn)，站到舞臺不同的位置會有不同數(shù)目的燈亮起來，如圖2，她站在舞臺右上角附近時，左下角的燈就不亮。 如果把模特兒的重量認(rèn)為是集中載荷，把舞臺認(rèn)為是剛體且不計質(zhì)量，則 （1）本問題與力學(xué)中的什

3、么內(nèi)容有關(guān)系？（2）如果模特兒站在舞臺的正中央，會有幾盞燈亮起來？ （3）模特兒在不同區(qū)域時會有不同數(shù)目的燈亮起來，請在長方形舞臺上確定各區(qū)域的邊界并畫出示意圖，然后在該區(qū)域內(nèi)寫上亮燈的數(shù)目（提示，亮燈的數(shù)目有可能為 6、5、4、3、2、1）。 圖 2 模特兒的新舞臺 三、魔術(shù)師的表演（25分） 魔術(shù)師要表演一個節(jié)目。其中一個道具是邊長為a的不透明立方體箱子，質(zhì)量為M1 ；另一個道具是長為L的均質(zhì)剛性板 AB，質(zhì)量為 M2 ，可繞光滑的 A鉸轉(zhuǎn)動；最后一個道具是半徑為R的剛性球，質(zhì)量為 M3 ，放在剛性的水平面上。魔術(shù)師首先把剛性板 AB水平放q置在圓球上，板和圓球都可以保持平衡，且圓心O和接

4、觸點B的連線與垂線夾角為? 。然后魔術(shù)師又把箱子固定在 AB板的中間位置，系統(tǒng)仍可以保持平衡，如圖 3 所示。 魔術(shù)師用魔棒輕輕向右推了一下圓球，竟然輕易地就把圓球推開了。更令人驚訝的是，當(dāng)圓球離開 AB板后， AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。 圖 3 魔術(shù)師的箱子（1）為什么在 AB板上加很重的箱子不會把圓球擠壓出去，而魔術(shù)師用很小的力卻可以推開圓球？這其中涉及了什么力學(xué)內(nèi)容？ （2）根據(jù)上述介紹，你能否求出 AB板與圓球之間的摩擦系數(shù)要滿足什么關(guān)系？ （3） AB板只在 A處受支撐卻仍能在水平位置保持平衡。魔術(shù)師讓觀眾來檢查，證明這時平板有且只有 A點與地面接觸，排除了看不見的支撐或

5、懸掛等情況。你認(rèn)為這可能嗎？請指出其中可能涉及的奧秘，并分析其中可能涉及的參數(shù)。 四、出人意料的交線（35 分） 設(shè)Oxy 是固定坐標(biāo)系。系統(tǒng)由三根不計半徑的細(xì)桿構(gòu)成，初始時刻CD桿沿 軸；OB桿長為 ，沿 x軸正方向；AB桿長為l，開始時先與 軸平行，繞 x軸負(fù)方向轉(zhuǎn)動 角后，把這三根桿件焊成一個整體，如圖 4 所示。 假設(shè)在 平面內(nèi)有一張紙存在，為了能讓系統(tǒng)持續(xù)地繞 軸以勻角速度 yz z 轉(zhuǎn)動，需要在紙上挖出某種形狀的空隙讓 AB桿通過（這里只考慮 AB桿）。 （1）如果 a=0，求空隙的函數(shù)表達(dá)式 0 ，并畫出示意圖。 （2）如果 a 0，求空隙的函數(shù)表達(dá)式 a ，并畫出示意圖。 0

6、與 a有何關(guān)系？ （3）當(dāng)a 0 時，設(shè) P 點是AB桿與 yz平面的交點，當(dāng) P點位于 AB桿中點且時，如果要求 點的速度和加速度，你如何考慮？取 速度和加速度是多少？圖 4 初始時刻的系統(tǒng)位置 第6 屆周培源全國大學(xué)生力學(xué)競賽初賽樣題解答 一、奇怪的獨木橋 （1）本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？ 關(guān)鍵詞：梁的彎曲、彎矩。 （2）如果一個人想過橋，最多能走多遠(yuǎn)？ 該問題簡化為下圖，設(shè)人從 B 向 A走去，載荷 P與 B 點距離為x，AB 間的距離為L。 易求出支座 B 點的約束力為 RB=P(L-x)/L則 AB 間最大彎矩為 M(x)=P(L-x)/ L 根據(jù)允許最大彎矩為M 600N m

7、 ，有 P(L-x)x/L M 代入數(shù)據(jù)，解出 x 1， x 3即一個人最遠(yuǎn)可以向前走 1 米（另一解略去）。 （3）當(dāng)?shù)鼐用襁^橋時兩人需要進(jìn)行配合，你認(rèn)為兩人應(yīng)如何配合才能安全過橋？ 若兩人同時上橋，一人在右側(cè)外伸段距右端支座為x1處，另一個人在橋上，行至離左端支座x2處，其彎矩如圖所示。這時支座的反力為 RA=P(L-x1-x2)/L, RB=P(L+x1+x2)/L 彎矩極大值為 M1=Px1,M2=P(L-x1-x1)x1/L欲要安全通過，要求 ， M1 M M2 M ，代如數(shù)據(jù)得 欲使上式恒成立，則需 解得 0.536 x1 7.46 考慮到 M1 M ，得 x1 7.5m所以當(dāng)一個

8、人立于右側(cè)外伸段離右支座的距離為(0.536-0.75)m 之間時，另一人可安全通過獨木橋。通過獨木橋的人再立于左外伸段離左支座距離為( 0.536-0.75)m 之間，另一個人亦可安全通過。（本題改寫自：周道祥，力學(xué)與實踐小問題第 120 題，1986，No.3） 二、模特兒與新型舞臺 （1）本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？ 關(guān)鍵詞：受力平衡，變形的協(xié)調(diào)條件。 （2）如果模特兒站在舞臺的正中央，會有幾盞燈亮起來？ 利用對稱性及反證法。設(shè)坐標(biāo)系及各燈的標(biāo)號如下。由于結(jié)構(gòu)與載荷對稱，如果 1 燈不亮，則根據(jù)左右（y軸）對稱，3 燈也不會亮。又根據(jù)上下（x軸）對稱，4燈和 6 燈不亮。所以 1、3

9、、4、6 燈的狀態(tài)總是相同的，而 2 與5燈的狀態(tài)也相同。 燈亮表示對應(yīng)的桌腿受壓，長度變短，而燈不亮表示對應(yīng)的桌腿不受壓，長度不變。如果假設(shè)有部分燈亮，另一部分燈不亮，就會引起矛盾。因此六盞燈全亮。 （3）模特兒在不同區(qū)域時會有不同數(shù)目的燈亮起來，請在長方形舞臺上確定各區(qū)域的邊界并畫出示意圖，然后在該區(qū)域內(nèi)寫上亮燈的數(shù)目（提示，亮燈的數(shù)目有可能為 6、5、4、3、2、1）。 設(shè)模特兒重量為 P，所在 A點的坐標(biāo)為( x,y) 。由于燈亮等同于對應(yīng)的桌腿是否受壓，下面就分析桌腿的受力。 （a）設(shè)六條腿的受力分別是 Ni(i=1,6)，有平衡方程 由剛性桌面變形協(xié)調(diào)條件，可得三個方程，比如可以列

10、出 解上述六個方程，由于桌腿不能提供拉力，令 Ni0(i=1,6)，得到不等式|3x4y|0，得 -x-y+a0即知三角形 BDF為四腿(2，3，5，6)受力區(qū)（包含 BD，但不包含邊界 DF） ，其中 F 點的坐標(biāo)為(a,0)。 四腿受力的第二種情況是 3、4、5、6 受力。舍去方程(4)、(5)，且令N1=N2=0 ，令N40，得 -6x-2y+5a 0即知三角形 CDE 為四腿(3,4,5,6)受力區(qū)（包含 CD，但不包含邊界 DE） ，其中 E 點的坐標(biāo)為.（d）剩下的四邊形 DEGF 為三腿(3,5,6)受力區(qū)。另外對于桌子的邊界，CE 表示亮三盞燈的區(qū)域（不含 E 點）。 （e）如

11、果要兩盞燈亮，則是不穩(wěn)定平衡。在第一象限內(nèi)，兩盞燈亮對應(yīng)的區(qū)域是 EG和 GF 邊表示亮兩盞燈的區(qū)域（不含 G點）。 （f）一盞燈亮對應(yīng)的區(qū)域是 G點。 最后根據(jù) x軸和 y軸的對稱性，即可作出整個桌面的亮燈數(shù)目區(qū)域圖。 （本題改寫自：陳嘉，力學(xué)與實踐小問題第 29 題，1982，No.3；秦壽珪，力學(xué)與實踐小問題第 100 題，1985，No.4） 三、魔術(shù)師的表演 （1）為什么在 AB板上加很重的箱子圓球不會被擠壓出去，而魔術(shù)師用很小的力卻可以推開圓球？這其中涉及了什么力學(xué)內(nèi)容？ 關(guān)鍵詞：摩擦，自鎖。 當(dāng) AB板壓在圓球上時，圓球在自重，地面反力和B處反力作用下平衡。這時圓球處于摩擦自鎖，

12、再增加箱子不破壞圓球的平衡條件。但是魔術(shù)師用水平力推圓球時，這時圓球從受三個力變?yōu)槭芩膫€力。如果摩擦力已達(dá)最大值，水平力雖然很小，仍可破壞圓球的平衡。 （2）根據(jù)上述介紹，你能否求出 AB桿與圓球之間的摩擦系數(shù)要滿足什么關(guān)系？ 利用三力平衡條件，圓球受力如圖。 利用幾何法，有 ，由于 B R 要在摩擦角內(nèi)，有 由于魔術(shù)師用很小的水平力就可以破壞圓球的平衡，所以 B R 要在摩擦角的邊緣，因此 （3） AB板只在 A處受支撐卻仍能在水平位置保持平衡。魔術(shù)師讓觀眾來檢查，證明時平板有且只有 A點與地面接觸，排除了看不見的支撐或懸掛等情況。你認(rèn)為這可能嗎？指出其中可能涉及的奧秘，并分析其中可能涉及的

13、參數(shù)。 系統(tǒng)只有 A鉸而平衡，這從靜力學(xué)角度是難以想象的，但是從動力學(xué)角度就可以實現(xiàn)。中一種可能是：箱子中有一個轉(zhuǎn)子，圓球離開時接通開關(guān)使圓輪加速轉(zhuǎn)動。 設(shè)飛輪轉(zhuǎn)動慣量為J ，可在箱內(nèi)電機驅(qū)動下以角加速度 順時針轉(zhuǎn)動。為說明問題，暫時設(shè)B處是鉸鏈。 用動靜法，飛輪上作用有力矩系統(tǒng)對 點取矩，有 A可以看出，如果B處的約束反力就為零（由于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動與電流有關(guān)，而 是常數(shù)，因此事先設(shè)計好電流的大小即可），這時撤去B處的約束不影響 板的平衡。 AB在表演魔術(shù)時，可以讓B點與圓球接觸時不通電，而圓球離開時通電。 四、出人意料的交線 （1）如果a ，求空隙的函數(shù)表達(dá)式 0 = 0 ，并畫出示意圖。 容易

14、看出， 時 0 a = AB桿在一個圓錐上運動，圓錐與 平面的交線為 yz（2）如果a ，求空隙的函數(shù)表達(dá)式 0 a ，并畫出示意圖。 0 與 a 有何關(guān)系？ 設(shè) AB與 yz平面的交點是P ， BP的長度為。則根據(jù)幾何關(guān)系， P點的坐標(biāo)為 消去參變量，有 所以 點的軌跡是拋物線（的一部分），這也就是空隙的方程。而曲線 0 是a 的漸進(jìn)線。 （3）當(dāng) 時，設(shè)P點是 AB桿與yz平面的交點，當(dāng)P 點位于 AB桿中點且時，如果要求 P點的速度和加速度，你如何考慮？如果取速度和加速度是多少？ 思路：采用點的復(fù)合運動關(guān)系，以p為動點， AB桿為動系。相對運動沿AB桿，牽連運動作定軸轉(zhuǎn)動，絕對運動是在

15、yz平面內(nèi)的拋物線上運動。 當(dāng) P為 AB 桿中點時，設(shè) P 點的坐標(biāo)為 (xp,yp , zp) ， B 點的坐標(biāo)為(xB,yB ,zB ) BOC= 。其中 其中由于 點在 平面內(nèi)運動，因此有 （ii）加速度分析：其中因此由于p 點在yz平面內(nèi)運動，因此有代入數(shù)據(jù)，有第六屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題 出題學(xué)校：清華大學(xué) 滿分：120 分 時間：3小時一、聲東擊西的射擊手（30 分） 射擊的最高境界，不僅是指哪打哪，還要知道往哪兒指。歡迎來到這個與眾不同的射擊場。在這里，共有 10 個小球 Pi（號碼從0 到9） ，你需要把某個小球放在圓弧的適當(dāng)位置上，然后靜止釋放小球即可。 假設(shè)系統(tǒng)在同

16、一豎直平面內(nèi)（如圖所示） ，不考慮摩擦。圓弧 AB的半徑為R，B點與地面的高度為H 。均質(zhì)細(xì)桿CD的質(zhì)量為M ，長為 L=0.5H ，懸掛點C與B處于同一水平位置，BC距離為S 。小球 Pi質(zhì)量均為m，不計半徑，小球 iP與CD桿或地面碰撞的恢復(fù)因數(shù)均為 ei ，且滿足 。 （1）為使小球 1 P擊中桿上D點，試確定靜止釋放時的 ，距離S 有何限制？ （2）假設(shè)某小球擊中CD桿上的E點，為使E點盡可能遠(yuǎn)離D點，試確定該小球的號碼及靜止釋放時的 ，此時CE的距離是多少？ （3）假設(shè)某小球擊中CD桿上的E點，為使懸掛點C處的沖量盡可能小，試確定該小球的號碼及靜止釋放時的 ，此時CE的距離是多少？沖

17、量有多大？ 二、驕傲自滿的大力士（35 分） 有位大力士總是自命不凡，他夫人決定找機會教訓(xùn)他一下。正好附近足球場的球門壞了一半，剩下的半邊球門如圖：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x軸方向，高為 H =2.4m ，橫梁 AB平行于地面，沿z軸負(fù)方向，長為L=H 。立柱和橫梁均為實心圓柱，直徑均為 D = 0.06m 。夫人經(jīng)過計算后想出了主意：和丈夫比賽，看誰能把球門拉倒。比賽規(guī)則是：通過系在橫梁B端中點的繩索，只能用靜力拉球門；繩索上有且只有B點系在與地面固定的物體上。繩索的重量不計，長度不限。球門不計自重，采用第三強度理論，材料的屈服應(yīng)力 S =57MPa 。 大力士認(rèn)為自己肯定不會輸，因

18、為他知道兩人鞋底與地面摩擦系數(shù)都是 =0.5 ，自己重量為 G1 = 700N ，夫人重量為 G2 = 700N。為了顯示自己的大度，他允許夫人享受一點點優(yōu)惠條件。于是夫人以B在地面的投影C為圓心，在地面上畫了一個半徑 R =0.8m 的圓圈， 要求丈夫身體在地面的投影不能進(jìn)該圓圈，但她自己不受限制。大力士認(rèn)為這么個小圓圈沒什么了不起，就同意了。 大力士抽簽先上場，他決定讓繩索與xy平面平行，但繩索與地面的夾角 不知多大為好，于是他在不同的角度試了多次，盡管每次都用了最大力氣，但是球門居然紋絲不動，也看不出有明顯的變形。而夫人上場后一用力就把球門拉倒了 （1）當(dāng)大力士讓繩索與地面成 角度，繩索

19、中的拉力最大為多大？該最大拉力與大力士拉繩的姿勢有無關(guān)系？ （2）當(dāng)大力士讓繩索與地面成 角度，球門中最危險點的坐標(biāo)值是多少？ （3）在限制條件下， 角為多少時大力士最接近把球門拉倒？夫人可能采用什么方式把球門拉倒？ 三、顧此失彼的挑戰(zhàn)者（30 分） 魔術(shù)正式開始前，魔術(shù)師邀請觀眾上臺了解道具，并體驗如何讓水晶球在板上平衡，有位觀眾自告奮勇要挑戰(zhàn)魔術(shù)師的問題。魔術(shù)師首先介紹道具 （如圖所示） ： 兩個透明的水晶圓球 O1 和 O2 ； 一個滾軸D；一個透明的水晶平板 AB，A端水平固定在墻中，不考慮自重時 AB板與水平面平行。在表演時，滾軸D可以根據(jù)需要安裝在 AB板的任意位置，且 A與D總在

20、同一高度。假設(shè)水晶板是均質(zhì)等截面板，長度為l，單位長度重量為q，彎曲剛度為EI 。兩均質(zhì)水晶圓球的半徑均為r，重量均為P=ql 。 假設(shè)表演中板的撓度和轉(zhuǎn)角都是小量，球與板之間有滑動摩擦，但不考慮球與板的接觸變形和滾動摩擦。觀眾發(fā)現(xiàn)，水晶板由于自重而微微彎曲，如果不安裝滾軸D，水晶球在板上可以擺放的任意位置都不能平衡。 魔術(shù)師的問題如下： （1）如果把滾軸D安裝在 AB板的B處，此時 AB板由于自重所導(dǎo)致的最大撓度在何處？ （2） 如果把滾軸D安裝在 AB板之間的某處， 有可能使水晶球 O1 在板上靜止，且球與板的接觸點恰好是B點。 如果不需要具體計算， 如何說明滾軸D是更靠近 A點還是更靠近

21、B點？定性畫出此時 AB板撓度的示意圖。 （3）如果把滾軸D安裝在 AB板的中點，能否讓水晶球 O1 在 AD之間某位置平衡，接觸點為 C1；同時讓水晶球 O2 在DB之間某位置平衡，接觸點為 C2。觀眾試著擺弄了很久，總是顧此失彼，最終也沒有成功。如果你認(rèn)為本問題有解， AC1和 AC2 的水平距離是多少？如果沒有解，如何證明？ 四、技高一籌的魔術(shù)師（25 分） 魔術(shù)正式開始，仍用上一題中的道具（板和球的具體參數(shù)見第三題） 。 魔術(shù)師首先撤去了滾軸D，觀眾看到兩個水晶球在板上任意位置靜止釋放，都會從板的B端掉下去。但是細(xì)心的觀眾發(fā)現(xiàn)，即使兩水晶球放在板的相同位置，掉下去所需時間卻明顯不同。

22、魔術(shù)師解釋說，雖然兩水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一個水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。說完在后落下的水晶球 O1 表面貼上了小紙片以示區(qū)別（假設(shè)小紙片的尺寸和重量相對水晶球均是小量） 。 只見魔術(shù)師對兩個水晶球吹了吹，聲稱已經(jīng)把魔力注入其中，然后小心地把貼有紙片的 O1 球靜止放在板上（接觸點為B點） ，同時讓紙片遠(yuǎn)離接觸位置，松手后水晶球O1竟然真的可以一直穩(wěn)穩(wěn)地停留在板上B點。 在觀眾的掌聲中，魔術(shù)師撤走了 O1球，把 O2球拿了起來。 “這個水晶球不太聽話，我的魔力只能管 1分鐘。 ”魔術(shù)師說完把 O2球轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)，然后更加小心地把 O2球也放在板上（接觸點為B點） 。觀眾發(fā)現(xiàn)，O

23、2球在B點停留了大約 1 分鐘，然后在沒有外界干擾的情況下突然從板上B端掉了下來 （1）根據(jù)題目敘述，試判斷哪個水晶球涂了新型材料？ （2）水晶球 O1可在B點一直穩(wěn)穩(wěn)地停留，簡要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。 （3）水晶球 O2只能在B點停留很短的時間，簡要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。 注：第四題解答中所用的參數(shù)都應(yīng)在第三、第四題中提及過。 第六屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題參考答案 清華大學(xué)航天航空學(xué)院 高云峰一、聲東擊西的射擊手（30 分） 二、驕傲自滿的大力士（35 分） （1） ；大力士拉繩的姿勢不

24、影響繩中最大拉力的大小。 （2）危險點坐標(biāo)（3）大力士在 0 = 時最接近拉壞球門： 1 -2 =56.0Mpa ；夫人進(jìn)入圓圈內(nèi)， =90 時可以有 1 -3= 57.9MPa .三、顧此失彼的挑戰(zhàn)者（30 分）（1）最大撓度處：（2）滾軸D更靠近B點；撓度示意圖如下： （3）解不存在，證明見解題過程。 四、技高一籌的魔術(shù)師（25 分） （1）水晶球 O2涂了新型材料。 （2）關(guān)鍵參數(shù)：；紙片重量 （3）關(guān)鍵參數(shù)：；初始角速度 第七屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題 出題學(xué)校：西北工業(yè)大學(xué) 滿分：120分 時間：3 小時 一、小球在高腳玻璃杯中的運動(20 分) 一半球形高腳玻璃杯， 半徑 r

25、=5cm， 其質(zhì)量 m1=0.3 kg， 杯底座半徑 R =5 cm，厚度不計，杯腳高度 h =10 cm。如果有一個質(zhì)量 1 . 0 2 = m kg 的光滑小球自杯子的邊緣由靜止釋放后沿杯的內(nèi)側(cè)滑下，小球的半徑忽略不計。已知杯子底座與水平面之間的靜摩擦因數(shù) fs = 0.5。試分析小球在運動過程中： （1）高腳玻璃杯會不會滑動； （2）高腳玻璃杯會不會側(cè)傾（即一側(cè)翹起） 。 二、雜耍圓環(huán)(40 分) 1.雜技演員將一個剛性圓環(huán)沿水平地面滾出，起始圓環(huán)一跳一跳地向前滾動，隨后不離開地面向前滾動，為什么？ 2.雜技演員拿出一個勻質(zhì)圓環(huán)，沿粗糙的水平地面向前拋出，不久圓環(huán)又自動返回到演員跟前。設(shè)

26、圓環(huán)與地面接觸瞬時圓環(huán)中心 O 點的速度大小為 v0 ，圓環(huán)的角速度為 0 ，圓環(huán)半徑為 r，質(zhì)量為 m，圓環(huán)與地面間的靜摩擦因數(shù)為 s f ，不計滾動摩阻，試問： （1）圓環(huán)能自己滾回來的條件是什么？ （2）圓環(huán)開始向回滾動直到無滑動地滾動，在此運動過程中，圓環(huán)所走過的距離是多少？ （3）當(dāng)圓環(huán)在水平地面上無滑動地滾動時，其中心的速度大小為 v1，圓環(huán)平面保持在鉛垂平面內(nèi)。試分析圓環(huán)碰到高為 的無彈性臺階后， 能不脫離接觸地爬上該臺階所應(yīng)滿足的條件。 3.演員又用細(xì)鐵棍推動題 2中勻質(zhì)圓環(huán)在水平地面上勻速純滾動，假設(shè)圓環(huán)保持在鉛垂平面內(nèi)滾動，如圖所示。又知鐵棍與圓環(huán)之間的靜摩擦因數(shù)為 ft

27、，圓環(huán)與地面間的滾動摩阻系數(shù)為 。試求為使鐵棍的推力（鐵棍對圓環(huán)的作用力）最小，圓環(huán)上與鐵棍的接觸點的位置。 三、趣味單杠(30 分) 單杠運動是奧運會、世界體操錦標(biāo)賽、世界杯體操比賽中男子體操比賽項目之一。單杠是體操比賽中最具觀賞性的項目，也是觀眾最喜歡的運動，在學(xué)校和健身場所擁有眾多的愛好者，小李和小張就是其中之一。一天，他們準(zhǔn)備在單杠上進(jìn)行大回環(huán)比賽。假設(shè)單杠的橫桿和立柱均為直徑 D=28mm的鋼桿，彈性模量E=200GPa，許用應(yīng)力=160MPa，橫桿長 L=2.4m，立柱高 H=2.6m。立柱與地面、橫桿與立柱之間均為固定聯(lián)結(jié)。假設(shè)兩人旋轉(zhuǎn)到單杠所在平面內(nèi)時的慣性載荷均為 F=1000N，不計人的自重。 1. 試分析兩人同步旋轉(zhuǎn)到單杠所在平面內(nèi)時，結(jié)構(gòu)中的最大應(yīng)力。 2. 若兩人相差 180旋轉(zhuǎn)到單杠所在平面內(nèi)， 對結(jié)構(gòu)中的最大應(yīng)力有什么影響。 3. 為提高結(jié)構(gòu)承載能力，有人提出在單杠距地面 0.6m 處增加一個直徑 20mm的拉桿。試定性分析該桿對上述兩種情況的影響。 四、跳板跳水(30 分) 舉世矚目的第 29 屆北京奧林匹克運動會上，具有“夢之隊”之稱的中國跳水隊獲得了跳水比賽8枚金牌中的7枚， 囊括了3m跳板跳水的4枚金牌。 Duraflex 的 Maxiflex Model B 跳水