1、12-2 12-2 變形體虛功原理及位移計算一般公式變形體虛功原理及位移計算一般公式2目目 錄錄12-1 12-1 概述概述 12-3 12-3 支座移動和溫度變化時的位移計算支座移動和溫度變化時的位移計算 12-4 12-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算 12-5 12-5 圖乘法圖乘法 12-6 12-6 互等定理互等定理 12-7 12-7 結(jié)構(gòu)位移計算公式的另一種推導結(jié)構(gòu)位移計算公式的另一種推導1.截面位移312-1 12-1 概述概述一、靜定結(jié)構(gòu)的位移一、靜定結(jié)構(gòu)的位移 靜定結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座移動以及靜定結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座移動以及制造誤

2、差等因素作用下，結(jié)構(gòu)的某個截面通常會制造誤差等因素作用下，結(jié)構(gòu)的某個截面通常會產(chǎn)生水平線位移、豎向線位移以及角位移。產(chǎn)生水平線位移、豎向線位移以及角位移。桁架受荷載作用桁架受荷載作用剛架受荷載作用剛架受荷載作用BuA APFBVB BC CA AB BC CPFcvcuc42.2.廣義位移廣義位移 通常把兩個截面的相對水平位移、相對豎通常把兩個截面的相對水平位移、相對豎向位移以及相對轉(zhuǎn)角叫做廣義位移。向位移以及相對轉(zhuǎn)角叫做廣義位移。AVBVAVBVPFAVBVA AB B 豎向位移之和豎向位移之和 相對豎向位移相對豎向位移a)a)支座支座B B下沉下沉cvcA AB BC CCC溫度變化溫度變

3、化c1t2tA AB BCCC C12ttcucv5ABAHBH ABAVBV q qA AB BAHBHA AB BPFAVBVb)b)c)c) 相對豎向位移相對豎向位移 相對水平位移相對水平位移6 A A左、右截面相對轉(zhuǎn)角左、右截面相對轉(zhuǎn)角e)e)d)d)AVBVABlA Al lB BAVBV ABAB桿轉(zhuǎn)角桿轉(zhuǎn)角PF A A7次梁跨中撓度次梁跨中撓度主梁跨中撓度主梁跨中撓度樓蓋跨中撓度樓蓋跨中撓度吊車梁跨中撓度吊車梁跨中撓度二、位移計算的目的二、位移計算的目的1 1）驗算結(jié)構(gòu)的剛度）驗算結(jié)構(gòu)的剛度11()200300l1400l11()200300l11()500600l82 2）為超

4、靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計算準備條件）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計算準備條件 求解超靜定結(jié)構(gòu)時，只利用平衡條件不能求求解超靜定結(jié)構(gòu)時，只利用平衡條件不能求得內(nèi)力或位移的唯一解，還要補充位移條件。得內(nèi)力或位移的唯一解，還要補充位移條件。1212kNkN7.57.5kN.mkN.m9 9kN.mkN.m2 2m m2 2m mA AB BkNFyB75. 3 如右圖示單跨梁，若如右圖示單跨梁，若只滿足平衡條件，內(nèi)力可只滿足平衡條件，內(nèi)力可以由無窮多組解答，例如以由無窮多組解答，例如 可以取任意值可以取任意值yBF9三、實功和虛功：三、實功和虛功：1.1.實功實功 力力 在由該力引起的位移在由該力引起的位

5、移 上所作的功稱為實功。即上所作的功稱為實功。即PF 右圖中，外力是從零開始線性增大至右圖中，外力是從零開始線性增大至 ，位移也從零線性增大至位移也從零線性增大至 。 也稱為靜力實功。也稱為靜力實功。 1PF11112PWFF FP P1 11 11121PFW102.2.虛功虛功 力力F FP P在由在由非該力引起的位移非該力引起的位移上所作的上所作的功叫作虛功。功叫作虛功。右圖簡支梁，先加右圖簡支梁，先加上上 ，則兩截面，則兩截面1PF1 1、2 2之位移分別為之位移分別為 。然后加。然后加 122PF，則，則1 1、2 2截面產(chǎn)生新的截面產(chǎn)生新的位移位移12和F FP P1 1F FP

6、P2 2121211實功：實功：虛功虛功：11221122PPFF11PF虛功強調(diào)作功的力與位移無關。虛功強調(diào)作功的力與位移無關。F FP P1 1F FP P2 2121212-2 12-2 變形體虛功原理及位移計算一般公式變形體虛功原理及位移計算一般公式12一、一、 變形體虛功原理變形體虛功原理定義：定義：設設變形體變形體在在力系力系作用下作用下處于平衡狀態(tài)處于平衡狀態(tài)，又設該變形體又設該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功，則外力在位移上做的外虛功W W恒等于各微段應力的合力在變形上作的內(nèi)虛恒等于各微段應力的

7、合力在變形上作的內(nèi)虛功功W Wi i ，即，即W=WW=Wi i 。13下面討論下面討論W W及及W Wi i 的具體表達式。的具體表達式。條件：條件：1 1）存在兩種狀態(tài)：存在兩種狀態(tài)： 第一狀態(tài)為作用有平衡力系；第一狀態(tài)為作用有平衡力系； 第二狀態(tài)為給定位移及變形。第二狀態(tài)為給定位移及變形。以上以上兩種狀態(tài)彼此無關兩種狀態(tài)彼此無關。 2 2）力系是平衡的，給定的變形是符合力系是平衡的，給定的變形是符合 約束條件的微小連續(xù)變形。約束條件的微小連續(xù)變形。 3 3）上述虛功原理適用于彈性和非彈性結(jié)構(gòu)。上述虛功原理適用于彈性和非彈性結(jié)構(gòu)。 14ds1C2C( )w s123第二狀態(tài)第二狀態(tài)（給定位

8、移和變形）（給定位移和變形）dsddsds0dds0ddsddsMMQFQFNFNFsd1RF2RF1PF2PF3PFq q(s)(s)q q(s(s)d)ds sdsds第一狀態(tài)第一狀態(tài)（給定平衡力系）（給定平衡力系）151122331122( ) ( )( ) ( )PPPRRPiiRKKiKWq s w s dsFFFF CF CWq s w s dsFF C 外力虛功：外力虛功：微段微段dsds的的內(nèi)虛功內(nèi)虛功dWdWi i：00()iQNQNQNdWMdF dF dM dsFdsF dsMFFds整根桿件的內(nèi)虛功為：整根桿件的內(nèi)虛功為：0()iiQNWdWMFFds16根據(jù)虛功方程根

9、據(jù)虛功方程W=WW=Wi i，所以有：，所以有：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFFCMFFds 結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件，則對全部桿件求總結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件，則對全部桿件求總和得：和得：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFF CMFFds 17小結(jié)：小結(jié)： 只要求兩個條件：力系是平衡的，給定的只要求兩個條件：力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。 上述虛功原理適用于各類結(jié)構(gòu)（靜定、超上述虛功原理適用于各類結(jié)構(gòu)（靜定、超靜定、桿系及非桿系結(jié)構(gòu)），適用于彈性或靜定、桿系及非桿系結(jié)構(gòu)），適用于

10、彈性或非彈性結(jié)構(gòu)。非彈性結(jié)構(gòu)。 考慮了桿件的彎曲、剪切及軸向變形?？紤]了桿件的彎曲、剪切及軸向變形。1)1)2)2)3)3)二、位移計算的一般公式18變形體虛功原理有兩種應用形式，即虛力變形體虛功原理有兩種應用形式，即虛力原理和虛位移原理。原理和虛位移原理。虛力原理：虛力原理：虛設平衡力系求虛設平衡力系求位移位移; ; 虛位移原理：虛位移原理：虛設位移求未知力。虛設位移求未知力。 用變形體虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移，是將用變形體虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移，是將求位移這一求位移這一幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。 10()PRKKQNKFF CMFFds所以所以01()QNRK

11、KKMFFdsF C1=1PF 在變形體虛功方程中，若外力只是一個單在變形體虛功方程中，若外力只是一個單位荷載位荷載 ，則虛功方程為，則虛功方程為 ：19 下面以圖示剛架為例對位移計算的一般公式下面以圖示剛架為例對位移計算的一般公式加以具體說明。加以具體說明。給定位移、變形給定位移、變形虛設平衡力系虛設平衡力系A AB BC C1PF MMdsNFNFQFQF1RF2RFCV1.1. 欲求欲求 ，則在，則在C C截面加上豎向單位載荷截面加上豎向單位載荷 ，則該靜定剛架就產(chǎn)生了一組平衡力系。，則該靜定剛架就產(chǎn)生了一組平衡力系。11PFA AB BC CPFcvcuc202. 2. 位移計算一般公

12、式位移計算一般公式外力虛功外力虛功 內(nèi)虛功內(nèi)虛功所求位移所求位移1CVRKkkWF C 0()iQNWMFFds01()CVQNRKKKMFFdsF CCV給定的位移和變形。給定的位移和變形。力和位移無關力和位移無關。11PF3. 小結(jié)小結(jié)1） 單位載荷單位載荷 在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的內(nèi)力和支座反力生的內(nèi)力和支座反力， 012dsdsdsCC、及QNRKM FFF、 、 、21=1CVW，則 與與 同向；若求得的 ， 0CVCV1PF3）外力虛功外力虛功 這一項前取正號。若求這一項前取正號。若求得的得的 0CV則 與 反向反向。CV1PFMdds2 2）正負號規(guī)則）正負號規(guī)則： 若若 及及

13、使桿件同側(cè)纖維伸長，則乘積為正使桿件同側(cè)纖維伸長，則乘積為正，反之為負；，反之為負； 乘積乘積 及及 的正負號分別由力與應變的正負的正負號分別由力與應變的正負號確定。號確定。 使隔離體產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負使隔離體產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負， 以以 順時針方向為正，反之為負順時針方向為正，反之為負； 以拉力為正，壓力以拉力為正，壓力為負為負， 以拉應變?yōu)檎?，壓應變?yōu)樨撘岳瓚優(yōu)檎瑝簯優(yōu)樨摚?若若 與 同向同向，則乘積則乘積 為正，反之為負為正，反之為負。0QFdsNFdsQF0NFRKFKCRKKFC224 4）根據(jù)所求位移的性質(zhì)虛設相應的單位載荷。根據(jù)所求位移的性質(zhì)虛設相應的單位

14、載荷。圖示單位荷載分別求位移圖示單位荷載分別求位移CHCVC、A AB BC C1115 5）求位移步驟如下：求位移步驟如下：沿擬求位移方向虛設性質(zhì)相應的單位載荷；沿擬求位移方向虛設性質(zhì)相應的單位載荷；求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；利用位移計算一般公式求位移。利用位移計算一般公式求位移。 23例例12-2-112-2-1 已知桿已知桿ABAB和和BCBC在在B B處有折角處有折角 ( (見圖見圖a)a)，求，求B B點下垂距離。點下垂距離。虛設平衡力系虛設平衡力系1/31/3c)c)A AB BC Cl l/3/32 2l l/3/32/32/

15、31 12 2l l/9/9給定位移給定位移b)b)a)a)1 1）將制造誤差明確為剛體位移，即在將制造誤差明確為剛體位移，即在B B截面加截面加鉸，見圖鉸，見圖b)b)。解：解：A AB BC Cl l/3/32 2l l/3/3A AB BC Cl l/3/32 2l l/3/30)9292(1ll0)(921l l92242 2）虛設平衡力系如圖虛設平衡力系如圖c)c)所示。運用虛功方程所示。運用虛功方程W W=0=0得：得：0)9292(1ll1/31/3虛設平衡力系虛設平衡力系c)c)A AB BC Cl l/3/32 2l l/3/32/32/31 12 2l l/9/9A AB

16、BC Cl l/3/32 2l l/3/3給定位移給定位移b)b)25例例12-2-212-2-2 已知桿已知桿ABAB在在B B左、右截面有豎向相對左、右截面有豎向相對錯動錯動 見圖見圖a) a) ，求，求 。A AB BC Cl l/3/32 2l l/ /3 3B Ba)a)A AB BC Cl l/3/32 2l l/ /3 312b)b)12給定位移給定位移26解：解：1 1）將制造誤差明確為剛體位移，將截面將制造誤差明確為剛體位移，將截面B B變變?yōu)榛瑒勇?lián)結(jié)，見上頁圖為滑動聯(lián)結(jié)，見上頁圖 b)b)。2 2）虛設平衡力系如圖虛設平衡力系如圖c c）所示）所示 。運用虛功方。運用虛功方

17、程程W W=0=0得：得：12121111()01()0llll 12()1/1/l lc)c) 虛設平衡力系虛設平衡力系A AB BC Cl l/3/32 2l l/ /3 31 11/1/l l1/1/l l1/1/l lRlllRdxMRdxRMdMCACACA84211111227例例12-2-312-2-3 已知一直桿彎曲成圓弧狀，求桿中撓度已知一直桿彎曲成圓弧狀，求桿中撓度 。解：解：虛設平衡力系如圖所示，運用變形體虛虛設平衡力系如圖所示，運用變形體虛功方程功方程 得：得：iWW給定位移給定位移虛設平衡力系虛設平衡力系A AB BC CR Rl/l/2 2l l/ /2 2A AB

18、 BC Cl l/ /2 2l l/ /2 2l l/ /4 41/1/2 21/1/2 21 1三、廣義位移的計算28求圖求圖a a）結(jié)構(gòu)）結(jié)構(gòu)A A、B B截面相對水平位移截面相對水平位移 。ABAHBH + +a)a) 給定位移給定位移q qA AB BAHAHBHBH,0 0 , , A AB B1 1c)c) 虛設單位荷載虛設單位荷載1 1111,NQFFMA AB B1 1b)b)NQFFM,1 1A AB B1 1d)d) 虛設單位荷載虛設單位荷載2 2222,NQFFM= =29虛設單位載荷如上圖虛設單位載荷如上圖c) c) ，d)d)所示所示。11011AHQNMdsFdsF

19、ds22021BHQNMdsFdsFds1212012 =+=()()()ABAHBHQQNNMMdsFFdsFFds由上圖由上圖b)b)可得：可得：121212QQQNNNMMMFFFFFF所以得：所以得：0ABQNM dsFdsFds30 所以，為了求兩個截面的相對位移，只需要所以，為了求兩個截面的相對位移，只需要在在該兩個截面同時加一對大小相等，方向相反，性該兩個截面同時加一對大小相等，方向相反，性質(zhì)與所求位移相應的單位荷載質(zhì)與所求位移相應的單位荷載即可。即可。下面給出幾種情況的廣義單位荷載：下面給出幾種情況的廣義單位荷載：q q求求1 11 1單位荷載單位荷載1)1)31A AB B1

20、/1/l l1/1/l l單位荷載單位荷載A AB Bl lAVAVBVBV求求AB+ +)/)/l l=(=(AVAVBVBVAB2)2)A AB BF FP P1 1A AB B求求AV AV - -BVBV1 1A AB B1 11 1求求AVAV+ +BVBVAVAVBVBV(A(A，B B截面豎向位移之和截面豎向位移之和）(A(A，B B截面相對豎向位移截面相對豎向位移）原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)3)3)32例例12-2-412-2-4 因溫度變化底板因溫度變化底板ABAB彎曲成半徑彎曲成半徑R R=10=10m m之圓弧狀，求截面之圓弧狀，求截面C C、D D的相對水平位移的相對水平位移 。CD

21、給定位移給定位移虛設平衡力系虛設平衡力系C CR R=10=10m mD D0.7m0.7mA AB BC CD D0.70.7A AB B1 11 10.70.72 2m mM 在截面在截面C C、D D上加一對大小相等上加一對大小相等 、方向相反、方向相反、 沿水平方向的單位荷載如圖所示。沿水平方向的單位荷載如圖所示。解：解：331111=0.7 2=0.14 ()1010CDBAMdMdxRMdxm注意，注意，ACAC、BDBD桿無彎曲變形。桿無彎曲變形。12-3 12-3 支座移動和溫度變化時的位移計算支座移動和溫度變化時的位移計算34一、支座移動時的位移計算一、支座移動時的位移計算說

22、明：說明：1 1）等號右邊的負號是公式推導而得出，不等號右邊的負號是公式推導而得出，不能去能去 掉。掉。RKFKC2 2）若若 與與 方向相同，則乘積方向相同，則乘積 為正，為正，RKKF C反之為負。反之為負。1RKKKFC 若靜定結(jié)構(gòu)只有支座移動而無其他因素作用若靜定結(jié)構(gòu)只有支座移動而無其他因素作用，則結(jié)構(gòu)只產(chǎn)生剛體位移而無變形，故對于桿件的，則結(jié)構(gòu)只產(chǎn)生剛體位移而無變形，故對于桿件的任意微段，應變?nèi)我馕⒍危瑧?均為零。所以支座移動均為零。所以支座移動時的位移計算公式為：時的位移計算公式為：,o1()( )44CVddaahh 35例例12-3-112-3-1 已知剛架支座已知剛架支座B

23、 B向右移動向右移動a,求求CVDHc、解：解：CABhd/2d/2aCAB1d/4hd/4h0.50.51）求求CV求求CV)()1(1haahC36CADB10.50.5h/dh/d求求DHd/2d/2hCADB1/h1/h00求求Cd/2d/2112）求求DH)(2)21(1aaDH3）求求C37二、溫度變化時的位移計算二、溫度變化時的位移計算 靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下各桿能自由變靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下各桿能自由變形，所以結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力。形，所以結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力。1. 1. 是溫度改變值，而非某時刻的溫度。是溫度改變值，而非某時刻的溫度。12tt、某時刻溫度某時刻溫度另一時刻溫度另一時刻

24、溫度t t1 1,t,t2 2是溫度改變值是溫度改變值C10C10C25C35Ct1510251Ct251035238 2. 2. 溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。截面上、下邊緣溫差：截面上、下邊緣溫差：21()tt令21-ttt 101121(- )httdtttth11 21 11 211-(-)=hth th th tthhhh1 22 1=h th th對于矩形截面桿件對于矩形截面桿件， ， 。12/2hhh012()/2ttthb桿軸線處溫度改變值桿軸線處溫度改變值 ：0th1h2ht1t2dsdst1dst2h1h2ht1t2t2 - t1dtd

25、st000=t dstds393. 3. 微段微段dsds的應變的應變拉應變拉應變彎曲應變彎曲應變剪應變剪應變21-1t dst dsdtdsdshh021ttt 4. 4. 位移計算公式位移計算公式1NMdsFd 0=NtMdsFt dsh0( )NtMdstF dsh40小結(jié)：小結(jié)：1 1） 正負號規(guī)則：正負號規(guī)則： 及溫度變化使桿件同一側(cè)纖及溫度變化使桿件同一側(cè)纖M維伸長（彎曲方向相同），則乘積維伸長（彎曲方向相同），則乘積tM dsh為正，反之為負。為正，反之為負。0t以溫度升高為正，降低為負，以溫度升高為正，降低為負， 以拉力為正以拉力為正，NF壓力為負。壓力為負。2 2）21|-

26、|ttt 120=52otttC41例例12-3-212-3-2 求圖示剛架求圖示剛架C C截面水平位移截面水平位移 。已知桿。已知桿件線件線 CH膨脹系數(shù)為膨脹系數(shù)為 ，矩形截面高為，矩形截面高為h h。o=10-0=10tC解：解：C CA AB Bd dd d1 1C CA AB Bd dd dC CA AB BCt01Ct102圖圖M圖圖NF1NF1NF4202105210(1)()CHNtMdstF dshdddahh 22122Mdsdd2 12NF dsdd 12-4 12-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算43一、一、 基本公式基本公式C CA A

27、B BD D虛設平衡力系虛設平衡力系NQFFM,F FP P=1=1給定位移、變形給定位移、變形F FP PC CA AB Bq qD D,0 0 , , DHDH,DVDV, ,D D( (M MP P,F,FQPQP,F,FNPNP ) )D D 求下圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移求下圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移 。4401()QNMdsFFds 若結(jié)構(gòu)只有荷載作用，則位移計算一般公式為：若結(jié)構(gòu)只有荷載作用，則位移計算一般公式為：PMEI0QPkFGANPFEA 上式適用的條件是：上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律小變形，材料服從虎克定律，即即體系是線性彈性體體系是線性彈性體。1QPNP

28、PQNkFFMMdsFdsFdsEIGAEA 1QQPNNPPkF FF FM MdsdsdsEIGAEA 在荷載作用下，應變在荷載作用下，應變 與內(nèi)力與內(nèi)力0、 、PQPMF、 的關系式如下：的關系式如下：NPF45正負號規(guī)則：正負號規(guī)則：1 1） 不規(guī)定不規(guī)定 和和 的正負號，只規(guī)定乘積的正負號，只規(guī)定乘積MPMPMM的正負號。若的正負號。若 和和 使桿件同一側(cè)纖維受使桿件同一側(cè)纖維受MPM拉伸長，則乘積為正，反之為負；拉伸長，則乘積為正，反之為負；正正MM MP P正正MM MP P負負MM MP P46 若結(jié)構(gòu)除荷載外，還有支座移動和溫度變化，若結(jié)構(gòu)除荷載外，還有支座移動和溫度變化，則

29、位移計算公式為：則位移計算公式為：2 2） 和和 以拉力為正，壓力為負；以拉力為正，壓力為負；NFN PF3 3） 和和 的正負號見下圖。的正負號見下圖。QFQPF1QQPNNPPkF FF FM MdsdsdsEIGAEA 0( )RKKNKtFCM dstF dshQFQFQFQF=PMMdsEI47二、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式二、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式1. 1. 梁和剛架梁和剛架 在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計算公式為：產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計算公式為： 在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變在高層建筑中，柱的軸力很大

30、，故軸向變形對位移的影響不容忽略。形對位移的影響不容忽略。 對于深梁，即對于深梁，即h h/ /l l 較大的梁，剪切變形的較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。影響不容忽略。NNPNNPF FF F ldsEAEA=NNPF FdsEA482. 2. 桁架桁架 桁架各桿只有軸力，所以位移計算公式為：桁架各桿只有軸力，所以位移計算公式為：4. 4. 拱拱NNPPF FMMdsdsEIEA 拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：3.3.組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)NNPPF F lMMdsEIEA 用于彎曲桿用于彎曲桿 用于二力桿用于二力桿49例例12-4-112-4-1 求簡

31、支梁中點豎向位移求簡支梁中點豎向位移 ，并討論剪切，并討論剪切變變CV形對位移的影響。形對位移的影響。q qx xA AM MP PF FQPQPqlql/2/2x xA AMQF0.0.5 5A AB BC Cl l/2/2l l/2/2F FP P=1=1A AB Bq qC Cl l/2/2l l/2/2)0(21)0()(21lxqxqlFlxxlqxMQPP/2/200221 112()()2 221( )( ) ( )22228llCQkkqqlqx dxlx dxGAGAkqlllkqlGAGA)20(2121lxFxMQ50解：解：CVCQCM /2/223004341112(

32、)()222115( )( ) ( )23242384llCMqxqx lx dxlxx dxEIEIqllqllEIEI 51 若桿截面為矩形，則若桿截面為矩形，則k=k=1.21.2；又；又=1/31/3，則，則E/G=E/G=2(12(1+ + ) )= =8/38/3，I/A=hI/A=h2 2/ /1212。222242)(56. 21123852.111408 .460538482 . 1lhlhlAIGEqlEIGAqlCMCQ若若h/l=h/l=1/101/10，則，則 h/l=h/l=1/21/2， 則則%56. 2CMCQ%64CMCQ可見，剪切變形的可見，剪切變形的影響不

33、能忽略。影響不能忽略。12-5 12-5 圖乘法圖乘法52 圖乘法是一種求積分的簡化計算方法，它圖乘法是一種求積分的簡化計算方法，它把求積分的運算轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積與豎把求積分的運算轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積與豎標的乘積的運算。標的乘積的運算。一、圖乘法基本公式一、圖乘法基本公式為方便討論起見，把積分為方便討論起見，把積分 改寫成改寫成dsEIMMPdsEIMMki0011111( )BikABikABiABABAM MdsEIM M dxEIM dxtgdEItgxdEIxtgEIyEI 53()EIconst()KM dxd()iMxtg()BoAxdx()oox tgyMi圖圖yxMk圖

34、圖d=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=xtgxx0ABy054說明：說明：1 1）條件：條件：ABAB桿為棱柱形直桿，即桿為棱柱形直桿，即EIEI等于常數(shù)等于常數(shù)；M Mi i與與M Mk k圖形中圖形中有一個是直線圖形有一個是直線圖形。2 2）y y0 0與與的取值：的取值： y y0 0一定取自直線圖形，一定取自直線圖形， 則取自另一個圖形則取自另一個圖形，且取，且取的圖形的形心位置是的圖形的形心位置是已知的，不必另行求解。已知的，不必另行求解。3 3）若若y y0 0與與在在桿軸或基線的桿軸或基線的同一側(cè)同一側(cè)，則，則乘積乘積y y0 0取正號取正號；若；若y y0 0與

35、與不在不在桿軸或基線的桿軸或基線的同一側(cè)同一側(cè)，則，則乘積乘積y y0 0取負號取負號。二、 常見圖形的幾何性質(zhì)55l l/ /2 2l l/ /2 2二次拋物線二次拋物線h h23lhl l二次拋物線二次拋物線h h二次拋物線二次拋物線3 3l l/4/4l l/ /4 4h hlh315 5l l/8/83 3l l/8/8二次拋物線二次拋物線h hlh3256三三 、 圖乘法舉例圖乘法舉例 運用圖乘法進行計算時運用圖乘法進行計算時, ,關鍵是對彎矩關鍵是對彎矩圖進行圖進行分段和分塊分段和分塊, ,尤其是正確的進行尤其是正確的進行分塊分塊。1203132MMy1203132MMyM M1

36、1M M2 2y y0 02 2l l/3/3l l/3/3M M1 1M M2 2y y0 02 2l l/3/3l l/3/357 分段分段 圖均應分為對應的若干段，然圖均應分為對應的若干段，然后進行計算。后進行計算。PMM、DBCDPPPPAABCMMMMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABCDABCDMPM58分塊分塊只對只對 或或 中的一個圖形進行中的一個圖形進行分塊，另一個圖形不分塊。分塊，另一個圖形不分塊。PMM1212()BBBBPPPPPAAAAMMM MMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABABMMP1MP259例例12-5-112-5-1 求求 。AV解：

37、解：作作 圖圖 圖，如上圖所示。圖，如上圖所示。MPM分段分段： ， 分為分為ACAC、CBCB兩段，兩段，分塊分塊： 圖的圖的CBCB段分為兩塊。段分為兩塊。MPMPM1122331211()AVyyyEIEIM MP PMA AC CB BEIEI1 1EIEI2 21 12 23 31 1F FP PC CB By y1 1y y2 2y y3 3EIEI1 1EIEI2 2A A60 此題還可以這樣處理：先認為整個此題還可以這樣處理：先認為整個ABAB桿的桿的剛度是剛度是 ，再加上剛度為，再加上剛度為 的的ACAC段，再減段，再減去剛度為去剛度為 的的ACAC段即可。段即可。2EI1E

38、I2EI112222212111AVyyyEIEIEIC CB BA AC CA AC CA A1 12 22 2M MP PEIEI2 2EIEI2 2EIEI1 1EIEI2 2+ +- -F FP PA AC CB BA AC CA AC CMEIEI2 2EIEI2 2EIEI1 1EIEI2 2y y2 2y y2 2+ +- -y y1 11 112336)4311632(2y EIEIyyEICV167.22)122134(1)(1221161例例12-5-2 求求 , EI等于常數(shù)等于常數(shù)。CV解：解：作作 圖圖 圖，如右圖所示圖，如右圖所示。MPM分段分段： ， 分為分為AC

39、AC、CBCB兩段。兩段。分塊分塊： 圖的圖的ACAC段分為兩塊。段分為兩塊。MPMPM1242 133 212 2 22 11y ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB21MPM2y2y162 如果將如果將ACAC段的段的 圖如下圖那樣分塊，就比圖如下圖那樣分塊，就比較麻煩。較麻煩。 PM1616A A4 4C C8 84 4PM圖圖例例12-5-312-5-3 求求 , , EIEI等于常數(shù)。等于常數(shù)。B作作 圖圖 圖，如下頁圖所示。圖，如下頁圖所示。MPM4 4kNkN5 5kNkN2 2kN/mkN/m1212kN.mkN.m4 4kN.mkN.m7 7kNkN4 4m m4 4

40、m mA AC CB B解：解：4 4kN.mkN.m4 4kNkN2 2kN/mkN/m2 2m mA AC C631116 864221814211/2y 22120(412)333y 32324433313(1 1/2)24y 1122331112 03 23()(6 44)233418 01 3 .3 3(3 28)()3ByyyE IE IE IE I1/21My12y381244MP圖圖13y2圖圖1ACBBAC（kN.m)64例例12-5-4 求求 , EI等于常數(shù)。等于常數(shù)。B解：解： 作作 圖及圖及 圖圖, ,如右所示。如右所示。MPM分段分段： ， 分為分為ABAB、BCB

41、C兩段。兩段。分塊分塊： 圖的圖的BCBC段分為兩塊。段分為兩塊。MPMPM6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/312y3y2M圖圖2yPM圖圖1412613（kN.m)65112212122 1414233912421224(146)233333yy 1122331()124221( 1432)933315617.33()9ByyyEIEIEIEI3324 1232313y 1/61/62/31/312y3y2M圖圖2yPM圖圖1412613（kN.m)66例例12-5-512-5-5 求求CHCH，EIEI等于常數(shù)。等于常數(shù)。解：解：A AB BC C2

42、2kN/mkN/mE EI IE EI I2 2kN/mkN/m4 4m m2 2m m作作M MP P圖和圖和 圖見下頁圖。圖見下頁圖。分塊分塊：M MP P圖的圖的ABAB段分為兩塊。段分為兩塊。M671122331832 421.53342324 423312 48(124)42yyy 1122331()1832(1.528 4)3316.67( 25.3332)()CHyyyEIEIEIEI 42y3=4121MP圖圖(kN.m)2m2y22y1M圖圖13ABC412-6 12-6 互等定理互等定理68 互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生的是小

43、變形，且桿件材料服從虎克定律。的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。一、一、 功的互等定理功的互等定理功的互等功的互等本質(zhì)上是虛功互等本質(zhì)上是虛功互等。下圖給出狀態(tài)下圖給出狀態(tài)I I和狀態(tài)和狀態(tài)IIII。PbFPaFQFMNF狀態(tài)狀態(tài)IIIIA AB B1 12 2a ab b21PaFPbFA AB B2PF1PF1 12 2a ab bba2PF1PFQFMNF狀態(tài)狀態(tài)I I120PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA 69MdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEAMdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEA令狀態(tài)令狀態(tài)I I的平衡力系

44、在狀態(tài)的平衡力系在狀態(tài)IIII的位移上做虛功，得到：的位移上做虛功，得到：PbFPaFQFMNF狀態(tài)狀態(tài)IIIIA AB B1 12 2a ab b21PaFPbFA AB B2PF1PF1 12 2a ab bba2PF1PFQFMNF狀態(tài)狀態(tài)I I70 同樣，令狀態(tài)同樣，令狀態(tài)IIII的平衡力系在狀態(tài)的平衡力系在狀態(tài)I I的位的位移上做虛功，得到：移上做虛功，得到：210PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA 所以所以PPFF 即即1122PPPaaPbbFFFF 71定理：定理： 在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)

45、的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功虛功W W1212等于等于第二狀第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功虛功W W2121。二、二、 位移互等定理位移互等定理定理：定理： 在任一線性變形體系中，由荷載在任一線性變形體系中，由荷載F FP P1 1引起的與引起的與荷載荷載F FP P2 2相應的相應的位移影響系數(shù)位移影響系數(shù)2121等于等于由荷載由荷載F FP P2 2引引起的與荷載起的與荷載F FP P1 1相應的相應的位移影響系數(shù)位移影響系數(shù)1212。即即 1212= =21211221WW即即72212121PPFF由功的互等定理

46、可得：由功的互等定理可得： 在線性變形體系中，位移在線性變形體系中，位移ijij與力與力F FPjPj的比值的比值是一個常數(shù)，記作是一個常數(shù)，記作ijij，即：，即：i ji jP jF或或2112112212PPijPjijFFF于是于是21121221PPPPFFFF所以所以2112狀態(tài)狀態(tài)IIII2PF1 12 22212狀態(tài)狀態(tài)I I1PF1 12 221117311PF1 12 2211121PF1 12 22212說明：說明：1 1） ijij也稱為也稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。 i i 產(chǎn)生位移的方位；產(chǎn)生位移的方位； j j 產(chǎn)生位移的原因。產(chǎn)

47、生位移的原因。2 2） F FP P1 1和和F FP P2 2可以是集中力也可以是集中力偶，則可以是集中力也可以是集中力偶，則相應的相應的1212和和2121就是線位移影響系數(shù)或角位移影就是線位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載廣義荷載，而位移則是，而位移則是廣義廣義位移位移。兩個廣義位移的量綱可能不等，但它們的影。兩個廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱響系數(shù)在數(shù)值和量綱 上仍然保持相等。上仍然保持相等。12()PPW F F74例例12-12-112-12-1 驗證位移互等定理。驗證位移互等定理。a a/2/2a a/2/21 1E EI

48、 IF FP P1 1= =F F2 21 12 2a a/2/2a a/2/21 1E EI IF FP P2 2= =M M1 12 22 2F FFaFa/4/4M M1 11 1a a/4/4解：解：EIMaMaaEIEIFaFaaEI16214121116214121121222175EIaMEIaF16/16/2121222121所以所以2112例例12-12-212-12-2 驗證位移互等定理。驗證位移互等定理。4 4m m1 1m m1 1E EI IF FP P1 1=5=5kN.mkN.m2 21 12 24 4m m1 1m m1 1E EI IF FP P2 2=3=3

49、kNkN2 21 12 276解：解：EIEIEIEIEIEI323/213143211325/31013145211121212212121所以所以21121 15 53 31 11 11 1三、反力互等定理77 反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu)反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu)，因為靜定結(jié)，因為靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力構(gòu)在支座移動時只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力均等于零。均等于零。1 12 2C C1 1F FR R2121F FR R1111狀態(tài)狀態(tài)I I1 12 2C C2 2F FR R2222F FR R1212狀態(tài)狀態(tài)IIII根據(jù)功的互等定理有：根據(jù)功的互

50、等定理有：002211222111RRRRFCFCFF112221CFCFRR78 在線性變形體系中，反力在線性變形體系中，反力F FRijRij與與C Cj j的比值為的比值為一常數(shù)，記作一常數(shù)，記作r rijij，即，即R ijijjFrC或或2121112122RijijjRRFr CFr CFr C所以所以21121221r CCr C C得得1221rr說明：說明： r rij ij 也稱為也稱為剛度系數(shù)，即產(chǎn)生單位位移所需施剛度系數(shù)，即產(chǎn)生單位位移所需施加的力加的力。其量綱為。其量綱為 。 i i 產(chǎn)生支座反力的方位；產(chǎn)生支座反力的方位； j j 產(chǎn)生支座移動的支座。產(chǎn)生支座移動的

51、支座。1 2()W cc79例例12-12-312-12-3 驗證反力互等定理驗證反力互等定理?？梢娍梢姡簉12=r2112EI lC2=112EI lC1=1r21r12r21=3EI/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l2定理定理在任一線性變形體系中，由位移在任一線性變形體系中，由位移C C1 1引起的與位移引起的與位移C C2 2相應的相應的反力影響系數(shù)反力影響系數(shù)r r2121等于由位移等于由位移C C2 2引起的與引起的與位移位移C C1 1相應的相應的反力影響系數(shù)反力影響系數(shù)r r1212。四、位移反力互等定理80根據(jù)功的互等定理有：根據(jù)功的互等定理有：1122121122

52、120PRPRFFCFFC 令令1221122121RPFrCF狀態(tài)狀態(tài)I I1 1F FP P1 12 2F FR R2121狀態(tài)狀態(tài)IIII1 11 12 22 2C C2 2上述支座可以是其它種類的支座，則支座位移、支上述支座可以是其它種類的支座，則支座位移、支座反力應與支座種類相應。座反力應與支座種類相應。81位移反力互等定理在混合法中得到應用。位移反力互等定理在混合法中得到應用。所以所以11221 212PPFCFr C 由此得到由此得到1221r 即即1212221211RPCFr F 上式中力可以是廣義力，位移可以是廣義位移。符上式中力可以是廣義力，位移可以是廣義位移。符號相反表明：虛功方程中必有一項，其力和位移方向號相反表明：虛功方程中必有一項，其力和位移方向相反。相反。系數(shù)系數(shù) 、的量綱都是、的量綱都是 。1221r12()PW F c定理定理 在任一線性變形體系中，由位移在任一線性變形體系中，由位移C C2 2引起的引起的與荷載與荷載F FP P1 1相應的相應的位移影響系數(shù)位移影響系數(shù) 在絕對值上等于在絕對值上等于由荷載由荷載F FP P1 1引起的與位移引起的與位移C C2 2相應的相應的