1、第十一章三角形11.1與三角形有關(guān)的線段一、三角形的邊三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，叫做三角形。1）三條線段（2）不在同一直線上（3）首尾順次相接L線段AB、BC.CA叫做三角形的邊2點(diǎn)R、C叫做三角形的頂點(diǎn)3.ZZBaZCnH做三角形的內(nèi)角簡(jiǎn)稱三角形的角。三角形AEC的三邊有時(shí)也用孕bG來(lái)表示.般的頂點(diǎn)A所對(duì)的邊記作d頂點(diǎn)E所對(duì)的邊記作氐頂點(diǎn)C所對(duì)的邊記作口三角形的表示：三角形用符號(hào)“”表示，記作“ABC”,讀作“三角形ABC”，除此ABC還可記作ABCA,CAB,ACB等.直角三角形按角分-銳角三角形鈍角三角形按邊分詁三角形的分類：不等邊三角形初喚底和腰不相

2、等的等腰三角形等腰三角形T等邊三角形等腰三角形：兩邊相等的三角形叫等腰三角形。相等的兩邊都叫腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。三角形中三邊的關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊。（在做題時(shí)，不僅要考慮到兩邊之和大于第三邊，還必須考慮到兩邊之差小于第三邊.）二、三角形的高、中線與角平分線三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線彳的線段，叫做三角形這邊的高，簡(jiǎn)稱三角形的高。銳角三角形的三條高交于同一點(diǎn)。三條高都在三角形的內(nèi)部。直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn).1、2、3、垂足之間ABd鈍角三角形的三條高不相交于一點(diǎn)。鈍角三角形的三條高所在直線交

3、于一點(diǎn)。三角形的三條高的特性銳角三角形直角三角形鈍角三角形咼在三角形內(nèi)部的數(shù)量311高所在的直線是否相交相交相交相交高之間是否相交相交相交不相交三條高所在直線的交點(diǎn)的位置三角形內(nèi)部直角頂點(diǎn)三角形外部總結(jié):三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)三角形的中線：在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形這邊的中線.三角形中線的符號(hào)語(yǔ)言：VAD是厶ABC的中線.BD=CD=1/2BC三角形的三條中線相交于一點(diǎn)交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部。三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心。三角形的角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部

4、三、三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性11.2與三角形有關(guān)的角四、三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角：三角形兩邊的夾角叫做三角形的內(nèi)角。三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于1800.直角三角形的兩個(gè)銳角互余.由三角形內(nèi)角和定理可得：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。直角三角形可以用符號(hào)“Rt”表示，直角三角形ABC也可以寫成RtAABC.例：已知厶ABC中，ZABC=ZC=2ZA,BD是AC邊上的高，求ZDBC的度數(shù)。小結(jié)：由三角形內(nèi)角和等于180，可得出直角三角形兩銳角互余；一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角或鈍角；任意一個(gè)三角形中，最多有三個(gè)銳角，最少有兩個(gè)銳角；一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角小于或

5、等于60。五、三角形的外角三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角三角形的外角和等于360。三角形外角的兩條性質(zhì)：1、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。11.3多邊形及其內(nèi)角和六、多邊形多邊形：在平面內(nèi)，由n條不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。多邊形的內(nèi)角和外角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角；多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.n邊形有n個(gè)內(nèi)角，2n個(gè)(n對(duì))外角多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。正多邊形：如果多邊形的各個(gè)角都相等，各條邊都

6、相等，那么就稱它為正多邊形.多邊形的內(nèi)角和與外角和：一般地，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作(n-3)條對(duì)角線，它們將n邊形分為(n-2)個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180.多邊形的外角和等于360q第十二章全等三角形一、全等三角形全等形：形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。兩個(gè)圖形全等，它們的形狀一定相同，大小一定相等！全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。其中：互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后所得到的三角形與原三角形全等。全等的表示：“全等”用符號(hào)“竺”來(lái)

7、表示，讀作全等于。書寫全等式時(shí)要求把對(duì)應(yīng)字母放在對(duì)應(yīng)的位置上全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.二、全等三角形的判定判定定理1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”）判定定理2：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。（簡(jiǎn)寫為“邊角邊”或“SAS”）判定定理3：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.（簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）判定定理4：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）判定定理5（直角三角形）：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。（簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）證明的書

8、寫步驟：準(zhǔn)備條件：證全等時(shí)要用的條件要先證好;三角形全等書寫三步驟：寫出在哪兩個(gè)三角形中擺出三個(gè)條件用大括號(hào)括起來(lái)寫出全等結(jié)論例：已知：如圖，AB=AD，BC二DC,求證：AABC竺ADC證明：在厶ABC和厶ADC中AB=AD（已知）BC=DC（已知）ABC竺ADC(SSS)AC=AC（公共邊）三、角的平分線的性質(zhì)角平分線：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。尺規(guī)作角的平分線：畫法：以0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交0A于M,交0B于N.分別以M,N為圓心.大于1/2MN的長(zhǎng)為半徑作弧.兩弧在ZA0B的內(nèi)部交于C.3作射線0C.射線0C即為所求.角平分線的性質(zhì)：1、角的

9、平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：QD丄OA,QE丄OB,點(diǎn)Q在ZAOB的平分線上QD=QE2、角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：/QD丄OA,QE丄OB,QD=QE.點(diǎn)Q在ZAOB的平分線上.第十三章軸對(duì)稱一、軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折,如果直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形。這條直線是這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。軸對(duì)稱：平面上的兩個(gè)圖形,將其中一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過(guò)去,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱,簡(jiǎn)稱軸對(duì)稱,這條直線叫對(duì)稱軸。兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（即兩圖形重合時(shí)互相重合的點(diǎn)

10、）叫做關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)。注意：如果一點(diǎn)在對(duì)稱軸上,它的對(duì)稱點(diǎn)就是它本身。例：判斷：1、軸對(duì)稱圖形必有對(duì)稱軸（）2、軸對(duì)稱圖形至少有一條對(duì)稱軸（）3、關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必能互相重合（）4、兩個(gè)完全互相重合的圖形必是軸對(duì)稱（）垂直平分線：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：1、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；2、軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。二、線段的垂直平分線的性質(zhì)：1、線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；2、與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的

11、點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。尺規(guī)作線段的垂直平分線（p63）三、畫軸對(duì)稱圖形例：如圖，已知ABC和直線1,作出與ABC關(guān)于直線1對(duì)稱的圖形。作法：（1）過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)O,在垂線上截取OA=OA，點(diǎn)A就是點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)。（2）過(guò)點(diǎn)B作直線丨的垂線，垂足為點(diǎn)P,在垂線上截取PB=PB，點(diǎn)B就是點(diǎn)B關(guān)于直線丨的對(duì)稱點(diǎn)。（3）過(guò)點(diǎn)C作直線丨的垂線，垂足為點(diǎn)M,在垂線上截取MU=MC,點(diǎn)C就是點(diǎn)C關(guān)于直線丨的對(duì)稱點(diǎn)。（4）連接AB、BC、CA,得到AA，BC即為所求。作圖步驟：1、找特征點(diǎn)2、作垂線3、截取等長(zhǎng)4、依次連線四、等腰三角形等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三

12、角形.等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.等腰三角形的性質(zhì)：性質(zhì)1：等腰三角形的兩底角相等。（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”性質(zhì)2：等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合。（簡(jiǎn)稱“三線合一”）例：在厶ABC中,AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度數(shù)解:AB=AC,BD=BC=AD,ZABC=ZC=ZBDCZA=ZADD（等邊對(duì)等角）設(shè)A=x,則ZBDC=ZA+ZABD=2x從而ZABC=ZC=ZBDC=2x于是在ABC中，有ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=18Oo.解得x=36o在厶ABC中，Z

13、A=36oZ,ABC=ZC=72o等腰三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）五、等邊三角形等邊三角形：三邊相等的三角形，叫做等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。等邊三角形的性質(zhì)：（1）邊三角形的三邊都相等；（2）邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。（3）等邊三角形的內(nèi)角都相等，且都等于60。等邊三角形的判定定理：1、三邊相等的三角形是等邊三角形.2、三個(gè)內(nèi)角都等于60。的三角形是等邊三角形.3、有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30o,那么它所對(duì)的直角邊等于斜

14、邊的一半。即在RtABC中，如果ZACB=90,ZA=30，那么BC=1/2AB第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法一、同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即aman二am+n(m,n都是正整數(shù))二、冪的乘方冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即(am)n=amn(m,n都是正整數(shù))三、積的乘方積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘即(ab)n=anbn(n是正整數(shù))四、整式的乘法單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)相乘、字母部分的同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。例：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式：用單項(xiàng)式分別去乘多項(xiàng)式

15、的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。例：a(bc)二ab+ac1、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的結(jié)果仍是多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。2、在單項(xiàng)式乘法運(yùn)算中要注意系數(shù)的符號(hào)。3、不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象，運(yùn)算要有順序。多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得積相加。例：(3x+1)(x+2)=(3x)x+(3x)2+1x+12=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2五、同底數(shù)冪相除同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即：am/an=am-n(a不等于0，m,n都是正整數(shù)，且mn)規(guī)定：ao=1(a不等于0),即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.六、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單

16、項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式,對(duì)于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。例：28x4y2/7x3y=(28/7)X4-3y2-i=4xy七、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加。例：(12a3-6a2+3a)/3a=12a3/3a-6a2/3a+3a/3a=4a2-2a+114.2乘法公式八、平方差公式兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這個(gè)公式叫做(乘法的)平方差公式.即：(a+b)(a-b)=a2-b2例：運(yùn)用平方差公式計(jì)算:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4(b+2

17、a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2九、完全平方公式兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方,等于它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍。即：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2這兩個(gè)公式叫做(乘法的)完全平方公式。14.3因式分解十、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫做多項(xiàng)式的因式分解。也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。即：一個(gè)多項(xiàng)式一幾個(gè)整式的積注意：必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式不能再分解為止例：X2-1=(X+1)(X-1)十一、分解因式的方法：1、提取公因式法如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以

18、把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式寫成乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。即：ma+mb+mc=m(a+b+c)例題：把下列各式分解因式6x3y2-9x2y3+3x2y2p(y-x)-q(x-y)(x-y)2-y(y-x)22、運(yùn)用公式法運(yùn)用公式法中主要使用的公式有如下幾個(gè)：a2b2=(a+b)(ab)a2+2ab+b2=(a+b)2平方差公式完全平方公式完全平方公式例題：把下列各式分解因式x24y29x2-6x+1a22ab+b2=(ab)23、十字相乘法公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)a例題：把下列各式分解因式X2-5x+6a2-a-24、分組分解法分組的原則

19、：分組后要能使因式分解繼續(xù)下去1、分組后可以提公因式2、分組后可以運(yùn)用公式例題：把下列各式分解因式3x+x2-y2-3y解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)=(x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3)x2-2x-4y2+1解：原式=X2-2x+1-4y2=(x-1)2-(2y)2=(x-1+2y)(x-1-2y)分解因式的技巧：一提：對(duì)任意多項(xiàng)式分解因式，都必須首先考慮提取公因式。二套：對(duì)于二項(xiàng)式，考慮應(yīng)用平方差公式分解。對(duì)于三項(xiàng)式，考慮應(yīng)用完全平方公式或十字相乘法分解。三分：再考慮分組分解法四查：檢查：特別看看多項(xiàng)式因式是否分解徹底第十五章分式、分式A分式：如果整式A除以整式B,可以表示成令的形式，且除式B中含有字母，那么稱式子B為分式.其中，A叫做分式的分母，B叫做分式的分子。分式的特點(diǎn)：1、分式是兩個(gè)整式相除的商式。對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不為零。即當(dāng)B不等于0時(shí)，分式言才有意義。x12、分?jǐn)?shù)線有除號(hào)和括號(hào)的作用，如：一1可表示為&-1)三(x-3).x3分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘或除以同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。經(jīng)過(guò)約分后的分式，其分子與分母沒(méi)