1、天津科技大學外文資料翻譯PAGE PAGE 16分數(shù)(fnsh)階系統(tǒng)所有(suyu)鎮(zhèn)定(zhndng)一階控制器的計算1.Electrical電子工程系，伊諾努大學，44280土耳其馬拉蒂亞，電子郵件：shamamci.tr2，化學工程，安納馬萊大學，Annamalainagar，印度泰米爾納德邦608002電子郵件： HYPERLINK mailto:pkbhaba pkbhaba摘要：本文提出了一種有效的運用一階控制器 C (s )=(x1s +x2)/(s +x3)解決一個給定但是任意的分數(shù)階系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題的方案。這個問題是通過在控制器的參數(shù)空間X1，X2，X3中運用D-分解技術確定

2、全局鎮(zhèn)定性區(qū)域來解決的。推導出解析表達式的目的是為了獲得這個區(qū)域的鎮(zhèn)定邊界，其描述為實根邊界，無窮根邊界和復根邊界。從而，獲得鎮(zhèn)定一階控制器參數(shù)的完整集合。通過幾個例子顯示該算法有一個簡單而可靠的結(jié)果，因此在分數(shù)階控制系統(tǒng)的分析與設計上這個算法是非常實用的。關鍵詞：鎮(zhèn)定，分數(shù)階系統(tǒng)，一階控制器1引言眾所周知，大多數(shù)的工業(yè)控制系統(tǒng)是低階和固定結(jié)構的控制器的形式，如PI，PID和一階超前/滯后控制器1。在過去的半個世紀中，大量的學術界和工業(yè)界的努力都集中在這些類型控制器的設計上，主要是在調(diào)整規(guī)則，辨識方案，鎮(zhèn)定方法等領域。在鎮(zhèn)定的領域， Ho等人2基于Hermite-Biehler定理廣義版本的著

3、作出版之后，近年報道了許多線性時不變系統(tǒng)反饋鎮(zhèn)定方面的重要成果。在Silva 等人的著作3中，Ho等人著作中2 的結(jié)果已被用于計算一個給定系統(tǒng)所有鎮(zhèn)定P，PI，PID和一階控制器的集合。然而，在指數(shù)階系統(tǒng)中這種方法的計算過程的難度會增大，這是該方法的一個缺點。Soylemez 等人4給出了一種運用Nyquist圖的可替代的快速方法，和Hermite-Biehler定理相比較，這種方法只需要較少的計算。Ackermann 和 Kaesbauer5也提出了奇異頻率概念的參數(shù)空間法，然而，這些方法中考慮到的鎮(zhèn)定問題可以完全處理好通過整數(shù)階微分方程來描述動態(tài)特性的系統(tǒng)。近年來，分數(shù)階系統(tǒng)已受到控制領域

4、越來越多的關注6。這主要是由于一個事實，即許多真實的物理系統(tǒng)是通過分數(shù)階差分方程來表現(xiàn)特性的，這些方程是非整數(shù)階衍生工具7。對于分數(shù)階系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性，Hamamci9給出了運用鎮(zhèn)定邊界軌跡法8的分數(shù)階PI和PID鎮(zhèn)定過程。然而，運用一階控制器獲得分數(shù)階系統(tǒng)鎮(zhèn)定區(qū)域的系統(tǒng)性研究目前并不存在。本文提出的分數(shù)階系統(tǒng)所有鎮(zhèn)定的一階控制器計算的計算方法，計算結(jié)果和公式都試圖填補了這一空白。在本文中，通過運用D-分解法10的結(jié)果，給出一種得到所有使任意的分數(shù)階系統(tǒng)鎮(zhèn)定的一階控制器C(S)=(X1S+X2)/(S+X3)問題的解決方案。這里介紹的解決一階控制器鎮(zhèn)定性的方法是在首先通過運用鎮(zhèn)定區(qū)域的邊界在（X1

5、，X2）平面內(nèi)獲得X3固定值的鎮(zhèn)定區(qū)域的基礎上。然后，通過在全局鎮(zhèn)定區(qū)域（X1，X2，X3）空間內(nèi)掃過X3的一個三維鎮(zhèn)定區(qū)域，獲得一個給定的對象。這種方法提供了幾個相當大的優(yōu)勢，例如，它可以應用到分數(shù)階系統(tǒng)，包括時間延遲和分數(shù)階混沌系統(tǒng)。就著者所知，這些問題都還沒有用一階控制器來分析。2 分數(shù)(fnsh)階系統(tǒng)的基本面 分數(shù)(fnsh)微積分是任意(rny)（非整數(shù)）階微分和積分的理論。自成立以來，數(shù)學這領域的主題一直是幾種導出分數(shù)階導數(shù)和積分11定義的一些方法。定義2.1 一個基本的算子aDty（微分和積分算子的一個推廣）介紹如下：其中，是分數(shù)階，它可以是一個復數(shù)，而a是對初始條件有關的常數(shù)

6、。在方程（1）中，()表示分數(shù)階的實數(shù)部分。方程（1）也被稱為微積分算子，因為它把積分和微分12的概念結(jié)合在一個單一算子中。在控制系統(tǒng)的分析和綜合中，拉普拉斯變換是常用的。通過下面的預期形式給出了微積分算子aDyT的拉普拉斯變換：其中F（s）=f（s）是正常的拉普拉斯變換信息，n為整數(shù)，滿足然后定義2.2 分數(shù)階系統(tǒng)是用微分方程表示的動態(tài)系統(tǒng)，其導數(shù)的階次可以是任意實數(shù)，不一定是整數(shù)13。因此，分數(shù)階系統(tǒng)相比整數(shù)階能更充分地為各種真實材料建立模型，從而在描述許多實際的動態(tài)過程中提供一個優(yōu)良的建模工具?？紤]下面表達式給出的分數(shù)階傳遞函數(shù)：其中ai，bi，i，i是任意實數(shù)。不失一般性，假設且G（s

7、）是一個適當?shù)膫鬟f函數(shù)，即，degD(S)=degN(S), 在時域中，G（S）對應的（N+1）項的非齊次分數(shù)階微分方程：其中(qzhng)，y（t）是輸出對象和（t）是輸入(shr)對象.3運用(ynyng)一階控制器的鎮(zhèn)定性考慮顯示在圖1中的單位分數(shù)階反饋控制系統(tǒng)，其中，G（s）是在（5）中給定的被控對象，C（S）是由下式給出的一階控制器問題是要計算在圖1中使對象鎮(zhèn)定的一階控制器的參數(shù)，控制系統(tǒng)的輸出由下式給出：定義3.1 方程（8）中的分母是用閉環(huán)系統(tǒng)的分數(shù)階特征方程（FOCE）來描述的。在一般情況下，F(xiàn)OCE不是一個多項式，而是一個復變量分數(shù)冪的偽多項式函數(shù)。因此，利用多項式判據(jù)對分數(shù)

8、階系統(tǒng)鎮(zhèn)定性直接檢查（e.g., Rouths or Jurys的表格）是不可能的。目前，只存在復雜分析的幾何方法，它是在所謂的論據(jù)原則的基礎上的，可以用來檢查BIBO（有界輸入有界輸出）的鎮(zhèn)定性14。將（5）和（7）代入（8），F(xiàn)OCE可以寫為：對于一個給定的一階控制器參數(shù)X1，X2和X3, 如果多項式P(S;X1,X2,X3)在閉合的s-平面（RHP）右半部無根，閉環(huán)系統(tǒng)被認為是BIBO鎮(zhèn)定的. 在坐標系為x1，x2和x3的參數(shù)空間P中的鎮(zhèn)定性域S是一個這樣的區(qū)域偽多項式P（s;x1,x2,x3）（X1，X2，x3）S）的根都位于s平面（LHP）的左半開區(qū)域。通過實根邊界（RRB），無窮根

9、邊界（IRB）和復根邊界（CRB）來描述的鎮(zhèn)定域S的邊界可以通過D-分解方法5，10，15的獲得. 這些邊界由方程P（0;k）= 0，P（;k）=0和P（;k）= 0，（0，）定義，其中，P (s; k )是該閉環(huán)系統(tǒng)的特征函數(shù)，k是控制器參數(shù)的矢量。在應用鎮(zhèn)定域S的鎮(zhèn)定邊界的描述到（9）中的FOCE時，可以得到RRB：在（5）對象(duxing)的傳遞函數(shù)中，IRB可以(ky)通過(tnggu)n= n唯一確定的。在這種情況下，IRB是由下面的方程描述：這是通過長期在（9）中的FOCE的最大指數(shù)等同到零發(fā)現(xiàn)的。大多數(shù)情況下，由于下圖中系統(tǒng)的階次：圖.1 一般分數(shù)階控制系統(tǒng)結(jié)構圖當對象傳遞函數(shù)

10、的分母階次大于分子的階次時，IRB不存在。為了構造CRB，將S =代入到（9）式，得到：可以通過下式來計算復數(shù)（+j）的非整數(shù)冪：其中是實部，是虛部，而是復數(shù)的分數(shù)階。運用（13）式，（12）中所必需的項和可通過下面來表示：其中(qzhng)和分別(fnbi)表示FOCE的實部和虛部，然后(rnhu)，使（18）式中的實部和虛部等于零，獲得：其中最后(zuhu)，通過求解（19）式2-D系統(tǒng)(xtng)，獲得(hud)X3項中X1，X2的參數(shù)，如下：當從0運行到時，上面兩個方程在表示CRB的（X1，X2）平面內(nèi)描繪出一條曲線，其中X3值固定。鎮(zhèn)定邊界RRB，IRB和CRB，將整個參數(shù)平面（X1

11、，X2）分為鎮(zhèn)定和不鎮(zhèn)定兩個區(qū)域?？梢酝ㄟ^檢查區(qū)域內(nèi)的任意測試點得到這個鎮(zhèn)定區(qū)域。鎮(zhèn)定區(qū)域的特征方程沒有RHP根，而不鎮(zhèn)定區(qū)域的特征方程具有一定數(shù)量的RHP根。馬蒂尼翁16提出了一個有效而且有用的算法來檢查分數(shù)階特征方程的鎮(zhèn)定性。具有鎮(zhèn)定特性方程的區(qū)域（稱之為一般鎮(zhèn)定區(qū)域）為X3的固定值提供了一組鎮(zhèn)定的X1和X2參數(shù)。通過掃過X3，獲得一個給定對象的三維鎮(zhèn)定區(qū)域，被稱為全局鎮(zhèn)定區(qū)域。在某些情況下，可能得到多于一個鎮(zhèn)定區(qū)域和/或不鎮(zhèn)定區(qū)域。給出如下一些情況：存在RRB：CRB穿過RRB中的一個點或多個點。在這些點上，通過將（10）式代入（24）或（25）確定CRB的頻率值。存在IRB： CRB和

12、IRB相交于一個或多個點。通過將式（11）和式（24）聯(lián)立，可以獲得這些交叉點和其頻率值。存在RRB和IRB：這種情況是以上兩種情況的結(jié)合。CRB 與RRB，IRB相交于多點。由于這些交點，可以得到太多的區(qū)域。通過檢驗每一區(qū)域來確定全局鎮(zhèn)定區(qū)域。因此，可以得到兩個或更多不相連的鎮(zhèn)定區(qū)域。所提方法的一個重要優(yōu)點是，在確定不相連的鎮(zhèn)定區(qū)域時不需要額外的計算。介紹的計算一階控制器的算法歸納如下：步驟1，從（10）和（11）中研究RRB和IRB存在。步驟2，為了求CRB,先運用（24）和（25）得到X3的多項式中的X1和X2的方程。步驟3，求X3的固定值。在同一個(x1,x2)平面中獲得描繪IRB,R

13、RB 和CRB的所有區(qū)域。通過運用任意檢驗點檢查每個區(qū)域來確定整體鎮(zhèn)定區(qū)域。 步驟4，繪制出掃過所有X3點的全局鎮(zhèn)定區(qū)域。4仿真實例下面，考慮兩個例子來證明該方法的有用性。4.1 例1 考慮基準分數(shù)階系統(tǒng)16其中(qzhng) a2=0.8,a1=0.5,a0=1,2=2.2 ，1=0.9. 設計的目的(md)是，確定使得(sh de)閉環(huán)特征方程鎮(zhèn)定的全局鎮(zhèn)定區(qū)域。推導出控制系統(tǒng)的FOCE如下：遵循（10）式，通過X2 +X3=0可以得到RRB，其中NN，IRB線不存在。（24）和（25）中給出了對應CRB的X1和X2的參數(shù)方程如下：對于最簡單的情況，即X3= 0時，一階控制器變成PI控制器

14、，其中kp = x1和ki= x2。如圖2所示的情況下在（X1，X2）的面內(nèi)繪制出CRB曲線和RRB直線。該圖中，在0,1.79范圍內(nèi)計算出CRB曲線。IRB方程和（29）聯(lián)立，計算出CRB曲線和RRB線的交點頻率為1.703。從圖2中可以觀察到該參數(shù)平面被分為四個區(qū)域，即R1，R2，R3和R4。通過運用任意測試點檢驗這些區(qū)域，確定一般鎮(zhèn)定區(qū)域即圖2中所示的陰影區(qū)域（R2）。在陰影區(qū)域中的所有（X1，X2）點構成為（26）式中對象的鎮(zhèn)定特征多項式。因此，設計人員可以同時決定選擇控制器的參數(shù)?？梢栽趫D3顯示出當x1=-0.5，x2從0.07,0.15到0.222變化時控制系統(tǒng)的階躍響應。從該圖中

15、可以看出，X2的值是從0提高到邊界值的，即x2= 0.222時，該控制系統(tǒng)具有更多的振蕩響應。如果X2的值大于邊界值，或小于零，該控制系統(tǒng)是不鎮(zhèn)定的。通過改變X3和重復上述過程，可以得到每個X3對應的不同的一般鎮(zhèn)定性區(qū)域。如圖4所示，全局鎮(zhèn)定區(qū)域可以在3-D圖中看到。由于全局鎮(zhèn)定區(qū)域在x3軸上沒有上邊界，為了能更好的可視化，該軸限制上限為X3=1.5。從該圖中還可以看出，X3的值越大提供的一般鎮(zhèn)定性區(qū)域也越大，這意味著，該控制系統(tǒng)通過增加X3的參數(shù)值產(chǎn)生更多的不同軌跡。如圖4中給出的結(jié)果證明的，可以得出結(jié)論，對于分數(shù)階系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性，提出的運用一階控制器的方法是簡單和可靠的。圖2對于(duy)一

16、階控制器的一般(ybn)鎮(zhèn)定(zhndng)區(qū)域（X3=0）圖3 對于一階控制器的不同（X1，X2）值的階躍響應（X3=0）圖4 在（X1，X2，X3）空間(kngjin)中的全局鎮(zhèn)定(zhndng)區(qū)域(qy)4.2 例2鋁棒熱系統(tǒng)有以下的傳遞函數(shù)其中b1=-0.0781,b0=0.1271,a2=3.064,a1=0.0305,a0=1.在應用所提出的方法來得到全局鎮(zhèn)定區(qū)域時，圖5在X3=0這最簡單的情況下，給出了將整個參數(shù)平面分為四個區(qū)域（即R1，R2，R3，R4）的CRB曲線和RRB線。通過檢查這些區(qū)域發(fā)現(xiàn)由R2表示的一個區(qū)域是真正的鎮(zhèn)定區(qū)域，其不包含RHP極點。其他區(qū)域具有至少一個R

17、HP極點，因此，它們不是鎮(zhèn)定區(qū)域。如圖6所示的全局鎮(zhèn)定區(qū)域是用第三節(jié)給出的步驟計算出的。全局鎮(zhèn)定區(qū)域包括所有使給定系統(tǒng)鎮(zhèn)定的一階控制器。 圖5對于一階控制器的一般鎮(zhèn)定區(qū)域（X3=0）圖6 對應不用X3值的一般鎮(zhèn)定區(qū)域組成的全局鎮(zhèn)定區(qū)域 5結(jié)論(jiln)本文(bnwn)給出了一個簡單而有效的獲得分數(shù)階合理系統(tǒng)的所有一階鎮(zhèn)定(zhndng)控制器的計算方法。該方法的基礎是通過D-分解法在（X1，X2，X3）空間中確定三維全局鎮(zhèn)定區(qū)域。另外，也可以用所提出的方法，通過由s+替換s相似的計算，使相對于移位的半平面鎮(zhèn)定。數(shù)值和圖形的計算結(jié)果表明，所提出的方法有分析和設計非常復雜的分數(shù)階控制系統(tǒng)的潛力。

18、在參數(shù)空間中的這些計算推廣到最優(yōu)控制是未來研究的主題。運用Hamamci和Tan 18給出的FTDP圖的方法可以獲得重要的時域規(guī)格的曲線，如全局鎮(zhèn)定域中的調(diào)整時間和最大超調(diào)。由于頻域和時域特性滿足單一平面，設計人員可以根據(jù)期望特性很容易地決定如何選擇控制器參數(shù)。積分時滯系統(tǒng)所有鎮(zhèn)定分數(shù)階PD控制器的計算Serdar Ethem Hamamcia， ，Muhammet Koksalba伊諾努大學，電氣電子工程系，44280馬拉蒂亞，土耳其b法提赫大學，電氣電子工程系，34500伊斯坦布爾，土耳其文章信息關鍵字：分數(shù)階控制，PD控制器，積分系統(tǒng)，時滯，鎮(zhèn)定摘要：本文提出了一種對于采用分數(shù)階PD控制器C（S）=kp+kds的積分時滯系統(tǒng)簡單而有效的鎮(zhèn)定方法。所提方法的基礎是在（0,2）的范圍內(nèi)根據(jù)微分環(huán)節(jié)的分數(shù)階得到鎮(zhèn)定區(qū)域。這區(qū)域是通過運用三個鎮(zhèn)定邊界：實根邊界（RRB），復根邊界（CRB）和無窮根邊界（IRB）計算出來的。該方法給出了明確的對應分數(shù)階PD控制器（PD控制器）的參數(shù)邊界的公式。因此，獲得了任意積分時滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器的完整集合。為了證明該方法在解決方案中的準確性和簡單性方面的效果，給出了兩個仿真研究。仿