1、2有限元法的基本原理2.1有限元簡(jiǎn)介有限元法：把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點(diǎn)處相互連接的單元（子域） 所構(gòu)成，其模型給出基本方程的分片（子域）近似解，由于單元（子域）可以 被分割成各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、 復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件有限元模型：它是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組 成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。有限元分析：是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況） 進(jìn)行模擬。并利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未 知量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。線(xiàn)彈性有限元是以理想彈性體為研究對(duì)象的，所考慮的變形

2、建立在小變形 假設(shè)的基礎(chǔ)上。在這類(lèi)問(wèn)題中，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線(xiàn)性關(guān)系，滿(mǎn)足廣義胡克 定律；應(yīng)力與應(yīng)變也是線(xiàn)性關(guān)系，線(xiàn)彈性問(wèn)題可歸結(jié)為求解線(xiàn)性方程問(wèn)題，所 以只需要較少的計(jì)算時(shí)間。如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法，也有助于降 低有限元分析的時(shí)間。線(xiàn)彈性有限元一般包括線(xiàn)彈性靜力學(xué)分析與線(xiàn)彈性動(dòng)力學(xué)分析兩方面。非線(xiàn)性問(wèn)題與線(xiàn)彈性問(wèn)題的區(qū)別：1）非線(xiàn)性問(wèn)題的方程是非線(xiàn)性的，一般需要迭代求解；2）非線(xiàn)性問(wèn)題不能采用疊加原理；3）非線(xiàn)性問(wèn)題不總有一致解，有時(shí)甚至沒(méi)有解。有限元求解非線(xiàn)性問(wèn)題可分為以下三類(lèi)：1）材料非線(xiàn)性問(wèn)題材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線(xiàn)性的，但應(yīng)力與應(yīng)變卻很微小，此時(shí)應(yīng)變與位移 呈線(xiàn)性關(guān)系，這類(lèi)問(wèn)

3、題屬于材料的非線(xiàn)性問(wèn)題。由于從理論上還不能提供能普 遍接受的本構(gòu)關(guān)系，所以，一般材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線(xiàn)性關(guān)系要基于試 驗(yàn)數(shù)據(jù)，有時(shí)非線(xiàn)性材料特性可用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬，盡管這些模型總有他們 的局限性。在工程實(shí)際中較為重要的材料非線(xiàn)性問(wèn)題有：非線(xiàn)性彈性（包括分 段線(xiàn)彈性）、彈塑性、粘塑性及蠕變等。2）幾何非線(xiàn)性問(wèn)題幾何非線(xiàn)性問(wèn)題是由于位移之間存在非線(xiàn)性關(guān)系引起的。當(dāng)物體的位移較 大時(shí)，應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線(xiàn)性關(guān)系。研究這類(lèi)問(wèn)題一般都是假定材料的應(yīng) 力和應(yīng)變呈線(xiàn)性關(guān)系。它包括大位移大應(yīng)變及大位移小應(yīng)變問(wèn)題。如結(jié)構(gòu)的彈 性屈曲問(wèn)題屬于大位移小應(yīng)變問(wèn)題，橡膠部件形成過(guò)程為大應(yīng)變問(wèn)題。3）非線(xiàn)性邊界問(wèn)

4、題在加工、密封、撞擊等問(wèn)題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬 于高度非線(xiàn)性邊界。平時(shí)遇到的一些接觸問(wèn)題，如齒輪傳動(dòng)、沖壓成型、軋制 成型、橡膠減振器、緊配合裝配等，當(dāng)一個(gè)結(jié)構(gòu)與另一個(gè)結(jié)構(gòu)或外部邊界相接 觸時(shí)通常要考慮非線(xiàn)性邊界條件。實(shí)際的非線(xiàn)性可能同時(shí)出現(xiàn)上述兩種或三種 非線(xiàn)性問(wèn)題。2.2剛塑性有限元法及其變分原理介紹2.2. 1剛塑性有限元法簡(jiǎn)介剛塑性有限元法是在1973年提出來(lái)的，這種方法雖然也基于小應(yīng)變的位 移關(guān)系，但忽略了材料塑性變形時(shí)的彈性變形部分，而考慮了材料在塑性變形 時(shí)的體積不變條件。它可用來(lái)計(jì)算較大變形的問(wèn)題，所以近年來(lái)發(fā)展迅速，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于分 析各種金屬塑性成形過(guò)程

5、。剛塑性有限元法的理論基礎(chǔ)是變分原理，它認(rèn)為在所有動(dòng)可容的速度場(chǎng)中， 使泛函取得駐值的速度場(chǎng)是真實(shí)的速度場(chǎng)。根據(jù)這個(gè)速度場(chǎng)可以計(jì)算出各點(diǎn)的 應(yīng)變和應(yīng)力。對(duì)于實(shí)際的金屬成形加工過(guò)程，彈性變形部分遠(yuǎn)小于塑性變形部分（彈性 應(yīng)變與塑性應(yīng)變之比通常在1/1001/1000 ），因而可忽略彈性變形，將材料 模型簡(jiǎn)化為剛塑性模型。采用剛塑性模型可大大簡(jiǎn)化有限元列式和求解過(guò)程。 與彈塑性有限元法相比較，可采用較大的時(shí)間增量步長(zhǎng)。在保證足夠的工程精 度的前提下，可提高計(jì)算效率。由于剛塑性有限元法采用率方程表示，材料變形后的構(gòu)形可通過(guò)在離散空 間對(duì)速度的積分而獲得，從而避開(kāi)了應(yīng)變與位移之間的幾何非線(xiàn)性問(wèn)題。由于

6、 忽略了彈性變形，剛塑性有限元法僅適合于塑性變形區(qū)的分析，不能直接分析 彈性區(qū)的變形和應(yīng)力狀態(tài)，也無(wú)法處理卸載和計(jì)算殘余應(yīng)力與變形。由于剛塑 性模型假設(shè)，對(duì)一般的體積不可壓縮材料，因?yàn)槠潇o水壓力與體積應(yīng)變率無(wú)關(guān)， 如要計(jì)算應(yīng)力張量，還必須進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算的處理。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)講，有限元法是解微分方程的一種數(shù)值方法。它的基本思 想是：在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)要解某一微分方程很困難（即求出原函數(shù)）時(shí)，先用適 當(dāng)?shù)膯卧獙⑶蠼鈪^(qū)域進(jìn)行離散化，在單元內(nèi)假定一個(gè)滿(mǎn)足微分方程的簡(jiǎn)單函數(shù) 作為解，求出單元內(nèi)各點(diǎn)的解；然后，再考慮各單元間的相互影響，最后求出 整個(gè)區(qū)域的場(chǎng)量。剛塑性有限元法的求解過(guò)程（1）離散化處理；（2）

7、單元分析的基礎(chǔ)上集合成總體方程組；（3）剛塑性有限元法集合成的總體方程組為一非線(xiàn)性方程組，還須線(xiàn)性化 處理并采用迭代方法求解。剛塑性有限元法按照處理方法的不同分成如下5種：（1）流函數(shù)法；（2）拉格朗日乘子法；（3）罰函數(shù)法；（4）泊松系數(shù)v接近0.5法；（5）材料可壓縮性法。剛塑性材料基本假設(shè)對(duì)于大變形金屬塑性成形問(wèn)題，將變形體視為剛塑性體，即把變形中的某些過(guò) 程理想化，便于數(shù)學(xué)上處理。此時(shí)，材料應(yīng)滿(mǎn)足下列假設(shè)：（1）不計(jì)材料的彈性變形；（2）材料的變形流動(dòng)服從Levy- Mises流動(dòng)法則；（3）材料是均質(zhì)各向同性體；（4）材料滿(mǎn)足體積不可壓縮性；（5）不計(jì)體積力與慣性力；（6）加載條件（

8、加載面）給出剛性區(qū)與塑性區(qū)的界限。2.2.2變分原理第一變分原理剛塑性材料的第一變分原理又稱(chēng)為馬爾柯夫（Markov）變分原理，其為：在 滿(mǎn)足：（1）速度一應(yīng)變關(guān)系(2.1)(2)體積不可壓縮條件 = = 0(3)速度邊界條件(在*上)u ui i的一切動(dòng)可容場(chǎng)Uq, 中使泛函:兀*J2O J J?T_ V-f FudS + f 人 8 dV 3 S V ij ijSFV ij ij(2.2)(2.3)(2.4)可以證明，在一切滿(mǎn)足應(yīng)變速率與速度關(guān)系和速度邊界條件的氣中，使泛 函式取駐值的*為真實(shí)解。完全廣義變分原理在第一變分原理中，所選擇的速度場(chǎng)必須滿(mǎn)足(1)，(2)和(3)式，實(shí)際問(wèn)題中，

9、有些條件比較容易滿(mǎn)足，而有些條件則不易滿(mǎn)足。為了容易選擇速度場(chǎng)， 應(yīng)用條件變分的概念，引用拉格朗日(Lagrangian)乘子七= .)，U.和入， 將運(yùn)動(dòng)許可解所必須滿(mǎn)足的條件引入泛函中，則得到新的泛函；1兀 * -20 f、： dV -f 3 S v i i+ f 旋 8 dV-fV ij ijSFu dS -f a sf i i v ij 四.(u - u )dS -ij1 (u + u2. -I, JJ，1dV(2.5)在任意選取的u.、.中，真實(shí)解使泛函取駐值，這就是剛塑性完全廣義變分原理。第一變分原理和完全廣義變分原理對(duì)比第一變分原理所選擇的叩口匕只要求滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)許可條件而靜力許可條

10、件 是通過(guò)變分近似滿(mǎn)足的。據(jù)廣義變分原理預(yù)選的u.和匕不受任何約束，所有的 方程均由變分近似滿(mǎn)足。所以，由第一變分原理計(jì)算的近似解較廣義變分原理 得到的解更精確。但前者在預(yù)選滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)許可條件的速度場(chǎng)時(shí)比后者困難。不完全的廣義變分原理在選取運(yùn)動(dòng)許可解和時(shí)，可將其應(yīng)滿(mǎn)足的三個(gè)條件中的任意兩個(gè)或一 個(gè)事先得到滿(mǎn)足，而將其余的一個(gè)或兩個(gè)，通過(guò)拉格朗日乘子引入泛函中，組 成新的泛函，真實(shí)解使泛函取駐值，這就是不完全廣義變分原理。在選擇速度場(chǎng)時(shí)應(yīng)變速率與速度的關(guān)系（1）式和速度邊界條（3）式容易滿(mǎn) 足，而體積不可壓縮條件（2）式難于滿(mǎn)足。因此，可以把體積不可壓縮條件用拉 格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛

11、函：= 2b j ?TdV-f FudS + j A 8 dV 1*0 o W : : :/cc 3 S V 時(shí)時(shí)SFV lJ lJ（2.6）可以證明，在一切滿(mǎn)足應(yīng)變速率與速度關(guān)系和速度邊界條件的ui中，使泛 函（2.6）式取駐值的ui為真實(shí)解。按照Markov變分原理求解時(shí)，面臨速度場(chǎng)選取的困難。因而在實(shí)際求解時(shí) 常采用不完全廣義變分原理求解塑性變形過(guò)程。對(duì)剛塑性體按Markov變分原理確定的泛函為：(2.7)兀=茹dv -j Fu dSvsf l l解決的問(wèn)題是尋找某種方式將體積不可壓縮條件式引入泛函（2.7）中，構(gòu)成 新的泛函，使問(wèn)題轉(zhuǎn)變成對(duì)新泛函的無(wú)條件的駐值問(wèn)題。通常采用拉格朗日乘

12、子法、罰函數(shù)法及修正罰函數(shù)法來(lái)構(gòu)造新的泛函。通過(guò)這樣的方法將體積不可 壓縮條件引入后，便能求靜水壓力。，從而解決了因忽略材料的彈性變形而 帶來(lái)的應(yīng)力計(jì)算的困難。m2.2.3剛塑性材料流動(dòng)的基本方程欲求解變形體在塑性變形時(shí)的場(chǎng)變量，首先要建立基本方程組。設(shè)變形體 的體積為V，在v內(nèi)給定體力pi；表面積為S，在S的一部分力面S上給定面力 q.，在*的另一部分速度（位移）面S上給定速度v。.，則材料在流動(dòng)過(guò)程中滿(mǎn) 足下列力學(xué)基本方程v1力平衡方程(2.8)2.力邊界條件即在St上幾何方程速度邊界條件即在S上體積不可壓縮方程6.屈服準(zhǔn)則假設(shè)材料符合密賽斯屈服準(zhǔn)則，即:,3S S = k2S S =甘2

13、. .2 .(2.9)(2.10)(2.11)(2.12)(2.13)式中k是變形過(guò)程的函數(shù)，如材料是理想剛塑性體時(shí)，k=const。 得到，符合密賽斯屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式：S =三七 (2.14)i. i剛塑性有限元法借助于變分原理可求出近似解，對(duì)變形場(chǎng)的位能泛函進(jìn)行 變分，當(dāng)變分取得駐值時(shí)，變形場(chǎng)滿(mǎn)足平衡微分方程和力學(xué)邊界條件。處理體積不變條件的方法有兩種：一是在假設(shè)初始速度場(chǎng)時(shí)，除了滿(mǎn)足速 度邊界條件以外，還應(yīng)嚴(yán)格滿(mǎn)足體積不變條件，這種方法給假設(shè)初始速度場(chǎng)帶 來(lái)困難。另一種方法是假設(shè)初始速度場(chǎng)只滿(mǎn)足速度邊界條件，而對(duì)體積不變引 入約束條件，即拉格朗日乘子進(jìn)行有條件變分。這種方法在運(yùn)算

14、中較易實(shí)現(xiàn)， 目前已得到廣泛應(yīng)用。2.2.4虛功原理變形體的虛功原理可以敘述如下：變形體中滿(mǎn)足平衡的力系在任意滿(mǎn)足協(xié) 調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。虛功原理是虛位移（功率）原理和虛應(yīng)力（率）原理的總稱(chēng)，它們都是與 某些控制方程相等效的積分“弱”形式，虛位移（功率）原理是平衡方程和力 的邊界條件的等效積分“弱”形式；虛應(yīng)力原理則是幾何方程和位移（速度） 邊界條件的等效積分“弱”形式。下面來(lái)推導(dǎo)虛功率原理。首先考慮平衡方程(2.15)b . + P, - 0以及力的邊界條件(2.16)fs v （b+ p ）dv f 5v （b n - q ） ds =

15、 0v i. jist. j i（2.17）對(duì)上式體積分中的第一項(xiàng)進(jìn)行積分，并注意到應(yīng)力張量是對(duì)稱(chēng)張量，以及 由于6是速度的變分，因而有在速度邊界上6七二0，再考慮體積內(nèi)部滿(mǎn)足幾 何方程，則可以得到1fsv b dv = f 詭 b dv + f Sv b n dsi ij,jij ij v i ij jvvst我們可以采用相應(yīng)的方法建立與他們等效的積分形式，在這里權(quán)函數(shù)不失 一般地取速度的變分5vi及其邊界值（取負(fù)值）。這樣就可得到上面兩式的等 效積分形式（2.18）將上式代入（2.11）式，就得到經(jīng)分部積分后的“弱”形式虛功率方程 p dv + f 5v q ds = 0ist（2.19）

16、上式第一項(xiàng)是變形體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變率上所作之功，即內(nèi)力虛功率；第二、 第三項(xiàng)分別為體積力、面力所作的虛功率。外力和內(nèi)力的虛功率和為零。這就 是虛功率原理。還應(yīng)指出的是，在推 關(guān)系，所以虛功率方 所以虛功方程是建立應(yīng)當(dāng)指出虛功率原理是力系平衡的必要和充分條件。 導(dǎo)虛功效率方程時(shí)，并未涉及物理方程（應(yīng)力一應(yīng)變率） 程不僅可以用于線(xiàn)彈性問(wèn)題，而且還可用于非線(xiàn)性問(wèn)題。 塑性加工過(guò)程中有限元法的一個(gè)重要工具。2.3 UG簡(jiǎn)介UG (Unigraphics NX)是 Siemens PLM Software 公司出品的一個(gè)產(chǎn)品工程 解決方案，它為用戶(hù)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)及加工過(guò)程提供了數(shù)字化造型和驗(yàn)證手段。 Unig

17、raphics NX針對(duì)用戶(hù)的虛擬產(chǎn)品設(shè)計(jì)和工藝設(shè)計(jì)的需求，提供了經(jīng)過(guò)實(shí)踐 驗(yàn)證的解決方案。UG同時(shí)也是用戶(hù)指南(user guide)和普遍語(yǔ)法(Universal Grammer)的縮寫(xiě)。這是一個(gè)交互式CAD/CAM(計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與計(jì)算機(jī)輔助制造)系統(tǒng)，它功 能強(qiáng)大，可以輕松實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜實(shí)體及造型的建構(gòu)。它在誕生之初主要基于工 作站，但隨著PC硬件的發(fā)展和個(gè)人用戶(hù)的迅速增長(zhǎng)，在PC上的應(yīng)用取得了迅 猛的增長(zhǎng)，已經(jīng)成為模具行業(yè)三維設(shè)計(jì)的一個(gè)主流應(yīng)用。UG的開(kāi)發(fā)始于1969年，它是基于C語(yǔ)言開(kāi)發(fā)實(shí)現(xiàn)的。UG NX是一個(gè)在二和 三維空間無(wú)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上使用自適應(yīng)多重網(wǎng)格方法開(kāi)發(fā)的一個(gè)靈活的數(shù)值求解

18、偏 微分方程的軟件工具。其一個(gè)給定過(guò)程的有效模擬需要來(lái)自于應(yīng)用領(lǐng)域(自然科 學(xué)或工程)、數(shù)學(xué)(分析和數(shù)值數(shù)學(xué))及計(jì)算機(jī)科學(xué)的知識(shí)。然而，所有這些技術(shù) 在復(fù)雜應(yīng)用中的使用并不是太容易。這是因?yàn)榻M合所有這些方法需要巨大的復(fù) 雜性及交叉學(xué)科的知識(shí)。一些非常成功的解偏微分方程的技術(shù)，特別是自適應(yīng) 網(wǎng)格加密和多重網(wǎng)格方法在過(guò)去的十年中已被數(shù)學(xué)家研究，同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)技 術(shù)的巨大進(jìn)展，特別是大型并行計(jì)算機(jī)的開(kāi)發(fā)帶來(lái)了許多新的可能。UG的主要功能有：1.工業(yè)設(shè)計(jì)NX為那些培養(yǎng)創(chuàng)造性和產(chǎn)品技術(shù)革新的工業(yè)設(shè)計(jì)和風(fēng)格提供了強(qiáng)有力的 解決方案。利用NX建模，工業(yè)設(shè)計(jì)師能夠迅速地建立和改進(jìn)復(fù)雜的產(chǎn)品形狀， 并且使用先進(jìn)

19、的渲染和可視化工具來(lái)最大限度地滿(mǎn)足設(shè)計(jì)概念的審美要求。產(chǎn)品設(shè)計(jì)NX包括了世界上最強(qiáng)大、最廣泛的產(chǎn)品設(shè)計(jì)應(yīng)用模塊。NX具有高性能的 機(jī)械設(shè)計(jì)和制圖功能，為制造設(shè)計(jì)提供了高性能和靈活性，以滿(mǎn)足客戶(hù)設(shè)計(jì)任 何復(fù)雜產(chǎn)品的需要。NX優(yōu)于通用的設(shè)計(jì)工具，具有專(zhuān)業(yè)的管路和線(xiàn)路設(shè)計(jì)系 統(tǒng)、鈑金模塊、專(zhuān)用塑料件設(shè)計(jì)模塊和其他行業(yè)設(shè)計(jì)所需的專(zhuān)業(yè)應(yīng)用程序。仿真、確認(rèn)和優(yōu)化NX允許制造商以數(shù)字化的方式仿真、確認(rèn)和優(yōu)化產(chǎn)品及其開(kāi)發(fā)過(guò)程。通過(guò) 在開(kāi)發(fā)周期中較早地運(yùn)用數(shù)字化仿真性能，制造商可以改善產(chǎn)品質(zhì)量，同時(shí)減 少或消除對(duì)于物理樣機(jī)的昂貴耗時(shí)的設(shè)計(jì)、構(gòu)建，以及對(duì)變更周期的依賴(lài)。NC加工UG NX加工基礎(chǔ)模塊提供聯(lián)接UG所有加工模塊的基礎(chǔ)框架，它為UG NX所 有加工模塊提供一個(gè)相同的、界面友好的圖形化窗口環(huán)境，用戶(hù)可以在圖形方 式下觀(guān)測(cè)刀具沿軌跡運(yùn)動(dòng)的情況并可對(duì)其進(jìn)行圖形化修改：如對(duì)刀具軌跡進(jìn)行 延伸、縮短或修改等。該模塊同時(shí)提供通用的點(diǎn)位加工編程功能，可用于鉆孔、 攻絲和鏜孔等加工編程。該模塊交互界面可按用戶(hù)需求進(jìn)行靈活的用戶(hù)化修改 和剪裁，并可定義標(biāo)準(zhǔn)化刀具庫(kù)、加工工藝參數(shù)樣板庫(kù)使初加工、半精加工、 精加工等操作常用參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，以減少使用培訓(xùn)時(shí)間并優(yōu)化加工工藝。UG軟件 所有模塊都可在實(shí)體模型上直接生成加工程序，并保持與實(shí)體模型全相關(guān)。UG NX的加工后置處理