1、第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān),叁知識能否憶起一、平面的基本性質(zhì)名稱圖示文子表小付萬表/、公理1如果一條直線上的兩 點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)ACl, BCl,且 AC a,B oc?l? a公理2過/、在一條直線上的三點(diǎn)，有且只什-個平面公理3如果兩個不重合的平向有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線pc %且 pc 儻“n 3=l,且 PC l二、空間直線的位置關(guān)系.位置關(guān)系的分類.平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).異面直線所成的角（或夾角）（1）定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過空

2、間中任一點(diǎn) O作直線a / a, b / b,把a(bǔ) 與b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角.一兀(2)范圍：0, 2 .三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號表示公共點(diǎn)個數(shù)直線l在平囿a內(nèi)1?無數(shù)個直線l與平囿a相交l a= A一個直線l與平囿a平行l(wèi) 1 a0個四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示付萬表/、公共點(diǎn)個數(shù)兩個平囿平行all 30個兩個平囿相交aCl 3= l無數(shù)個(這些公共點(diǎn)均在交線l上)1.三個公理的作用(1)公理1的作用：檢驗平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi).(2)公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件.

3、(3)公理3的作用：判定兩平面相交；作兩相交平面的交線；證明多點(diǎn)共線.(1)判定方法：反證法；利用結(jié)論即過平面外一點(diǎn)與平 面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平囿內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異向直線，如圖.(2)所成的角的求法：平移法.平囿的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1 (2012湘潭模擬)如圖所示，在止方體 ABCD- 為A1A的中點(diǎn)，典題導(dǎo)入-A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)2.異面直線的有關(guān)問題求證：CE, DiF, DA三線共點(diǎn).自主解答-EF -CDi ,直線DiF和CE必相交.設(shè) DiF A CE= P,.P DiF 且 DiF?平面 AAiDiD ,. PC 平面 AAi Di D.又P C EC且CE?平面AB

4、CD ,. PC 平面 ABCD,即P是平面 ABCD與平面AAiDiD的公共點(diǎn).而平面 ABCDn平面 AAiDiD = AD. PC ad. CE、DiF、DA三線共點(diǎn).本例條件不變試證明 E, C, Di, F四點(diǎn)共面.證明：/E, F分別是AB和AAi的中點(diǎn)，i _. EF 觸/iB.又 AiDi 觸 BiCi 觸 BC.四邊形AiDiCB為平行四邊形. AiB /CDi,從而 EF/CDi. EF與CDi確定一個平面.E, Ci, F, D四點(diǎn)共面.由題悟法.證明線共點(diǎn)問題常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直 線上.證明點(diǎn)或線共面問題一般有以下兩種途徑：首先由所

5、給條件中的部分線（或點(diǎn)）確定一個平面，然后再證其余線 （或點(diǎn)）均在這個平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別 確定平面，再證平面重合.以題試法1. （1）（2012江西*II擬）在空間中，下列命題正確的是（）A.對邊相等的四邊形一定是平面圖形B.四邊相等的四邊形-一定是平面圖形C.有一組對邊平行的四邊形一定是平面圖形D.有一組對角相等的四邊形一定是平面圖形對于四面體 ABCD,下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號 ）.相對棱AB與CD所在直線異面；由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是 BCD三條高線的交點(diǎn)；若分別作 ABC和 ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面;分別作三組相對棱中點(diǎn)

6、的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn).解析：(1)由“兩平行直線確定一個平面 ”知C正確.(2)由四面體的概念可知， AB與CD所在的直線為異面直線，故正確;由頂點(diǎn)A作四面體的高，只有當(dāng)四面體 ABCD的對棱互相垂直時，C其垂足是 BCD的三條高線的交點(diǎn)， 故錯誤；當(dāng)DA = DB, CA=CB時，這兩條高線共面，故錯誤；設(shè) AB, BC, CD, DA的中點(diǎn)依次為E, F, M, N,易證四邊形 EFMN為平行四邊形，所以EM與FN相交于一點(diǎn)，易證另一組對棱中點(diǎn)的連線也過它們的交點(diǎn)，故正確.答案：(1)C (2)異面直線的判定典題導(dǎo)入例2 (2012金華卞II擬)在圖中，G, N, M, H分別

7、是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn), 則表示直線GH, MN是異面直線的圖形有 .(填上所有正確答案的序號)自主解答圖中，直線GH/MN;圖中，G, H, N三點(diǎn)共面，但 M?面GHN,因此直線GH與MN異面；圖中，連接 MG, GM/HN,因此GH與MN共面;圖中，G, M, N共面，但H?面GMN,因此GH與MN異面.所以圖中GH與MN異面.答案由題悟法.異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面.此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到.客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線

8、，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線.以題試法.已知m, n, l為不同的直線，a, 3為不同的平面，有下面四個命題：m, n為異面直線，過空間任一點(diǎn) P, 一定能作一條直線l與m, n都相交.m, n為異面直線，過空間任一點(diǎn)P, 一定存在一個與直線 m, n都平行的平面.江& aA 3= l, m? a, n? 3, m, n與l都斜交，則 m與n一定不垂直；m, n是a內(nèi)兩相交直線，則 a與3相交的充要條件是 m, n至少有一條與 3相交.則四個結(jié)論中正確的個數(shù)為 （）B. 2C. 3D. 4解析：選B錯誤，因為過直線 m存在一個與直線 n平行的平面，當(dāng)點(diǎn) P在這個平 面內(nèi)且不在直線 m上時

9、，就不滿足結(jié)論；錯誤，因為過直線 m存在一個與直線n平行的 平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個平面內(nèi)時， 就不滿足結(jié)論；正確，否則，若 mn,在直線m上取 一點(diǎn)作直線a 1,由 n 3,彳導(dǎo)a, n.從而有n a,則nl；正確.異面直線所成角典題導(dǎo)入例3 （2012大綱全國卷）已知正方體 ABCD AiBiCiDi中，E, F分別為BBi, CCi的 中點(diǎn)，那么異面直線 AE與DiF所成角的余弦值為 .自主解答連接DF,則AE/DF,RiFD即為異面直線 AE與DiF所成的角.2設(shè)正方體棱長為a,. cosZDiFD*a2十2當(dāng)a*a252 a5則 DiD = a, DF= 2 a,由題悟法求異面直線所成的角

10、一般用平移法，步驟如下：(1)一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角, 如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.以題試法3. (2012唐山*II擬)四棱錐P-ABCD的所有側(cè)棱長都為 迎底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與RA所成角的余弦值為()解析：選B 如圖所示，因為四邊形ABCD為正方形，故CD/AB,則CD與PA所成的角即為 AB與PA所成的角/ PAB,在ARAB內(nèi)，PB=FA = g AB =2,利用余弦定理可知：PA2+AB2-PB25+45

11、 J5cos / PAB = -c 、/ E 、/ a=-=r= nr.2X PAX AB2X 2X 75 5小題能否全取.（教材習(xí)題改編）已知a, b是異面直線，直線 c平行于直線a,那么c與b（ ）A .異面B.相交C.不可能平行D.不可能相交解析：選C 由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b / c,則a / b.與a, b是異面直線相矛盾. （2012東北三校聯(lián)考）下列命題正確的個數(shù)為（）經(jīng)過三點(diǎn)確定一個平面；梯形可以確定一個平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合. TOC o 1-5 h z A. 0

12、B. 1C. 2D. 3解析：選C 錯誤，正確.已知空間中有三條線段 AB, BC和CD,且/ ABC=Z BCD ,那么直線 AB與CD的位置關(guān)系是（）AB/ CDAB與CD異面AB與CD相交AB / CD或AB與CD異面或 AB與CD相交解析：選D 若三條線段共面，如果 AB, BC, CD構(gòu)成等腰三角形，則直線 AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直 線.（教材習(xí)題改編）如圖所示，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E, F分別是AB, AD的中點(diǎn)，則異面直線 BiC與EF所成的角的大小為解析：連接BiDi, DiC,則 BiDi /EF,故/Di

13、BiC 為所求，又 BiDi= BiC= DiC, JDiBiC=60.答案：605.（教材習(xí)題改編）平行六面體ABCDAiBiCiDi中既與AB共面又與CCi共面的棱的條數(shù)為.解析：如圖，與AB和CCi都相交的棱有 BC;與AB相交且與CCi 平行的棱有 AAi, BBi;與AB平行且與 CCi相交的棱有 CD, CiDi, 故符合條件的棱共有 5條.答案：5第四節(jié)直線、平面平行的判定及性質(zhì)知識能否憶起一、直線與平面平行i.判定定理文字語百圖形語百符號語后判定定理平囿外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行, 則直線與此平囿平行a? ab? a 2aH ab / a2.性質(zhì)定理文字語百圖形語百符號

14、語后性質(zhì)定理一條直線與一個平囿平 行，則過這條直線的任 一半囿與此平囿的交線a II a._a?_3?a / b加片b與該直線旺、平面與平面平行1.判定定理文字語百圖形語百符號語后判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交 直線與另一個平面平 行，則這兩個平面平行a? ab? aan b=P?a/ 3_aj_3b/ 32.兩平面平行的性質(zhì)定理文字語百圖形語百符號語后性質(zhì)定理如果兩個平行平囿同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行all 3加尸a ?aH ben-b1.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系: 判定 判定線/線|判定 性質(zhì)|線/面下店引面/面|性質(zhì).在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化

15、，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在性質(zhì)定理的應(yīng)用中，其順序恰好相反， 但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”.輔助線（面）是求證平行問題的關(guān)鍵，注意平面幾何中位線，平行四邊形及相似中有 關(guān)平行性質(zhì)的應(yīng)用.線囿平行、囿囿平行的基本問題典題導(dǎo)入例1 (2011福建高考)如圖，正方體 ABCD AiBiCiDi中，AB = 2, 點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF /平面ABiC,則線段EF的長 度等于.自主解答因為直線 EF/平面 ABiC, EF?平面 ABCD ,且平面ABiCn平面ABCD = AC,所以EF/AC.又因為點(diǎn) E是DA的

16、中點(diǎn)，所以F是DC的中點(diǎn)，由i .,中位線定理可得EF = /C.又因為在正萬體 ABCDAiBiCiDi 中，AB=2,所以 AC=2/2.所以 EF = /2.答案本例條件變?yōu)椤?E是AD中點(diǎn)，F(xiàn), G, H, N分別是AAi , AiDi, DD i與DiCi的中點(diǎn), 若M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動”，則 M滿足什么條件時，有 MN/平面AiCiCA.解：如圖,1.GN /平面 AAiCiC,EG/平面 AAiCiC,又 GN AEG = G,平面 EGN /平面 AAiCiC.當(dāng)M在線段EG上運(yùn)動時，恒有 MN /平面AAiCiC.由題悟法解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題要注意：

17、(i)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中條件線在面外易忽視.(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.以題試法(1)(2012浙江高三調(diào)研)已知直線1/平面& PC a,那么過點(diǎn)P且平行于直線l的直 線()A.只有一條，不在平面a內(nèi)B.有無數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)C.只有一條，且在平面a內(nèi)D.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)解析：選C由直線1與點(diǎn)P可確定一個平面 3,且平面 3有公共點(diǎn)，因此它們有一條公共直線，設(shè)該公共直線為m,因為1/ %所以1/ m,故過點(diǎn)P且平行于直線1的直線只有一條，且在平面”內(nèi).(2)(2012濰坊模擬

18、)已知m, n, 1i, 12表示直線， 3表示平面.若 m? a, n? a, 1i?3, 12? 3, 11n 12 = M,則a/ 3的一個充分條件是()A.m /3 且11 /bB . m / 3 且 n / 3C.m /3且n /12D . m /11 且 n / 12解析：選D 由定理“如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”可得，由選項 D可推知all 3直線與平面平行的判定與性質(zhì)典題導(dǎo)入例2 (2012遼寧高考)如圖，直三棱柱 ABCA B CZBAC = 90, AB= AC=/2, AA =1,點(diǎn) M, N 分別為 A B 和B C的中點(diǎn).(1

19、)證明：MN/平面 A ACC;(2)求三棱錐 A - MNC的體積.(錐體體積公式 V = ,Sh, 3其中S為底面面積，h為高)自主解答(1)證明：法一：連接AB、AC,因為點(diǎn)M, N分別是A B和B C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).又因為點(diǎn)N為B C的中點(diǎn)，所以 MN /AC.又 MN?平面 A ACC,AC ?平面 A ACC,因此MN /平面A ACC.法二：取A B的中點(diǎn)P.連接MP.而點(diǎn)M, N分別為AB與B C的中點(diǎn)，所以 MP/AA,PN /A C所以 MP/平面 A ACC , PN/平面 A ACC.又 MPAPN=P,因此平面 MPN/平面A ACC.而MN?平面 MP

20、N ,因止匕MN /平面A ACC(2)法一：連接 BN,由題意得 A NB，C,平面 A B C n平面 B BCCB C,所以 A N,平面 NBC.1_,又 A N = /B C =1,故VaMNC= Vn A MC =Vn A BC= Va， NBC =16.法二 ： Vamnc = Vanbc Vm nbc =lVa，nbc = J.26由題悟法利用判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線，可先直觀判斷平 面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過 已知直線作一平面找其交線.以題試法(2012淄博模擬)如圖，在棱長為 2的正方體

21、ABCD AiBiCiDi 中，E, F分別是BD, BBi的中點(diǎn).(1)求證：EF /平面 AiBiCD;(2)求證：EFXADi.解：(i)在正方體ABCD AiBiCiDi中，連接BiD ,在平面BBiD內(nèi)，E, F分別為BD, BBi的中點(diǎn), . EF /BiD.又. BiD?平面 AiBiCD.EF?平面 AiBiCD,. EF /平面 AiBiCD.) . ABCD-AiBiCiDi 是正方體,. ADiXAiD, ADi AiBi.又 AiDA AiBi = Ai,ADd平面 AiBiD. ADiXBiD.又由(i)知，EF /BiD, .-.EFlADi.平面與平面平行的判定與

22、性質(zhì)典題導(dǎo)入例3 如圖，已知ABCD AiBiCiDi是棱長為3的正方體，點(diǎn)E 在 AAi 上，點(diǎn) F 在 CCi 上，G 在 BBi 上，且 AE= FCi = BiG=1, H 是 BiCi的中點(diǎn).求證：E, B, F, Di四點(diǎn)共面；(2)求證：平面 AiGH/平面BEDiF.自主解答(i)在正方形AAiBiB中,-.AE= BiG= i ,. BG = AiE=2,. BG 觸 AiE.四邊形AiGBE是平行四邊形. AiG /BE.又 CiF 又 BiG,四邊形CiFGBi是平行四邊形. FG 觸 Ci Bi 糠 DiAi.四邊形AiGFDi是平行四邊形. AiG 糠 DiF. Di

23、F 糠 EB.故E, B, F, Di四點(diǎn)共面.一 一一3(2)H 是 BiCi 的中點(diǎn)，BiH = 2.BiG 2又 BiG= 1 ,z =二BiH3一 FC 2 一又不=2,且/FCB = /GBiH = 90。,BC 3ZBiHGsBF.zBiGH = ZCFB=ZFBG. HG /FB.GH?面 FBEDi, FB?面 FBEDi, ，GH /面 BEDiF. 由(i)知 AiG/BE, AiG?面 FBEDi, BE?面 FBEDi, AiG/面 BEDiF.且 HG AAiG = G,，平面 AiGH /平面 BEDiF.由題悟法常用的判斷面面平行的方法(i)利用面面平行的判定定理

24、；(2)面面平行的傳遞性(/ & 3/ ?/力；(3)利用線面垂直的性質(zhì)(l _L a, l _L 3? a /隊以題試法(2012北京東城二模)如圖，矩形 AMND所在的平面與直角梯形 MBCN所在的平面 互相垂直，MB / NC, MNXMB.(1)求證：平面 AMB/平面 DNC;(2)若 MC，CB,求證：BC AC.證明：(1)因為 MB/NC, MB?平面 DNC , NC?平面 DNC ,所以MB /平面DNC .又因為四邊形 AMND為矩形，所以 MA/DN.又MA?平面 DNC, DN?平面DNC.所以MA /平面DNC .又 MAAMB= M,且 MA, MB?平面 AMB

25、,所以平面 AMB /平面DNC .(2)因為四邊形 AMND是矩形，所以AM XMN.因為平面 AMND，平面 MBCN ,且平面 AMND n平面MBCN = MN ,所以AM，平面MBCN.因為BC?平面MBCN ,所以AM BC.因為 MCBC, MCAAM=M,所以BC，平面AMC.因為AC?平面AMC,所以BCXAC.小題能否全取.（教材習(xí)題改編）下列條件中，能作為兩平面平行的充分條件的是（）一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面解析：選D 由面面平行的定義可知，一平面內(nèi)

26、所有的直線都平行于另一個平面時，兩平面才能平行，故 D正確.已知直線a, b,平面 %則以下三個命題：若a / b, b? a,則a /跖若 all b, a/ a,則 b/ a;若 a/ a, b/ a,則 all b. TOC o 1-5 h z 其中真命題的個數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：選A 對于命題，若 a/ b, b?a,則應(yīng)有all a或a? ”，所以不正確；對于命題，若 all b, all a,則應(yīng)有b/ a或b? %因此也不正確；對于命題，若a / a, b / a,則應(yīng)有a/ b或a與b相交或a與b異面，因此也不正 確.（教材習(xí)題改編）若一直線上有相異三個

27、點(diǎn)A, B, C到平面”的距離相等，那么直線l與平面a的位置關(guān)系是（）A . l / aB. l aC. l與a相交且不垂直D. l / a或l?a解析：選D 由于l上有三個相異點(diǎn)到平面a的距離相等，則l與a可以平行，l?a時也成立.平面/平面& a? a, b? &則直線a, b的位置關(guān)系是 .解析：由“/3可知，a, b的位置關(guān)系是平行或異面.答案：平行或異面. （2012衡陽質(zhì)檢）在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E是DDi的中點(diǎn)，則BDi與平面ACEAi、的位置關(guān)系為.解析：如圖.連接AC, BD交于O點(diǎn)，連接 OE,因為OE/BD1,而OE?平面ACE, BDi?平面ACE,

28、所以BDi /平面ACE.答案：平行第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識能否憶起一、直線與平面垂直.直線和平面垂直的定義直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面a互相垂直.2.直線與平面垂直的判定定理及推論文子語百圖形語百符號語后判定定理一條直線與一個平囿內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平回垂直a, b? aan b=O?l a laJib推論如果在兩條平行直線 中，有一條垂直于平 面，那么另一條直線也 垂直這個平囿a/ b?b &a-L g3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語百圖形語百符號語后性質(zhì)定理垂直于同一個平囿的兩條直線平行a_L a?a/ b b_L_a、平面與平面垂

29、直1.平面與平面垂直的判定定理文字語百圖形語百符號語后判定定理一個平囿過另一個平囿 的垂線,則這兩個平面 垂直1?_3? a_L 32.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語百圖形語百符號語后性質(zhì)定理兩個平囿垂直，則一個 平囿內(nèi)垂直于交線的直 線垂直于另一個平面_a_Lj312_3?11 aaCl A a1a1.在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件.同時抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：.在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中 不存在，則可通過作輔助線來解決，如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理.幾個常用的結(jié)論：(1)過空間任一點(diǎn)有且只有一條直線

30、與已知平面垂直.(2)過空間任一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直.垂直關(guān)系的基本問題典題導(dǎo)入例1 (2012襄州模擬)若m, n為兩條不重合的直線，”，3為兩個不重合的平面，給 出下列命題：若 m, n都平行于平面 %則m, n一定不是相交直線；若 m、n都垂直于 平面%則m, n一定是平行直線；已知 % 3互相垂直，m, n互相垂直，若 m a,則n 3；m,n在平面a內(nèi)的射影互相垂直，則m, n互相垂直.其中的假命題的序號是 .自主解答顯然錯誤，因為平面 a/平面3,平面a內(nèi)的所有直線都平行 3,所以3內(nèi)的兩條相交直線可同時平行于a；正確；如圖1所示，若 加3= I,且n/l,當(dāng)m a時，

31、mn,但n/3,所以錯誤；如圖 2顯然當(dāng)m n,時，m不垂直于n,所以錯誤.答案由題悟法解決此類問題常用的方法有： 依據(jù)定理條件才能得出結(jié)論的，可結(jié)合符合題意的圖形作出判斷；否定命題時只需舉一個反例.尋找恰當(dāng)?shù)奶厥饽Ｐ停ㄈ鐦?gòu)造長方體）進(jìn)行篩選.以題試法（2012長春*II擬）設(shè)a, b是兩條不同的直線，% 3是兩個不同的平面，則下列四個命題:若 a b, a a, b? a,則 b / a;若 a/ a, a 8 則 a 3;若 a & a 3,則 aH a或 a?跖若 a b, a a, b 3,則 a 3其中正確命題的個數(shù)為()B. 2D. 4A. 1C. 3a,或者與平面a解析：選D 對

32、于，由b不在平面a內(nèi)知，直線b或者平行于平面相交，若直線b與平面a相交，則直線b與直線a不可能垂直，這與已知ab相矛盾， 因此正確.對于，由 a / “知，在平面”內(nèi)必存在直線ai / a,又a1&所以有ai 3, 所以aX 3,正確.對于，若直線 a與平面”相交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作平面 83的交線的 垂線m,則m 3,又a 3,則有a/ m,這與直線a、m有公共點(diǎn)A”相矛盾，因此正 確.對于，過空間一點(diǎn) O分別向平面“、3弓I垂線ai、bi,則有a/ai, b/ bi,又ab, 所以ailbi,所以0a 3,因此正確.綜上所述，其中正確命題的個數(shù)為4.典題導(dǎo)入直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例2 (2

33、0i2廣東高考)如圖所示，在四錐P-ABCD中，ABL平面 PAD, AB / CD, PD = AD, E 是 PB 的中點(diǎn)，F(xiàn) 是 DC i上的點(diǎn)且 DF=AB, PH為 PAD中AD邊上的局.(i)證明：PH,平面 ABCD;(2)若PH = i, AD =42, FC=i,求三棱錐 E-BCF的體積;證明：EF，平面PAB.自主解答(i)證明：因為 AB,平面PAD , PH?平面PAD,所以PH AB.因為PH為APAD中AD邊上的高，所以 PHXAD.因為 PH?平面 ABCD, ABAAD = A, AB, AD?平面 ABCD ,所以PH，平面ABCD.(2)如圖，連接BH,取

34、BH的中點(diǎn)G,連接EG.因為E是PB的中點(diǎn)，所以 EG /PH,且 EG = 2pH =1.因為PH，平面ABCD ,所以EG,平面ABCD.因為AB,平面PAD, AD?平面PAD,所以AB LAD.所以底面ABCD為直角梯形.所以 Ve BCF = 1SBCF EG = 1 1 FC AD EG = . 33 212證明：取PA中點(diǎn)M,連接 MD, ME.1 .因為E是PB的中點(diǎn)，所以 ME觸/B.一， ,1又因為DF觸/B,所以ME觸DF,所以四邊形 MEFD是平行四邊形，所以 EF /MD .因為PD =AD,所以MDLPA.因為ABL平面PAD,所以 MDLAB.因為PAAAB =

35、A,所以 MDL平面 PAB,所以EFL平面PAB.由題悟法證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理.(2)利用判定定理的推論(a/b, a，a?b，o).(3)利用面面平行的性質(zhì)(a a, “/僅a，3.(4)利用面面垂直的性質(zhì).當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.以題試法(2012啟東模擬)如圖所示，已知PAL矩形ABCD所在平面, M, N分別是AB, PC的中點(diǎn).(1)求證：MNLCD;(2)若/ PDA = 45,求證：MNL平面 PCD.證明：(1)連接 AC, AN, BN,. PA，平面 ABCD, .PAXAC,1在 RtAC 中，N 為

36、 PC 中點(diǎn)， . AN = PC. PAL平面 ABCD, .-.PAXBC,又 BCXAB,PAA AB= A,. BC,平面 PAB./.BCXPB.從而在RtAPBC中，BN為斜邊PC上的中線， 1 -. bn = 2pc.AN = BN.,逸BN為等腰三角形，又 M為AB的中點(diǎn)，MN LAB,又AB/CD, . .MN CD.(2)連接 PM, MC, /PDA = 45 , PAX AD,，AP=AD.四邊形 ABCD 為矩形,AD = BC,，AP=BC.又M為AB的中點(diǎn)，AM = BM.而/PAM =/CBM = 90 ,.ZPAMzCBM. PM = CM.又N為PC的中點(diǎn)，

37、MNXPC.由(1)知，MNXCD, PCACD = C,，MN，平面 PCD.面面垂直的判定與性質(zhì)典題導(dǎo)入例3 （2012江蘇高考）如圖，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，AiBi = AiCi, D, E分別是棱 BC, CCi上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn) C）,且AD DE, F為BiCi的中點(diǎn).求證：（i）平面ADE，平面BCCiBi;（2）直線 AiF/平面 ADE.自主解答（i）因為ABC-AiBiCi是直三棱柱，所以 CCi,平面ABC,又AD?平面ABC,所以CCiLAD.又因為 AD DE , CCi, DE?平面 BCCiBi,CCiA DE = E,所以AD，平面BCCiBi又

38、AD?平面ADE ,所以平面 ADEL平面BCCiBi.(2)因為 AiBi=AiCi, F 為 BiCi 的中點(diǎn)，所以 AiF BiCi.因為 CCi,平面 AiBiCi,且 AiF?平面 AiBiCi,所以 CCiXAiF.又因為 CCi, BiCi?平面 BCCiBi, CCi n BiCi = Ci, 所以AiF，平面BCCiBi.由(i)知 AD,平面 BCCiBi,所以 AiF /AD.又AD?平面ADE, AiF?平面ADE,所以AiF /平面ADE.由題悟法.判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定義.(2)面面垂直的判定定理(a1 3, a?”？n 3).在已知平面垂直時，一般

39、要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直.轉(zhuǎn)化方法：在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.以題試法. (2012瀘州一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為 公 菱形，/ BAD = 60, Q 為 AD 的中點(diǎn).(1)若PA=PD,求證：平面 PQBL平面PAD;底(2)若點(diǎn)M在線段PC上，且PM = tPC(t0),試確定實(shí)數(shù)t的值，.2f使得PA/平面MQB.解：（1）因為PA=PD, Q為AD的中點(diǎn)，所以 PQXAD.連接BD,因為四邊形 ABCD為菱形，/ BAD = 60 ；所以AB= BD.所以BQXAD.因為BQ?平面PQB, PQ

40、?平面PQB,BQn PQ=Q,所以AD，平面PQB.因為AD?平面PAD ,所以平面 PQBL平面PAD.（2）當(dāng) t=W時,PA/平面 MQB. 3證明如下：連接AC,設(shè)ACABQ=O,連接 OM.在GADQ與yOB中，因為 AD /BC,所以/OQA = /OBC, ZOAQ=ZOCB.所以aoqszcob.所以黑=第=1.所以AO=；,即0c=2. OC CB 2 AC 3 AC 3,1/M2CM OC，由PM=3PC,知m=3,所以 m=而，所以AP /OM.因為OM?平面 MQB, PA?平面 MQB,所以PA/平面MQB .小題能否全取.（教材習(xí)題改編）已知平面 % 3,直線1,

41、若也8 加3= 1,則（）A.垂直于平面 3的平面一定平行于平面 aB.垂直于直線1的直線一定垂直于平面 aC.垂直于平面 3的平面一定平行于直線 1D.垂直于直線1的平面一定與平面外3都垂直解析：選D A中平面可與a平行或相交，不正確.B中直線可與 a垂直或斜交，不正確.C中平面可與直線1平行或相交，不正確.（2012廈門模擬）如圖，0 為正方體 ABCD AiBiCiDi的底面ABCD的中心，則下列直線中與B10垂直的是（）B. AAiA. AiDC. A1D1D. A1C1解析：選D 易知AC1,平面BB1D1D.又 BO?平面 BB1D1D, . A1C1, B1O.已知“，3是兩個不

42、同的平面，m,n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是 （）A .若 m / a, aA 3= n,則 m / n.若 m，& mn,則 nil aC.若 m a, n 3, a 8 貝U mnD.若 a, 3, aA 3= n, m n,則 m 3解析：選C 對于選項 A,若m/ a, aA 3= n,則m / n,或m, n是異面直線，所以 A 錯誤；對于選項 B, n可能在平面“內(nèi)，所以B錯誤；對于選項 D, m與3的位置關(guān)系還可 以是m? & m / &或m與3斜交，所以D錯誤；由面面垂直的性質(zhì)可知C正確.解析：由線面垂直知，圖中直角三角形為4個.如圖，已知PAL平面ABC, BCX

43、AC,則圖中直角三角形的個數(shù)為答案：4.（教材習(xí)題改編）如圖，已知六棱錐 P-ABCDEF的底面是正六 邊形，PAL平面ABC, PA=2AB.則下列命題正確的有 .PALAD;平面 ABC，平面PBC;直線 BC/平面PAE; 直線PD與平面ABC所成角為30.解析：由PAL平面 ABC, .,.PAXAD,故正確；中兩平面不垂直，中AD與平面PAE相交，BC/AD,故不正確；中 PD與平面ABC所成角為45：答案： 高考真題（19） （2012 安徽）如圖，長方體 ABCD ABC1D1中，底面AB1C1D1是正方形，O是BD的中點(diǎn),E是棱AA上任意一點(diǎn)。(I )證明：BD EC1 ;(H

44、)如果 AB =2, AE =2 ,AE =2 ,OE EC1,求 AA 的長.19.（）本題考察空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判定，利 用勾股定理求線段的長等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查空間想象能力，推 理論證能力和運(yùn)算求解能力 .(I )證明：連接AC, A1B1.由底面是正方形知，BD AC.因為AAd平面 ABCD, BD 平面 ABCD,所以AAi BD.又由AAi A AC =A,所以BD 平面 AAiCiC.再 由ECi平 面AAiCiC知 ， BD第(i9)題圖(n)解：設(shè)AAi的長是h,連接OCi.在 RtOAE 中，AE=T2, AO= V2故 OE2 (、.

45、2)2 (、,2)2 4.在 RtEAiCi 中，AE h V2, AiCi 2V2 ,故 EC2 (h ,2)2 (2 .2)2.在 RUOCCi 中,OC T2,CCi h, OCi2 h2 (V2)2.因為 OE EC，所以 OE2 EC2 OCi2,4 (h . 2)2 (2 .2)2 h2 ( 2)2,解得h 3.2,所以AA的長為3 J2.(20i3 安徽)如圖，四棱錐 P ABCD的底面 ABCD是邊長為 2的菱形，BADPB PD 2, PA ,6 .(I)證明：PC BD(n )若E為PA的中點(diǎn)，求三菱錐 P BCE的體積.【解析】(i)證明：連接BD, AC交于O點(diǎn)ECi.

46、60 .已知又 ABCD是菱形 BD AC而 AC PO O BD，面 PAC BD PC(2)由(i) BD,面 PACSapec - Sa pac - .6 2-3 sin45 =、. 6 . 3 - 3222.三棱錐體積等基礎(chǔ)知識和基本技【考點(diǎn)定位】 考查空間直線與直線，直線與平面的位置, 能，考查空間觀念，推理論證能力和運(yùn)算能力.(20ii 安徽)如圖，ABEDFC為多面體，平面 ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上, OA 1 , OD 2 , AOAB , AOAC , ODE, AODF 都是正三角形。(I)證明直線BC/ EF ;(n)求棱錐F OBED的體積.(19)

47、(本小題滿分13分)本題考查空間直線與直線， 直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系， 空間直線平行的證明， 多面體體積的計算， 考查空間想象能力， 推理論證能力和運(yùn)算求解能 力.(I)證明：設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點(diǎn).由于4OAB與ODE都是正三角形， 所以_1OB / - DE , OG=OD=2 , =2同理，設(shè)G是線段DA與FC延長線的交點(diǎn)，有 OG OD 2.又由于G和G都在線段DA的延長線上，所以 G與G重合.11在AGED和4GFD中，由OB / -DE和OC / - DF ,可知B和C分別是GE和GF =2= 2的中點(diǎn)，所以BC是4GEF的中位線，故 BC / EF.3(II)解：由OB=1 , OE=2, EOB 60，知Seob ，而OED是邊長為2的正 2三角形，故Soed 3.所以SOEFDSeobSoed33過點(diǎn)F作FQXDG,交DG于點(diǎn)Q,由平面ABED，平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐13 FQ SOBEDF-OBED 的高，且 FQ= 3 ,所以 V obed(19) (2010 安徽)如圖，在多面體 ABCDEF中，四邊形 ABCD是正方形，AB=2EF=2 , EF/AB,EFFB,/BFC=90 , BF=FC,HKz BC的中點(diǎn),(I )求證：FH/平面EDB; H ) 求 證： AC