1、第三章 張量代數(shù)在第一章線性空間中對(duì)三維矢量空間V由張映射 m階張量空間 定義了。若o;i1,i2,i3是V中標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系。則的基底為張量都可以表示為： 。Pm中的任意在后文的書(shū)寫(xiě)中，矢量空間的張量積符號(hào)在不致混淆時(shí)將略去不寫(xiě)。如：編輯課件3.1 張量代數(shù)運(yùn)算在1.5節(jié)中由多重線性映射給出了張量空間。且對(duì)任意同階張量 （1.5-10）定義零張量和加法逆元素。則同階張量的加減，（1.5-7）、（1.5-8）式給出了張量（同階）的加法運(yùn)算和張量的數(shù)乘運(yùn)算。若按（1.5-9）、運(yùn)算按： （3.1-1） 定義。而數(shù)乘運(yùn)算按： （3.1-2） 定義。按（3.1-1）和（3.1-2）式容易得出：（3.1

2、-3） 編輯課件張量間的運(yùn)算除加法、減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算外，還可以定義乘法運(yùn)算。但應(yīng)當(dāng)特別注意的是張量間的乘法運(yùn)算有多種按不同法則定義的乘法運(yùn)算。這一點(diǎn)在矢量乘法運(yùn)算中表現(xiàn)為矢量與矢量的點(diǎn)乘和叉乘（矢量本身就是一階張量）。因此談到張量（不一定是同階張量）間的乘法運(yùn)算必須指明是什么法則定義的乘法運(yùn)算。張量積：設(shè)張量 ；則 A和 B的張量積按： （3.1-4） 定義。由定義可以看出AB和BA都是m + n階張量。且一般 ABBA（兩張量的張量積一般不滿足交換律）。對(duì)任一組給定的i1,im ; j1,jn值， 都是確定的實(shí)數(shù)。 記 。則： （3.1-4a） 編輯課件 張量間的張量積運(yùn)算有如下性質(zhì)：1

3、（3.1-5） 2 （3.1-5a） （證明由讀者自行完成）r點(diǎn)乘（積）：設(shè) A、B張量的r點(diǎn)乘： 。則定義（3.1-6） 當(dāng)m = n = r時(shí)， 稱為A全點(diǎn)乘B。且記為： （3.1-7） 由定義（3.1-6）式可知： 編輯課件（3.1-8） 但必須注意一般情況下：（3.1-9） 由（3.1-4a）和（3.1-6）式給出的是任意階張量間的張量積和 r點(diǎn)乘定義。而在處理實(shí)際物理和數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，更常見(jiàn)的是一階和二階張量的張量積和r點(diǎn)乘的情況。設(shè)u、v是一階張量（矢量）。A、B、C是二階張量。則： 一階張量與一階張量的張量積：（3.1-10a） 二階張量與一階張量的張量積：（3.1-10b） 一階張

4、量與二階張量的張量積： （3.1-10c） 編輯課件二階張量與二階張量的張量積：（3.1-10d） 一階張量（全）點(diǎn)乘：（3.1-10e） 一階張量與二階張量的（一）點(diǎn)乘： （3.1-10f） 二階張量與一階張量的（一）點(diǎn)乘：（3.1-10g） 二階張量與二階張量的（一）點(diǎn)乘： （3.1-10h） 二階張量與二階張量的（雙）點(diǎn)乘：（3.1-10i） 四階張量與二階張量的（雙）點(diǎn)乘：（3.1-10j） 編輯課件二階張量與四階張量的（雙）點(diǎn)乘：（3.1-10k） 由（3.1-10e）、（3.1-10f）、（3.1-10g）、（3.1-10j）、（3.1-10k）定義單位矢量（一階單位張量）、二階單

5、位張量和四階單位張量。即滿足：（3.1-11） 的 分別稱為一階單位張量、二階單位張量和四階單位張量。 上式定義的一階、二階和四階單位張量具有性質(zhì)： 1 2 （3.1-12） 且記 為 。即 。并稱 為單位二階張量。 編輯課件3 （3.1-13） 且記 為 。即 。并稱 為單位二階張量。 證：1 對(duì)任意 2 設(shè)存在另一二階張量 3 四階單位張量唯一性證明留作練習(xí)。 ，且滿足。則： （唯一性） 編輯課件例1： 如圖31所示剛體以角速度 (是對(duì)剛體整體運(yùn)動(dòng)的述量。 與r無(wú)關(guān)。即對(duì)剛體上的任意點(diǎn)而言剛體的角速 度都是) 。物體點(diǎn) r處的密度為 (r) ；速度矢量為 u (r) 。則處微分體積 dV所

6、包含質(zhì)量 (r) dV對(duì) o點(diǎn)動(dòng)量矩為： roi 2i 3i 1圖31試證明物體 對(duì)o點(diǎn)的動(dòng)量矩為： 式中 稱為物體 對(duì)o點(diǎn)的二階慣性矩張量（注：J 不是四階單位張量。但 J表達(dá)式中的I是二階單位張量）。證：編輯課件圖32rox 2x 3x 1x 3t 3t 2t 1t nx 2x 1bacho(b )(a )例2： 如圖32所示受力物體。若物體在確定的約束條件下處于平衡狀態(tài)。試分析 r 點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。 解： 在物體 r 點(diǎn)處用三個(gè)與坐標(biāo)面平行的平面和一個(gè)斜平面截出四面體oabc如圖3-2 (b)所示。取出的四面體與物體中剩余部分的作用通過(guò)四個(gè)面上的作用力聯(lián)系。設(shè)obc , oac , oa

7、b , abc面上的作用力的平均分布集度為t1, t2, t3。四面體內(nèi)每單位體積上受有f = fiii的外力。記n是abc面上的單位外法線矢量； abc的面積為 A。則三角形 obc , oac , oab的面積分別為： 按2.5節(jié)三中（g）式面積矢量記法有：編輯課件在坐標(biāo)系o ; i1 , i2 , i3 中 t1, t2, t3可表示為： 由牛頓第二定律（本例中就是平衡方程）得：式中V是四面體的體積； (r)是密度； a是加速度。當(dāng)h 0時(shí)： V 0 ; (r) V 0。同時(shí) t1, t2, t3 分別為過(guò)r點(diǎn)的四個(gè)面上的內(nèi)力分布集度（不在是A , A1 , A2 , A3 面上的平均內(nèi)

8、力分布集度 ）。并稱 t , t1, t2, t3 是過(guò) r 點(diǎn)的應(yīng)力矢量。且： 編輯課件 = (r) 稱為 r 點(diǎn)的應(yīng)力張量。 對(duì) i ; j 的確定值，表示點(diǎn) r 外法線方向?yàn)?ii 的面上沿 ij方向的應(yīng)矢量的大小為 ij 。同時(shí)： 還表明 ：確定點(diǎn) r 的三個(gè)坐標(biāo)面上的各坐標(biāo)方向的應(yīng)力矢量一旦給定（ 給定），則過(guò) r 點(diǎn)以單位矢量 n 為外法線的斜截面上應(yīng)力矢量被唯一確定?；蛘哒f(shuō)應(yīng)力張量 完全描述了一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)。 編輯課件3.2 仿射量（二階張量）在3.1中的例1和例2通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩和物體內(nèi)一點(diǎn)的平衡討論，給出了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二階張量J和應(yīng)力二階張量 ；在許多數(shù)學(xué)和物理問(wèn)題的描述中，二

9、階張量被廣泛的引入（如幾何學(xué)中的度量二階張量、連續(xù)介質(zhì)學(xué)中的變形梯度二階張量等）。因此二階張量的分析具有重要的實(shí)際意義。本節(jié)及后文的章節(jié)中將重點(diǎn)分析二階張量。 編輯課件二階張量按張量積的運(yùn)算，可以看作是兩個(gè)矢量 u V , v V通過(guò)張量積的運(yùn)算確定。即： 若o;i1,i2,i3是V的坐標(biāo)系。則： 每一組Aij （九個(gè)實(shí)數(shù)）確定唯一的二階張量。所有二階張量按張量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成矢量（廣義矢量）空間 P2 。另一方面，對(duì)任意 A P2 , u V 有： 顯然二階張量 A 對(duì)任意矢量 u V 。其左點(diǎn)乘 （）和右點(diǎn)乘（） 分別實(shí)現(xiàn)一階矢量空間 V 到一階矢量空間 V 的映射：（3.2-1） 一

10、般 A 的左、右點(diǎn)乘是不同的映射。即： 并且由（3.1-8）式可知：編輯課件這表明 A 的左、右點(diǎn)乘是線性映射。若定義： （3.2-2） 則滿足（3.2-2）的所有一階矢量空間到一階矢量空間線性映射（左點(diǎn)乘或右點(diǎn)乘）的（3.2-3）式中A 的集合構(gòu)成矢量（廣義矢量）空間P2。 按張量積定義的二階張量uv和按線性映射定義的二階張量 A，若按點(diǎn)乘運(yùn)算都實(shí)現(xiàn)將a V對(duì)應(yīng)到b V 。則uv和A是同一個(gè)二階張量的二種不同形式的表示。因?yàn)椋?編輯課件30 oai 2x 2x 1i 1i 1i 2x 2x 1圖33對(duì)任意給定大小和方向的矢量a 。在不同的基底上， a的坐標(biāo)表示是不同的。如圖33所示。 A 在

11、二維基底 o; i1,i2中表示為： 若 是另一組基底。且 在o; i1,i2中可表示為： 則a在中的表示為：顯然在兩組基底上 a 的坐標(biāo)分別為（2，2）和 。也就是說(shuō)矢量在不同基底上的線性表示是不同的。因此對(duì)按張量積定義的二階張量 A= u v 在不同的基底 ii ij (i,j =1,2,3 )上的線性表示也是不同的。設(shè)V有二組標(biāo)準(zhǔn)正交基底 o; i1,i2,i3和。且： 編輯課件（a） 二階張量A在 形成的基底 (i,j = 1,2,3 )上的表示為： 將基底變換（a）式代入得：（3.2-3） 該式是二階張量 A 在o; i1,i2,i3和 構(gòu)成的基底上性表示坐標(biāo)（九維）的變換關(guān)系。（3

12、.2-3）式也常被用來(lái)定義二階張量。即用兩個(gè)指標(biāo)的九個(gè)數(shù)Aij 表示的量，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)服從（3.2-3）式變換，則這個(gè)量稱為二階張量。編輯課件例3： 設(shè) 。試用矩陣方式表示 解： 編輯課件由該式可以看出二階張量A可表示為： （3.2-4） 記： （3.2-5） 且稱A是二階張量 A的矩陣表示。利用 A矩陣可將 的分量表示為： 該式也稱為 的矩陣表示。 編輯課件例4： 設(shè)平面位置矢量 的點(diǎn)處給出了一組四個(gè)數(shù)： 證明A構(gòu)成二階（平面）張量 A。證：解之得： A構(gòu)成二階（平面）張量 A。編輯課件設(shè) 。定義： （3.2-6） trA 二階張量A的取跡運(yùn)算。 取跡運(yùn)算具有如下性質(zhì)： 1 （線性性質(zhì)） 2

13、 3 （3.2-7） 證：1 2 3 證畢。編輯課件設(shè)AP 2。若 A滿足： （3.2-8） 則稱A為對(duì)稱二階張量。 設(shè)AP 2。若 A滿足： （3.2-9） 則稱A為反對(duì)稱二階張量。若記： （3.2-10） 且稱 為 A的轉(zhuǎn)置。對(duì)稱和反對(duì)稱二階張量又可表示為： (A為對(duì)稱二階張量） (A為反對(duì)稱二階張量） 由（3.2-10）給出的轉(zhuǎn)置實(shí)質(zhì)上P 2是 P 2到P 2的一種運(yùn)算。即對(duì)任意AP 2編輯課件轉(zhuǎn)置運(yùn)算具有性質(zhì)：1 2 3 4 證：1 2 3 4 證畢。編輯課件例5： 試證明任意A P2可唯一分解為對(duì)稱與反對(duì)稱張量的和。 證：對(duì)A按張量的加（減）法運(yùn)算法則有： 其中 分別記為AS和 AA

14、。則： 這表明AS是對(duì)稱二階張量； AA是反對(duì)稱二階張量。即 A可表示為對(duì)稱二階張量 AS和反對(duì)稱二張張量 AA的和。 若A還可表示為： 由 可得： 顯然A的對(duì)稱和反對(duì)稱分解是唯一的。 編輯課件上例中不但表明任意二階張量可以唯一地分解為對(duì)稱二階張量和反對(duì)稱二階張量的和。而且給出了這種分解的對(duì)稱和反對(duì)稱表示的結(jié)果。即： （3.2-12） AS和AA分別為 A的對(duì)稱和反對(duì)稱部分。 編輯課件例6： 證明： 1 2 證：1 當(dāng) A = I 時(shí)有： 2 證畢。編輯課件例7： 已知： 試求：1 2 3 ；。解：1由（3.1-2.2）式得： 編輯課件2 3 編輯課件3.3 二階張量的逆與行列式 設(shè)AP2。若

15、存在BP2使得： （3.3-1） 則B稱為二階張量A的逆二階張量，且記為 A-1。對(duì)二階張量 A ，BP2。若 A ，B的逆存在。則： 二階張量的逆的性質(zhì)： 1 2 3 4 5 ；。（3.2-2） 證：1 （結(jié)合律3.1-9式） （3.1-12式） 編輯課件 2 由單位二階張量性質(zhì) 得： 又由逆的定義有： 3 4 5 (a) (b)比較（a），（b）式得： 證畢。編輯課件設(shè) A P2 ; a , b , c V ，且 定義： （3.3-3） det A稱為二階張量 A 的行列式。 二階張量行列式具有性質(zhì)： 1 2 3 4 5 （3.3-4） 證：1 編輯課件 令： 。則： 2 由定義得： 3

16、編輯課件4 已在2的證明中給出。 5 編輯課件例8： 試求AP2行列式的分量表示。 解：由（3.3-3）式定義的 A 的行列式表達(dá)式中，矢量 a、b、cV是任意的非共面( )矢量。設(shè) V 中標(biāo)準(zhǔn)正交基底為i1、i2、i3。則： 編輯課件 例9： 設(shè)a、b、c V。且 。AP2。試證明： 證：證畢。編輯課件例10： 試證明： 證： V 中取標(biāo)準(zhǔn)正交基底 i1、i2、i3 。亦將（3.3-3）式中a、b、 c 分別取為 i1、i2、i3 。則： 證畢。 例11： 試求例6中二階張量A的行列式值。 解：編輯課件設(shè) A 是二階張量。若 det A0 。則稱 A 是正則二階張量；若 detA=0。則 A

17、 稱為退化二階張量。 正則二階張量有如下性質(zhì)：1 若A為正則二階張量。則 為正則二階張量。 2 r1、r2、r3V 線性無(wú)關(guān)矢量。則 A 為正則二階張量時(shí) 線性無(wú)關(guān)。 3 若 A是正則二階張量。則 A 的逆存在。 證：1 若A為正則二階張量。則： 由（3.3-4）性質(zhì)3得：因此 是正則二階張量。 2 a = r1、b = r2、c = r3。則： 編輯課件又 r1、r2、r3線性無(wú)關(guān)。即： 線性無(wú)關(guān)。 3(A-1存在) 這表明只有當(dāng)detA0時(shí),該式成立。即當(dāng) A-1存在時(shí), det0。且同時(shí)detA-10時(shí)， -1是正則二階張量。另一方面，當(dāng) detA0時(shí)，對(duì) a b o的矢量 a 、 b ：這表明 A 通過(guò)與矢量的點(diǎn)乘運(yùn)算將矢量變換為另一矢量。且其變換是一一對(duì)應(yīng)的（若矢量a b則矢量 。由于正則二階張量A是實(shí)現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)變換，因此其逆變 換存在。即A的逆A-1存在。 編輯課件設(shè) Q是二階張量。且： （3.3-5） 則 Q稱為正交二階張量。 正交二階張量Q有如下性質(zhì)： 1 2 3 （3.3-6） 證：1 2 令1中 a = b 。則： 3 證畢。編輯課件例12 試證明正交二階張量Q將 V中的標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系o; i1,i2,i3 的基矢量變換為相互正交的單位矢量。 證： 例13： 若o; i1,