1、6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(1)本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊，第六章計數(shù)原理，本節(jié)課主要學習分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理。兩個計數(shù)原理，其核心是準確理解兩個原理，弄清它們的區(qū)別。理解它關(guān)鍵就是要根據(jù)實例概括兩個計數(shù)原理。學生對計數(shù)問題已經(jīng)有一些經(jīng)驗和技巧，本節(jié)課的內(nèi)容分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理就是在此基礎上的發(fā)展。由于排列、組合及二項式定理的研究都是以兩個計數(shù)原理為基礎,所以在本學科計數(shù)問題中有重要的地位，是本學科的核心內(nèi)容。教學的重點是兩個原理的理解與應用，解決重點的關(guān)鍵是從單一到綜合，恰當安排實例。課程目標學科素養(yǎng)A.通過實例能歸納總結(jié)出分類加法計

2、數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理;B.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.C.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.1.數(shù)學抽象：兩個計數(shù)原理 2.邏輯推理：準確運用兩個計數(shù)原理解決問題 3.數(shù)學運算：運用計數(shù)原理解決計數(shù)問題4.數(shù)學建模：將計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為分類和分步計數(shù)問題重點： 分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其簡單應用 難點： 準確應用兩個計數(shù)原理解決問題多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標問題導學 計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法，但當問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高，能否設計巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？

3、下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數(shù)方法.問題1. 用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？因為英文字母共有26個，阿拉伯數(shù)字共有10個，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.問題2.你能說說這個問題的特征嗎？上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類標準，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；（2）分別計算各類號碼的個數(shù)；（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).你能舉出一些生活中類似的例子嗎？一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：完成一件事，有兩類辦法. 在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類方法中有n種不同的方法，則完

4、成這件事共有:N= m+n種不同的方法.二、典例解析例1.在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如表，A大學B大學生物學數(shù)學化學會計學醫(yī)學信息技術(shù)學物理學法學工程學 如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？分析:要完成的事情是“選一個專業(yè)” .因為這名同學在A,B兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數(shù)原理的條件.解：這名同學可以選擇A,B兩所大學中的一所，在A大學中有5種專業(yè)選擇 方法，在B大學中有4種專業(yè)選擇方法，因為沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原

5、理，這名同學可能的專業(yè)選擇種數(shù)N=5+4=9.利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;(2)計數(shù):求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.問題3. 如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有 m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，在第三類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應該如何計數(shù)呢？分類加法計數(shù)原理：完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法第n類辦法中有mn種不

6、同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+mn種不同的方法.跟蹤訓練1.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是()A18 B36 C72 D48解析：方法一按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有8765432136(個).方法二按個位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1234567836(個).方法

7、三考慮兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對應思想解決所有的兩位數(shù)共有90個，其中，個位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，99，共9個；有10，20，30，90共9個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有901872(個).在這72個兩位數(shù)中，每一個個位數(shù)字(a)小于十位數(shù)字(b)的兩位數(shù)都有一個十位數(shù)字(a)小于個位數(shù)字(b)的兩位數(shù)與之對應，故滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)是72236.故選B.答案：B問題4. 用前6個大寫的英文字母和19個阿拉伯數(shù)字，以A1， A1，A9，B1，B2，的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？解：方法一：解決計數(shù)

8、問題可以用“樹狀圖”列舉出來方法二：由于6個英文字母中的任意一個都能與6個數(shù)字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有69=54種不同的號碼.問題5.你能說說這個問題的特征嗎？上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）由問題條件中的“和”，可確定完成編號要分兩步；（2）分別計算各步號碼的個數(shù)；（3）將各步號碼的個數(shù)相乘，得出所有號碼的個數(shù).你能舉出一些生活中類似的例子嗎？例2.設某班有男生30名，女生24名。現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步, 選男生；第二步,選女生.解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇

9、；第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；根據(jù)分步計數(shù)原理，共有 3024=720種不同方法.問題6. 如果完成一件事有三個步驟, 做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?Nm1m2m3如果完成一件事需要有n個步驟,做每一步中都有若干種不同方法,那么應當如何計數(shù)呢? 如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事的方法總數(shù)如何計算？分步乘法計數(shù)原理一般結(jié)論：Nm1m2mn例3.書架上第1層放有4本不同的計算機書,第 2層放有

10、3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1、 2、 3層各取1本書,有多少種不同取法?(3)從書架上取2本不同學科的書,有多少種不同的取法?解：（1）根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得：N43+29；（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：N4 3224；（3）需先分類再分步.第一類：從一、二層各取一本，有43=12種方法；第二類：從一、三層各取一本,有42=8種方法；第三類：從二、三層各取一本,有32=6種方法；根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是N=43+42+32=26答: 從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.應用分步乘法計數(shù)原

11、理解題的一般思路跟蹤訓練2.有6名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定6名同學都參加)(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限解：(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為36729.(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為654120.(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以

12、從這6人中選出1人參賽根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為63216.通過導語，幫助學生回顧計數(shù)問題，引出學習課題。通過具體問題，已發(fā)學生思考，通過分析、比較、歸納、形成對計數(shù)原理的認識。發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 在典例分析和練習中讓學生熟悉兩個計數(shù)原理的基本步驟，并能區(qū)分它們的聯(lián)系和區(qū)別，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。 三、達標檢測1.某教師有相同的語文參考書3本，相同的數(shù)學參考書4本，從中取出4本贈送給4位學生，每位學生1本，則不同的贈送方法共有()A20種 B15種 C10種 D4種解析：若4本中有3本語文參考書和1本數(shù)學參考

13、書，則有4種方法，若4本中有1本語文參考書和3本數(shù)學參考書，則有4種方法，若4本中有2本語文參考書和2本數(shù)學參考書，則有6種方法，若4本都是數(shù)學參考書，則有一種方法，所以不同的贈送方法共有446115(種).故選B.答案：B2.現(xiàn)有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同的選法的種數(shù)是()A56 B65 C30 D11解析：(1)第一名同學有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，依次，第六名同學有5種選擇方法，綜上，6名同學共有56種不同的選法故選A.3. 4張卡片的正、反面分別標有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成個不同的三

14、位數(shù).解析:分三個步驟:第一步:百位可放8-1=7個數(shù);第二步:十位可放6個數(shù);第三步:個位可放4個數(shù).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以組成N=764=168個不同的三位數(shù).答案:1684.如圖所示的電路圖,從A到B共有條不同的線路可通電.解析:先分三類.第一類,經(jīng)過支路有3種方法;第二類,經(jīng)過支路有1種方法;第三類,經(jīng)過支路有22=4種方法,所以總的線路條數(shù)N=3+1+4=8.答案:85.如圖,一只螞蟻沿著長方體的棱,從頂點A爬到相對頂點C1,求其中經(jīng)過3條棱的路線共有多少條?解:從總體上看有三類方法,分別經(jīng)過AB,AD,AA1.從局部上看每一類又需分兩步完成.故第一類:經(jīng)過AB,有m1=12=2

15、條;第二類:經(jīng)過AD,有m2=12=2條;第三類:經(jīng)過AA1,有m3=12=2條.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,從頂點A到頂點C1經(jīng)過3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.6.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教,有多少種不同的選法?解:由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.方法一:分兩類.第一類:從只會英語的6人中選1人有6種選法,從會日語的3人中選1人有3種選法.此時共有63=18(種)選法.第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會日語的2人中選1人有2種選法,此時有12=2(種)選法.

16、所以由分類加法計數(shù)原理知,共有18+2=20(種)選法.方法二:設既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情形,入選后又分兩種情況:(1)教英語;(2)教日語.第一類:甲入選.(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有12=2(種)選法;(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有16=6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).第二類:甲不入選.可分兩步:第一步,從只會英語的6人中選1人有6種選法;第二步,從只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理,有62=12(種)不同的選法.綜上,共有8+12=20(種)不同的選法.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何