1、1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題距離問題研究 從今天開始,我們將進一步來體會向量這一工具在立體幾何中的應用.某人在一片丘陵上開墾了一塊田地,在丘陵的上方架有一條直的水渠,此人想從水渠上選擇一個點,通過一條管道把水引到田地中的一個點P處,要想使這個管道的長度理論上最短,應該如何設計?新課引入1. 空間兩點之間的距離 根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標運算，利用公式 或 (其中 ) ，可將兩點距離問題轉(zhuǎn)化為求向量模長問題學習新知2.點到直線的距離已知直線l的單位方向向量為,A是直線l上的定點,P是直線l外一點.則P到直線l的距離如何求呢？點P到直線l的距離為PQ =已知直線l的方向向量為 b,A是

2、直線l上的定點,P是直線l外一點.設 ,則向量 在直線l上的投影向量.設 ,則向量 在直線l上的投影向量 =(a).點P到直線l的距離為PQ =點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離鞏固練習點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離2.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點P,則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C1C, D1A1的中點,則點A到直線EF的距離為.向量法求點到平面的距離：學習新知點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離這個結(jié)論說明,平面外一點到平面的距離等于連結(jié)此點與平

3、面上的任一點(常選擇一個特殊點)的向量在平面的法向量上的射影的絕對值.學習新知點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離平面外一點到平面的距離等于連結(jié)此點與平面上的任一點(常選擇一個特殊點)的向量在平面的法向量上的射影的絕對值.直線和平面間的距離：如果一條直線l與一個平面平行,可在直線l上任取一點P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點P到平面的距離求解.兩個平行平面之間的距離如果兩個平面,互相平行,在其中一個平面內(nèi)任取一點P,可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點P到平面的距離求解.鞏固練習在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為4,則點B1到平面AD1C的距離為.解析:以D為坐標原點,DA,DC,

4、DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),典型例題例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求點B到直線A1C1的距離.解:以B為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量所以點B到直線A1C1的距離又因為用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點:(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點,但一般選較易求得坐標的特殊點;(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計算正確.

5、典型例題例2: 如圖,已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點,GC平面ABCD，且GC2，求點B到平面EFG的距離.DABCGFExyz分析:用幾何法做相當困難,注意到坐標系建立后各點坐標容易得出,又因為求點到平面的距離可以用法向量來計算,而法向量總是可以快速算出.DABCGFExyzAPDCBMN典型例題解：如圖,以D為原點建立空間直角坐標系Dxyz 則D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )APDCBMNzxy例3在三棱錐S-ABC中,ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2 ,M,N分別為AB,S

6、B的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.典型例題思路分析：借助平面SAC平面ABC的性質(zhì),建立空間直角坐標系,先求平面CMN的法向量,再求距離.典型例題解:取AC的中點O,連接OS,OB.SA=SC,AB=BC,ACSO,ACBO.平面SAC平面ABC,平面SAC平面ABC=AC,SO平面ABC.又BO平面ABC,SOBO.如圖所示,分別以OA,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Oxyz,1.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點，F(xiàn)為線段BB1的中點.(1)求點A1到直線B1E的距離；(2)求直線FC1到直線AE的距離；(3)求

7、點A1到平面AB1E的距離；(4)求直線FC1到平面AB1E的距離.鞏固練習2.RtABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC平面ABC,PC= ,則點P到斜邊AB的距離是 .3 鞏固練習3.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是線段BB1,B1C1的中點,則直線MN到平面ACD1的距離為.4.兩平行平面,分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2,1,1),且平面的一個法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是()B5.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點P到平面ABC的距離是()D用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直