1、1.1 從梯子的傾斜程度談起 一 教學目標 一 教學學問點. 懂得正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián) 1.經(jīng)受探究直角三角形中邊角關系的過程系. 2. 能夠用 tanA 表示直角三角形中兩邊的比,表示生活中物體的傾斜程度、坡度等,外能夠用正切進行簡潔的運算 . 二 才能訓練要求 1. 經(jīng)受觀看、猜想等數(shù)學活動過程,進展合情推理才能,能有條理地,清楚地闡述自己的觀點 . 2. 體驗數(shù)形之間的聯(lián)系,逐步學習利用數(shù)形結合的思想分析問題和解決問題 .提高解決實際問題的才能 . 3. 體會解決問題的策略的多樣性,進展實踐才能和創(chuàng)新精神 . 三 情感與價值觀要求 1. 積極參加數(shù)學活動,對數(shù)學產(chǎn)生奇怪心和求知欲

2、. 2. 形成實事求是的態(tài)度以及獨立摸索的習慣 . 教學重點 1. 從現(xiàn)實情境中探究直角三角形的邊角關系 . 2. 懂得正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學意義,親密數(shù)學與生活的聯(lián)系 . 教學難點 懂得正切的意義,并用它來表示兩邊的比 . 教學方法 引導探究法 . 教具預備 FLASH 演示教學過程 1. 創(chuàng)設問題情境,引入新課用 FLASH課件動畫演示本章的章頭圖,提出問題,問題從左到右分層次顯現(xiàn)： 問題 1 在直角三角形中,知道一邊和一個銳角,你能求出其他的邊和角嗎. 問題 2 隨著改革開放的深化,上海的城市建設正日新月異地進展,幢幢大樓拔地而起 .70 歲月位于南京西路的國際飯店仍始終是上海最高的

3、大廈,但經(jīng)過多少年的城市進展,“ 上海最高大 海最高的大廈叫什么名字嗎 高度嗎 . 廈” 的桂冠早已被其他高樓取代,你們知道目前上 .你能應用數(shù)學學問和適當?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實際通過本章的學習,信任大家肯定能夠解決. 1.1.1從梯子的傾斜程這節(jié)課,我們就先從梯子的傾斜程度談起. 板書課題度談起 . . 講授新課用多媒體演示如下內(nèi)容： 師 梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w. 我們常常聽人們說這個梯子放的“ 陡” ,那個梯子放的“ 平緩” ,人們是如何判定的.“ 陡” 或“ 平緩” 是用來描述梯子什么的 .請同學們看下圖,并回答疑題 用多媒體演示 1 在圖中,梯子 AB和 EF哪個更陡 .你是怎

4、樣判定的 .你有幾種判定方法 . 生 梯子 AB比梯子 EF更陡 . 師 你是如何判定的 . 生 從圖中很簡潔發(fā)覺 ABCEFD,所以梯子 AB比梯子 EF陡. 生 我覺得是由于 AC ED,所以只要比較 BC、 FD 的長度即可知哪個梯子陡.BCFD,所以梯子 AB比梯子 EF 陡. 師 我們再來看一個問題 用多媒體演示 2 在下圖中,梯子 AB和 EF 哪個更陡 .你是怎樣判定的 . 師 我們觀看上圖直觀判定梯子的傾斜程度,即哪一個更陡,就比較困難了 .能不能從第 1 問中得到什么啟示呢. AC和 ED是相等的,而水平寬度BC 生 在第 1 問的圖形中梯子的垂直高度即和 FD 不一樣長,由

5、此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大,梯子應當越陡. 師 這位同學的想法很好,的確如此,在第2 問的圖中,哪個梯子更陡,應該從梯子AB和 EF 的垂直高度和水平寬度的比的大小來判定. 那么請同學們算一下梯子AB和EF哪一個更陡呢？ 生AC4. 8, BC1 .5335.35EDFD1.313835, 313梯子 EF 比梯子 AB更陡 . 多媒體演示：想一想如圖,小明想通過測量B1C1：及AC1,算出它們的比,來說明梯子的傾斜程度；而小亮就認為,通過測量B2C2 及 AC2,算出它們的比,也能說明梯子的傾斜程度. 你同意小亮的看法嗎. 1 直角三角形AB1C1 和直角三角形AB2C2有什

6、么關系 . 2B 1 C 1和 EMBED Equation.3 B 2C 2和有什么關系 . AC 1AC 23 假如轉(zhuǎn)變 B2 在梯子上的位置呢.由此你能得出什么結論. 師 我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度,即用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程度 的三個問題,再來爭論小明和小亮的做法 . . 下面請同學們摸索上面 生 在上圖中,我們可以知道Rt AB1C1,和Rt AB2C2 是相像的 . 由于B 2C2AB 1C1A90 ,B2AC2B 1AC1,依據(jù)相像的條件,得Rt AB1C1Rt AB2C2. 生 由圖仍可知：B2C2AC2, B1C1AC1

7、,得 B2C2/B1C1,Rt AB1C1Rt AB2C2. 生 相像三角形的對應邊成比例,得到B 1 C1AC1,即B 1 C1B2C2. B2C2AC2A 1 C1AC2假如轉(zhuǎn)變B2 在梯子上的位置,總可以得到Rt B2C2ARt Rt B1C1A,仍 能得B 1C 1B 2C 2B 1 C1B2C2AC 1AC2因此,無論B2在梯子的什么位置 除 A 外 ,AC1AC2總成立. 師 也就是說無論B2在梯子的什么位置A 除外 ,A 的對邊與鄰邊的比值是不會轉(zhuǎn)變的 . 現(xiàn)在假如轉(zhuǎn)變A 的大小,A 的對邊與鄰邊的比值會轉(zhuǎn)變嗎 . 生 A 的大小轉(zhuǎn)變,A 的對邊與鄰邊的比值會轉(zhuǎn)變 . 師 你又能

8、得出什么結論呢 . 生 A 的對邊與鄰邊的比只與A 的大小有關系,而與它所在直角三角形的大小無關 . 也就是說,當直角三角形中的一個銳角確定以后,它的對邊與鄰邊之比也隨之確定 . 師 這位同學回答得很棒,現(xiàn)在我們再返回去看一下小明和小亮的做法,你作何評判 . 生 小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度,由于圖中直角三角形中的銳角 A 是確定的,因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯獨確定的,與 B1、B2在梯子上的位置無關,即 與直角三角形的大小無關 . 生 但我覺得小亮的做法更實際,由于要測量 B1C1 的長度,需攀到梯子的最高端,危急并且復雜,而小亮只需站在地面就可以完成 . 師 這位同學能將數(shù)

9、學和實際生活緊密地聯(lián)系在一起,值得提倡 . 我們學習數(shù)學就是為了更好地應用數(shù)學 . 由于直角三角形中的銳角A確定以后,它的對邊與鄰邊之比也隨之確定,因此我們有如下定義：多媒體演示 A 確定,那么A的對邊與鄰邊之比便隨之確如圖,在Rt ABC中,假如銳角定,這個比叫做A的正切 tangent,記作 tanA ,即A 的對邊 tanA=A 的鄰邊 . 留意： 1.tanA是一個完整的符號,它表示A的正切,記號里習慣省去角的符號“ ” . 2.tanA 沒有單位,它表示一個比值,即直角三角形中A 的對邊與鄰邊的比 . 3.tanA 不表示“tan ” 乘以“A” . 4. 中學階段,我們只學習直角三

10、角形中,A 是銳角的正切 . 摸索： 1. B 的正切如何表示 .它的數(shù)學意義是什么 . 2. 前面我們爭論了梯子的傾斜程度,課本圖 13,梯子的傾斜程度與 tanA 有關系嗎 . 生1. B 的正切記作tanB,表示B 的對邊與鄰邊的比值,即B 的對邊 tanB= B 的鄰邊 . 2. 我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度,因此,在圖 1 3 中,梯子越陡,tanA 的值越大；反過來,tanA 的值越大,梯子越陡 . 師 正切在日常生活中的應用很廣泛,例如建筑,工程技術等 . 正切常常用來描述山坡的坡度、堤壩的坡度 . 如圖,有一山坡在水平方向上每前進 100 m,就上升

11、 60 m,那么山坡的坡度 即坡角 的正切 tan 就是60 3tan = 100 5 . 這里要留意區(qū) 分坡度和坡角 . 坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡度 . 坡度越大,坡面就越陡 . . 例題講解多媒體演示 例 1 如圖是甲,乙兩個自動扶梯,哪一個自動扶梯比較陡. tan 、tan 的分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡,只需分別求出值,比較大小,越大,扶梯就越陡 . 解：甲梯中, tan = 的對邊135525. 的鄰邊212乙梯中 tan =的對邊63. 的鄰邊84由于 tan tan ,所以乙梯更陡 . 例 2 在 ABC中, C=90 , BC=12cm,AB=20

12、cm, 求 tanA 和 tanB 的值 . 分析：要求tanA,tanB 的值,依據(jù)勾股定理先求出直角邊AC的長度 . 解：在 ABC中, C90 ,所以 AC=AB2BC2202122=16cm, A 的對邊BC123,tanA=A 的鄰邊AC164B 的對邊AC164.tanB=B 的鄰邊BC12334. 所以 tanA=4, tanB=3隨堂練習 1. 如圖, ABC 是等腰直角三角形,你能依據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出 tanC 嗎. 分析：要求tanC. 需從圖中找到C所在的直角三角形,由于BDAC,所以BDC 在 Rt B DC中. 然后求出C 的對邊與鄰邊的比,即DC的值 . 解： AB

13、C是等腰直角三角形, BDAC,11 =15.1. 2.如圖,某人從山CD2AC2 3 1.5. BD在 Rt BDC中, tanC DC15.腳下的點 A走了 200m后到達山頂?shù)狞c B,已知點B到山腳的垂直距離為 55 m,求山的坡度 . 結果精確到 0.001 分析：由圖可知,A 解：依據(jù)題意：是坡角,A 的正切即 tanA 為山的坡度 . 在 Rt ABC中, AB=200 m, BC55 m,AC=200255251479538. 46=192.30m. TanA=BC550 .286 .AC192 .30所以山的坡度為0.286. . 課時小結 本節(jié)課從梯子的傾斜程度談起,經(jīng)受了探

14、究直角三角形中的邊角關系,得出了 在直角三角形中的銳角確定之后,它的對邊與鄰邊之比也隨之確定,并以此為基礎,在“Rt ” 中定義了tanAA 的對邊. A 的鄰邊接著,我們爭論了梯子的傾斜程度,工程中的問題坡度與正切的關系,明白了正切在 現(xiàn)實生活中是一個具有實際意義的一個很重要的概念 . . 課后作業(yè) 1. 習題 1.1 第 1、2 題 . . 2. 觀看學校及鄰近商場的樓梯,哪個更陡 . 活動與探究 江蘇鹽城 如圖, Rt ABC 是一防 洪堤背水坡的橫截面 圖,斜坡 AB的長為12 m,它的坡角為45 ,為了提高該堤的防洪才能,現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5 的斜坡 AD,求 DB的長

15、. 結果保留根號 過程 要求 DB的長,需分別在 Rt ABC 和 Rt ACD 中求出 BC 和 DC.依據(jù)題意,在 Rt ABC 中, ABC=45 ,AB 12 m ,就可依據(jù)勾股定理求出 BC；在Rt ADC中,坡比為 1：1.5 ,即 tanD=1：1.5 ,由 BCAC,可求出 CD. 結果 依據(jù)題 意,在 Rt ABC中, ABC=45 ,所以 ABC 為等腰直角三角形 .設 BC=ACxm,就 x2+x2122, x=62 ,所以 BCAC=62. 6AC1, CD-BC92-在 Rt ADC中, tanD=CD15.621即CD.1 5CD=92. 所以DB2 =32 m.

16、板書設計 1.1.1 從梯子的傾斜程度談起 一 1. 當直角三角形中的銳角確定之后,它的對邊與鄰邊之比也隨之確定 . 2. 正切的定義：在 Rt ABC中,銳角 A 確定,那么A 的對邊與鄰邊的比隨之確定,這個比叫做A 的正切,記作 tanA,即A 的對邊tanA A 的鄰邊. 程度,是坡角的正切nA的值越大 . 梯子越陡 . 注： 1ta2 坡度通常表示斜坡的傾斜. 坡度越大,坡面越陡. 3. 例題講解 略 4. 隨堂練習5. 課時小結備課資料 例 1 浙江沼興 如某人沿坡度 i 3： 4 的斜坡前進 10 米,就他所在的位置比原先的位置上升 _米. 分析：依據(jù)題意 如圖 ：在 Rt ABC中 AC：BC3