1、圓的綜合題類型一與全等結合.如圖，。的直徑AB= 4, C為。上一點，AC= 2.過點C作。的切線DC P點為優(yōu)弧CBAt一動點(不與A、C重合).(1)求/ APCW / ACD勺度數；(2)當點P移動到劣弧CB勺中點時，求證：四邊形 OBPO菱形；(3)當PC為。的直徑時，求證： APCWzAB集等.第1題圖一 - 一 一 一 1(1)解：v AC= 2, OA= OB= OC= 2AB= 2,.AC= OA= OC.AC岫等邊三角形，. / AOC= / ACO / OAC= 601o/APG 2, AO 30 ,又DOW。相切于點C,OCL DC/DCe 90 ,./ACD= /DCO

2、 /ACO= 90 -60 =30 ;第1題解圖(2)證明：如解圖，連接PR OP. AB為直徑，/ AOC= 60 ,/COB120 ,當點P移動到CB勺中點日/ COP/POB600 ,. CO儕口 BOPTB為等邊三角形，.OCCP=OB=PB四邊形OBPC；菱形;證明：: CP與AB都為。的直徑,./CAP= /ACB= 90 ,在 RtAABCW RtzCPAKAB= CPAC= AC/.RtAABCRtACP/AHL).2.如圖，AB為。的直徑，CA CM別切。于點A、D, CO勺延長 線交。于點M連接BD DM(1)求證：AC= DC(2)求證：BD/ CM_4,一若sin B=

3、-,求cos/ BDM勺值.第2題圖(1)證明：如解圖，連接OD: CA C明別與。相切于點A D,OAL AG OH CD在 RtAOACJ口 RtAODCC,OA ODOC= OC/.RtAOACRtAOD(HL),.AC= DC證明：由知，AOACAODC./AOC= /DOC./AOD= 2/AOC./AOD= 2/OBD./AOC= /OBD. BD/ CM解：BD/ CM. / BDM= / M, / DO / ODB / AOC= / B,OD= OB= OM / ODM / OMD / ODB / B= / DOC/ DOC2/ DMO/ DOC2/ BDM/ B= 2/ BD

4、M如解圖，作O評分/ AOC交AC于點E/EF，O訐點F,第2題解圖.EF= AE在 RtA EAOF口 RtAEFO,OE= OE . AE= EF.RtzEA孕Rt A EF（OHL）,1.OA= OF /AOE= 5/AOC點F在。O上，又AOC= / B= 2/ BDM./AOE= /BDM設 AE= EF= y,4. sin B=5,在 RtzAO外，sin/AO&AC= 4,OC 5設 AG= 4x, OC= 5x,貝U OA= 3x,在 RtzEF/，EC= EF+CF,EC= 4x y, CF= 5x 3x=2x,.(4x y)2=y2+(2x)2, 一 3 解得y=x,在 R

5、zOAE, OE= MoA+ AE_ OA 3xcos/ BDM= cos/ AOE= = 廣OE 33.如圖，。是ABC勺外接圓，AC為直徑，AB=BR BE!DC交DC 的延長線于點E(1)求證：/ 1 = / BCE(2)求證：BE是。的切線;若 EO 1, CD= 3,求 cos/DBA第3題圖(1)證明：如解圖，過點B作BF，ACT點F,.AB=BD.AB= BD在 ABF與DBEK/ BAF= / BDE /AFB= /DEB AB= DB.ABF DBEAAS),.BF= BE. BEL DC BF! AC./ 1 = / BCE(2)證明：如解圖，連接OB.AC是。的直徑,/A

6、BG90 ,即/1 + /BA及90 , /BC曰 /EBC 90 ，且/1 = /BCE/ BAC / EBC. OAOB/BAG /OBA./EBC= /OBA/EBG ZCBO= /OB4 / CBO90 ,又0昉。的半徑,.BE是。的切線;第3題解圖(3)解：在 EBCWFB8,/BEG ZCFB ZECB= / FCB BG= BC.EBC2 zFBCAAS), CE= CF= 1.由(1)可知：AF= DE= 1 + 3=4,.AC= Ca AF= 1+4 = 5,CD 3cos / DBA= cos / DCA=二 CA 5類型二與相似結合4.如圖，ABCg接于。O, AB= A

7、C / BAC= 36 ,過點 A作 AD/ BC與/ABC勺平分線交于點D, Bg AC交于點E,與。交于點F.求/ DAF勺度數；(2)求證：aE=ef- EQ求證：AD是。的切線.解：. AB= AC / BAG= 36 , 1./ABG= /ACB= 2(180 -36 )=72 ,./AFB= /ACB=72 ,B評分 /ABC./DBC= 36 ,AD/ BCD= / DBC= 36 ,./DAF= /AFB- /D= 72 -36 =36 ; 證明：./ EAF= /FBC= /D, /AEF= / AED.EAS A EDAAE_EF,黃EA.aE=ef eq(3)證明：如解圖

8、，過點 A作BC的垂線，G為垂足,.AB= AC.AGB直平分BG.AGO心 O. AD/ BC,ADL AG,.AD是。的切線.第4題解圖5.如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，OCLAB D為BC勺中點，連接DA DB DC過點C作DC的垂線交DA于點E, DA交O訐點F.(1)求證：/ CED= 45 ;(2)求證：AE= BDAO求oo勺值.、一八 1 一 1。(1)證明：/ CDAf2，COAf/X90 =45XvCEEL DC/DCM 90 ,./CED= 180 -90 -45 =45 ;解：如解圖，連接ACd為的勺中點，, ff 1。./BAD= /CAD= J45 =22.5

9、,而/CED= /CA曰 /ACE= 45 ,./CAE= /ACE= 22.5 ,.AE= CE/ ECD= 90 , / CED= 45 ,.CE= cd又. gBp.CD= bd.AE= CE= CD= BD.AE BDD第5題解圖0 B解：設 BD= CD= x,.AECEx,由勾股定理得，D巳J2x,則AD= x + J2x,又AB是直徑，則/ ADB= 90 ,.AOm AADBAO ad x+ 2x1+ 2.6.如圖，AB為。的直徑，P點為半徑OA上異于點。和點A的一個 點，過P點作與直徑 AB垂直的弦CD連接AQ彳BUAR OE/ AD 交BE于E點，連接AE DE AE交C葉

10、點F.(1)求證：DE為。的切線；若。的半徑為3, sin/ADP= 1,求A口 3 請猜想PF與FD的數量關系，并加以證明.第6題圖(1)證明：如解圖，連接OD./OAD= /ODA. OE AD . / OAD= / BOE / DOE / ODA /BOB /DOE在BOEf口 DOEKOB= OD/ BO曰 / DOEOE= OE.BODOESAS),/ODB/OBE. BEL AB/OBE 90 ,/ODE90 ,.O皿。的半徑，.DE為。的切線；(2)解：如解圖，連接BD.AB為。的直徑，./ADB= 90 ,/.Z ABD- /BAD= 90 , vABL CD/ADR /BAD

11、= 90 ,./ABD= / ADP.sin /ABD= sin /ADP=；, AB3OO的半徑為3,AB=6,1.AD= -AB= 2;3第6題解圖解：猜想PF FQ證明：. CDLAR BE!AR.CD/ BE.APS A ABE.王AP一葩AbPFAP BEAB 在APDF 口 OBEK/APD= /OBE/ PAD= / BOE.APa A OBE.PDAP.葩 ObPD=AP BEOB .AB= 2OB1P曰 2PDD.P曰 FD.7.如圖，。是AABC勺外接圓，AB是。的直徑，OD/ AC。版。于點 E,且/ CBD= /COD(1)求證：BD是。的切線;若點E為線段OD勺中點，

12、求證：四邊形 OAC層菱形. 如圖，作CFLAB于點F,連接A僅 CF于點G第7題圖(1)證明：.AB是。的直徑,./BCA= 90 ,/ABG / BAO 90OID/ AG./AC Z COD vQA= OC/ BAG Z ACO 又./ COD / CBD./CBD= /BAC/.Z ABC- ZCBD= 90 ,./ABD= 90 ,即 OBL BD又OBM。的半徑，.BD是。的切線；(2)證明：如解圖，連接 CE BE. OP ED ZOBD= 90 ,.BE= OE= ED.OB西等邊三角形，./BOE= 60 ,又. AC/ OD/OA8 60 ,X/QA= OQ.OA等邊三角形

13、,/.AQ= OA= OE.AQ/ OEM AG= OE四邊形OAC是平行四邊形，而 OA= OE四邊形OAC是菱形;解：.C巳AB第7題解圖./AFC= ZOB= 90,而 AQ/ OD/CAa /DOB/.RtAAFC RtAOBDFC AFBED- AF. BET OB 即 FC= OB 又: FG/ BQ.AF AABQFG AF 口BD AF、即 FG=一,BD ABAB FC組, FT OB= 2.FG 1.=一FC 2.8.如圖，AB是。O的直徑，點E為線段OB上一點(不與Q B重合)，作ECL O皎。0于點C,作直徑CDi點C的切線交DB的延長線于點P)AF PC于點F,連接C

14、B(1)求證：AC平分/FAB(2)求證：BC= CE- CR當AB= 4m且需3時，求劣弧BD勺長度.第8題圖(1)證明： PF切。O于點C, CD。的直徑,CDL PF,又. AF，PC.AF/ CD/OCA/CAF/OA= OC/OA& /OCA./CAF= /OACAC平分/ FAB證明：.AB是。的直徑,./ACB= 90 ,./DCP= 90 ,./ACB= /DCP= 90 ,又BAC= / D,.ACB ADCP/ EBG / P,. CEL AB./BEG= 90 ,vCDM。的直徑，/DB仔 90 ,./CBP= 90 ,./BEC= ZCBF?.CBZ ACPBaC-B.

15、bC= ce- cp解：.AC平分 /FAB CFL AF, CEL AR.CF= CECF 3 . CP 4CE 3 -一 =CP 4設 CE3k,則 CP=4k,BC= 3k - 4 k= 12k2,.BC= 2V3k,在 RtABEO,/ fc CE 3k 3sB bc=訴=2/EBG 60 ,.OBO等邊三角形, /DOB120 ,BD=120兀 2 ：3_4 3 兀180=3類型三與全等相似結合9.如圖，四邊形ABCD1接于圓Q ZBAD= 90 , AC為直徑，過點A 作圓。的切線交CB的延長線于點E,過AC的三等分點F(靠近點Q作 CE的平行線交AB于點G連接CG(1)求證：AB

16、= CD(2)求證：CD= BE- bc當CG= g BE= 9,求CD的長.E第9題圖(1)證明：.AC為直徑，./ABG Z ADC= 90 ,./ABC= /BAD= 90 , BGI AD./BCA= /CAD又：AC CA.ABC2 A CDt(AAS),.AB= CD證明：.AE為。O的切線且O為圓心,OAL AE即 CAL AE,/ EABk / BAO 90而/BAG /BCA= 90 ,./ EAB= / BCA而/ EBA= Z ABC.EBAo A ABC. ebba湎BC.AB= BE- BC(1)知 AB= CD.CD= BE- BC(3)解：由(2)知 CD= BE

17、- BCI q 9 一即 CD=9BCD, FG/ BC且點F為AC的三等分點,.G為AB的三等分點，即 CD= AB= 3BG在 RtzCBG, CG= BG+ BC,一 1。 一即 3 =(aCD2+BC， 3將代入，消去CD導，Y 1 一BC+ 2BG- 3=0,即 2BC+ BG-6=0, 一 3 .-一解得BG=萬或BG= 一 2(舍)，將代入得，GD= 323.10.如圖，AB為。的直徑，G為圓外一點，AG交。于點D,GD GA ED=BD| BE交 AG于點 F.(1)求證：BG為。的切線；(2)判斷 BGF勺形狀并說明理由；bG=兀).(3)已知BG= 15, GD= 9, / BAG= 36 ,求BD勺長度(結果保留第10題圖（1）證明：bC= cd- ca.BC CD,CA BC/c= / C,.CBS A CAB./CBD= Z BAC又AB為。的直徑，./ADB= 90 ,即/BAG /ABD= 90 ,/.Z ABD- ZCBD= 90 ,即 ABLBC又AB為。的直徑，.BC為。的切線；(2)解：BCF%等腰三角形.證明如下：ED=BD| / DA