1、 專(zhuān)題05 圓與三角函數(shù)、相似結(jié)合的綜合問(wèn)題【典例分析】【例1】如圖，M，N是以AB為直徑的O上的點(diǎn)，且，弦MN交AB于點(diǎn)C，BM平分ABD，MFBD于點(diǎn)F（1）求證：MF是O的切線；（2）若CN3，BN4，求CM的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義證得OMB=MBF，得出OMBF，即可證得OMMF，即可證得結(jié)論；（2）由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，可得AO，BO，ON的長(zhǎng)，由勾股定理可求CO的長(zhǎng)，通過(guò)證明ACNMCB，可得，即可求CM的長(zhǎng)滿分解答（1）連接OM，OMOB，OMBOBM，BM平分ABD，OBMMBF，OMBMBF，OMBF，MFBD，OMMF，即OMF90，MF是O

2、的切線；（2）如圖，連接，是直徑，【例2】如圖，AB為O直徑，AC為O的弦，過(guò)O外的點(diǎn)D作DEOA于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且D=2A，作CHAB于點(diǎn)H（1）判斷直線DC與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若HB=2，cosD=，請(qǐng)求出AC的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥（1）連接OC，易證COB=D，由于P+D=90，所以P+COB=90，從而可知半徑OCDC；（2）由（1）可知：cosCOP=cosD=，設(shè)半徑為r，所以O(shè)H=r2，從而可求出r的值，利用勾股定理即可求出CH的長(zhǎng)度，從而可求出AC的長(zhǎng)度滿分解答解：（1）DC與O相切理由如下：連接OC，COB=2A，D=2A，COB

3、=D，DEAP，DEP=90，在RtDEP中，DEP=90，P+D=90，P+COB=90，OCP=90，半徑OCDC，DC與O相切（2）由（1）可知：OCP=90，COP=D，cosCOP=cosD=，CHOP，CHO=90，設(shè)O的半徑為r，則OH=r2在RtCHO中，cosHOC=，r=5，OH=52=3，由勾股定理可知：CH=4，AH=ABHB=102=8在RtAHC中，CHA=90，由勾股定理可知：AC=【例3】如圖，AB是O的直徑，D、E為O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得CD=BD，連接AC交O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF（1）證明：E=C；（2）若E=55，求BD

4、F的度數(shù)；（3）設(shè)DE交AB于點(diǎn)G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中點(diǎn)，求EGED的值思路點(diǎn)撥（1）直接利用圓周角定理得出ADBC，勁兒利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，即可得出E=C；（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出AFD=180E，進(jìn)而得出BDF=C+CFD，即可得出答案；（3）根據(jù)cosB=，得出AB的長(zhǎng)，再求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AEGDEA，求出答案即可滿分解答解：（1）證明：連接AD，AB是O的直徑，ADB=90，即ADBC，CD=BD，AD垂直平分BC，AB=AC，B=C，又B=E，E=C；（2）解：四邊形AEDF是O的內(nèi)接四邊形，AFD=180E，又CFD=180AF

5、D，CFD=E=55，又E=C=55，BDF=C+CFD=110；（3）解：連接OE，CFD=E=C，F(xiàn)D=CD=BD=4，在RtABD中，cosB=，BD=4，AB=6，E是的中點(diǎn)，AB是O的直徑，AOE=90，且AO=OE=3，AE=，E是的中點(diǎn)，ADE=EAB，AEGDEA，即EGED=18【例4】如圖，在AOB中，AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0t5）以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連

6、結(jié)CD、QC（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？（2）當(dāng)Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求P被OB截得的弦長(zhǎng)（3）若P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍思路點(diǎn)撥（1）由題意知CDOA，所以ACDABO，利用對(duì)應(yīng)邊的比求出AD的長(zhǎng)度，若Q與D重合時(shí)，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0t5，當(dāng)Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，OQ=4，此時(shí)用時(shí)為4s，過(guò)點(diǎn)P作PEOB于點(diǎn)E，利用垂徑定理即可求出P被OB截得的弦長(zhǎng)；（3）若P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，分以下兩種情況，當(dāng)QC與P相切時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；當(dāng)Q與D重合時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；由以上兩種情況即可得出t的取值范圍滿分解答（1）OA=6，OB=8，由勾

7、股定理可求得：AB=10，由題意知：OQ=AP=t，AC=2t，AC是P的直徑，CDA=90，CDOB，ACDABO，AD=，當(dāng)Q與D重合時(shí)，AD+OQ=OA，+t=6，t=；（2）當(dāng)Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，如圖OQ=OAQA=4，t=4s，PA=4，BP=ABPA=6，過(guò)點(diǎn)P作PEOB于點(diǎn)E，P與OB相交于點(diǎn)F、G，連接PF，PEOA，PEBAOB，PE=3.6，由勾股定理可求得：EF=，由垂徑定理可求知：FG=2EF=；（3）當(dāng)QC與P相切時(shí)，如圖此時(shí)QCA=90，OQ=AP=t，AQ=6t，AC=2t，A=A，QCA=ABO，AQCABO，t=，當(dāng)0t時(shí)，P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)QCOA時(shí)，此時(shí)Q

8、與D重合，由（1）可知：t=，當(dāng)t5時(shí)，P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)，P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為：0t或t5【例5】如圖，ABC內(nèi)接于O，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求的長(zhǎng)度；(2)在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，弦AD的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，問(wèn)ADAE的值是否變化？若不變，請(qǐng)求出ADAE的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)A點(diǎn)作AHBD，求證.思路點(diǎn)撥（1）過(guò)A作AFBC，垂足為F，交O于G，由垂徑定理可得BF=1，再根據(jù)已知結(jié)合RtAFB即可求得AB長(zhǎng)；（2）連接DG，則可得AG為O的直徑，繼而可證明DAGFAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得ADAE=AFAG，連接BG

9、，求得AF=3，F(xiàn)G=，繼而即可求得ADAE的值；（3）連接CD，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)N，使DN=CD，連接AN，通過(guò)證明ADCADN，可得AC=AN，繼而可得AB=AN，再根據(jù)AHBN，即可證得BH=HD+CD.滿分解答（1)過(guò)A作AFBC，垂足為F，交O于G，AB=AC，AFBC，BF=CF=BC=1，在RtAFB中，BF=1，AB=；（2）連接DG，AFBC，BF=CF，AG為O的直徑，ADG=AFE=90，又DAG=FAE，DAGFAE，AD：AF=AG：AE，ADAE=AFAG，連接BG，則ABG=90，BFAG，BF2=AFFG，AF=3，F(xiàn)G=，ADAE=AFAG=AF（AF+FG）=3

10、=10；（3）連接CD，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)N，使DN=CD，連接AN，ADB=ACB=ABC，ADC+ABC=180，ADN+ADB=180，ADC=ADN，AD=AD，CD=ND，ADCADN，AC=AN，AB=AC，AB=AN，AHBN，BH=HN=HD+CD.【例6】已知如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于B(1，0)，C(5，0)兩點(diǎn)，與y軸的正半軸相交于A點(diǎn)，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的P與y軸相切于點(diǎn)A，M為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線MB交拋物線于N，交P于D(1)填空:A點(diǎn)坐標(biāo)是_，P半徑的長(zhǎng)是_，a=_，b=_，c=_；(2)若SBNC:SAOB48:5，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若AOB

11、與以A，B，D為頂點(diǎn)的三角形相似，求MBMD的值思路點(diǎn)撥（1）先將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，再根據(jù)題意求得P半徑，進(jìn)而求得拋物線方程；（2）根據(jù)SBNC：SAOB=48：5求出N點(diǎn)的y坐標(biāo)，將yN代入拋物線方程即可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)和射影定理便可求得MBMD的值滿分解答(1) P的半徑=3,a=55,b=-655,c=5； （2）由（1）知拋物線的解析式為y=55x2-655x+5=55(x-3)2-455，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，5），所以O(shè)A=5， 而OB=1,BC=OC-OB=5-1=4,SAOB=12OBOA=1215=52,SBNC:SAOB48:5,SBNC=2

12、455, 設(shè)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為n，則有124n=2455，解得n=1255，而拋物線最小值是-455，n=1255， 在y=55x2-655x+5中，y=1255時(shí)，x1=-1（不合題意，舍去），x2=7，符合條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)是（7，1255）；（3）過(guò)點(diǎn)A作直徑AQ聯(lián)接BQ，ABQ=90,BAO+AOB=90,MA與P相切于點(diǎn)A，OAB+BAO=90,OAB=AOB,而AQB=ADB,OAB=ADB,而AMB=AMD,MABMDA,MAMB=MDMA,MA2=MBMD當(dāng)AOBDBA時(shí)，ABD=AOB=90,易證AOBBOM,則OB2=OAOMOM=55,AM=OA+OM=655,MBMD=MA2

13、=365; 當(dāng)AOBDAB時(shí)，BAD=AOB=90,BD是P的直徑，DCB=90,而B(niǎo)D=23=6,BC=4,CD=62-42=25DCB=MOB=90,OMCD,MOBDCB,OMOB=DCOC,OM=1254=52,MA=5+52=352,MBMD=MA2=454; 所以，若AOB與以A,B,D為頂點(diǎn)的三角形相似，MBMD等于365或454【變式訓(xùn)練】1如圖，已知圓的內(nèi)接六邊形的邊心距，則該圓的內(nèi)接正三角形的面積為（）A2B4CDD【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)作于，多邊形是正六邊形，是等邊三角形，該圓的內(nèi)接正三角形的面積，故選：D2如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，以為圓心，為半徑的與相切于點(diǎn)，平

14、分，的長(zhǎng)是（）AB2CDA【詳解】解： 與AC相切于點(diǎn)D， 故選A3如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，設(shè)，則下列函數(shù)圖象能反映與之間關(guān)系的是（）ABCDC【詳解】設(shè)：圓的半徑為，連接，則，即是圓的切線，則，則則圖象為開(kāi)口向下的拋物線，故選：4如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫(huà)半圓，分別交AB、AC于點(diǎn)E、D，DF是圓的切線，過(guò)點(diǎn)F作BC的垂線交BC于點(diǎn)G若AF的長(zhǎng)為2，則FG的長(zhǎng)為A4 B33 C6 D23B【詳解】連結(jié)OD，如圖， DF是圓的切線， ODDF， ODF=90，ABC為等邊三角形， C=A=B=60，AB=AC， 而OD=OC， ODC=60，ODC=A， O

15、DAB， DFAB在RtADF中，A=60， ADF=30， AD=2AF=22=4，而ODAB，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)， OD為ABC的中位線， AD=CD=4，即AC=8，AB=8， BF=AB-AF=6， FGBC， BGF=90，在RtBFG中，sinB=sin60=FGFB， FG=632=33.5如圖，已知AB是的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD與相切于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作PD的垂線交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若的半徑為4，則PA的長(zhǎng)為（ ）A4BC3D2.5A【詳解】連接OD，PD與O相切于點(diǎn)D，ODPD，PDO=90，BCP=90，PDO=PCB，P=P，PODPBC，PO：PB=OD：BC，即

16、PO：（PO+4）=4：6，PO=8，PA=PO-OA=8-4=4，故選A.6如圖，AC是O的直徑，弦BDAO于E，連接BC，過(guò)點(diǎn)O作OFBC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長(zhǎng)度是（）A3cmB cmC2.5cmD cmD【詳解】連接OB，AC是O的直徑，弦BDAO于E，BD=8cm，AE=2cm在RtOEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，OB=3+2=5，EC=5+3=8在RtEBC中，BC=OFBC，OFC=CEB=90C=C，OFCBEC，即，解得：OF= 故選D7如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，

17、連接AC、BD，以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E，若DE=3，則AD的長(zhǎng)為（）A5B4C3D2D【詳解】如圖：連接BE，在RtABC中，AB5，BC10，AC5，連接BE，BACEDB，ADBC，ABC90，BAD90BD是圓的直徑，BED90CBA，ABCDEB，DB3，在RtABD中，AD2，故選D8如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為O的直徑，CAB=60，弦AD平分CAB，若AD=6，則AC=_2【詳解】解：連接BD，AB是O的直徑，C=D=90，BAC=60，弦AD平分BAC，BAD=BAC=30，在RtABD中，AB=4，在RtABC中，AC=ABcos60=4=2故答案為29如圖，已知AB為

18、O的直徑，AB=2，AD和BE是圓O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，過(guò)圓上一點(diǎn)C作O的切線CF，分別交AD、BE于點(diǎn)M、N，連接AC、CB，若ABC=30，則AM=_【詳解】連接OM，OC，OB=OC，且ABC=30，BCO=ABC=30，AOC為BOC的外角，AOC=2ABC=60，MA，MC分別為圓O的切線，MA=MC，且MAO=MCO=90，在RtAOM和RtCOM中，RtAOMRtCOM（HL），AOM=COM=AOC=30，在RtAOM中，OA=AB=1，AOM=30，tan30=，即=，解得：AM=故答案為10如圖，是O的內(nèi)接三角形，且AB是O的直徑，點(diǎn)P為O上的動(dòng)點(diǎn)，且，O的半徑為6，

19、則點(diǎn)P到AC距離的最大值是_【詳解】過(guò)O作于M，延長(zhǎng)MO交O于P，則此時(shí)，點(diǎn)P到AC距離的最大，且點(diǎn)P到AC距離的最大值，O的半徑為6，則點(diǎn)P到AC距離的最大值是，故11如圖，在O中，弦AB=1，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連結(jié)OC，過(guò)點(diǎn)C作CDOC交O于點(diǎn)D，則CD的最大值為_(kāi)【詳解】解：作OHAB，延長(zhǎng)DC交O于E，如圖，AH=BH=AB=，CDOC，CD=CE，ABD=DEA，BCD=ECA，BCDECA，CDCE=BCAC，CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，CD=，當(dāng)CH最小時(shí)，CD最大，而C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，CH最小，此時(shí)CD=，即CD的最大值為故答案為12如

20、圖，已知半圓與四邊形的邊都相切，切點(diǎn)分別為，半徑，則_.1【詳解】如圖，連接 OE，AD、AB與半圓 O 相切， OEAB，OA平分DOE，AOE=DOE，同理BOE=EOC，DOE+EOC=180，AOE+BOE=90，即AOB=90，ABO+BAO=90，BAO+AOE=90，ABO=AOE，OEA=BEO=90，AEOOEB，AE：OE=OE：BE，AEBE=OE=1，故答案為1. 13如圖，以AB為直徑的O與CE相切于點(diǎn)C，CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，直徑AB18，A30，弦CDAB，垂足為點(diǎn)F，連接AC，OC，則下列結(jié)論正確的是_（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）；扇形OBC的面積為；OCFO

21、EC；若點(diǎn)P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，則APOP有最大值20.25【詳解】弦CDAB，AB是直徑，所以正確；BOC=2A=230=60，扇形OBC的面積=，所以錯(cuò)誤；O與CE相切于點(diǎn)C，OCCE，OCE=90，COF=EOC，OFC=OCE，OCFOEC，所以正確；APOP=(9-OP)OP= -(OP-)2+，當(dāng)OP=時(shí)，APOP的最大值為=20.25，所以正確，故14如圖，已知O是ABC的外接圓，且BC為O的直徑，在劣弧上取一點(diǎn)D，使，將ADC沿AD對(duì)折，得到ADE，連接CE（1）求證：CE是O的切線；（2）若CEC D，劣弧的弧長(zhǎng)為，求O的半徑（1）見(jiàn)解析；（2）圓的半徑為3【詳解】（1），C

22、ADBCAEAD，設(shè)：DCADEA，DCEDEC，則ACE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180，2+2+2180，+90，CE是O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)A作AMBC，延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)N，則DNCE，四邊形AMCN為矩形，設(shè)：ABCDx，則CEx，則CNCExAM，而ABx，則sinABM，ABM60，OAB為等邊三角形，即AOB60，2r，解得：r3，故圓的半徑為315如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的O上，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交O于點(diǎn)E（1） 求證：AC平分DAB；（2） 連接BE交AC于點(diǎn)F，若cosCAD，求的值（1） 詳見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）證明：連接OC，則OCCD，又AD

23、CD，ADOC，CADOCA，又OAOC，OCAOAC，CADCAO，AC平分DAB（2）解：連接BE交OC于點(diǎn)H，易證OCBE，可知OCACAD，COSHCF，設(shè)HC4,FC5，則FH3又AEFCHF，設(shè)EF3x，則AF5x，AE4x，OH2x BHHE3x3 OBOC2x4在OBH中，（2x）2（3x3）2（2x4）2化簡(jiǎn)得：9x22x70，解得：x（另一負(fù)值舍去）16如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB=AC，BDAC，垂足為E，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，且DF=DC，連接AF、CF.(1)求證：BAC=2DAC； (2)若AF10，BC4，求tanBAD的值. (1)見(jiàn)解析；(2) tanB

24、AD=.【詳解】解：（1）ABAC，=，ABCACB，ABCADB，ABC（180BAC）90BAC，BDAC，ADB90DAC，BACDAC，BAC2DAC； (2)DF=DC，BFC=BDC=BAC=FBC,CB=CF,又BDAC，AC是線段BF的中垂線，AB= AF=10, AC=10.又BC4，設(shè)AEx, CE=10 x, AB2AE2=BC2CE2, 100 x2=80(10 x)2, x=6AE=6,BE=8,CE=4,DE=3,BDBEDE3811，作DHAB，垂足為H，ABDHBDAE，DH，BH，AHABBH10，tanBAD=.17如圖，ABC中，以BC為直徑的O交AB于點(diǎn)

25、D，AE平分BAC交BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F且CE=CF（1）求證：直線CA是O的切線；（2）若BD=DC，求的值（1）證明見(jiàn)解析；（2）【詳解】解：（1）證明：BC為直徑，BDC=ADC=90，1+3=90AE平分BAC， 1=2， CE=CF4=5，3=4，3=5，2+5=90，ACB=90，即ACBC，直線CA是O的切線；（2）由（1）可知，1=2，3=5，ADFACE，BD=DC，tanABC= =ABC+BAC=90，ACD+BAC=90，ABC=ACD，tanACD=，sinACD=，=18如圖，AB是C的直徑，M、D兩點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，E是C上的點(diǎn)，且DE2DB DA延長(zhǎng)AE至

26、F，使AEEF，設(shè)BF10，cosBED=.(1)求證：DEBDAE； (2)求DA，DE的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)F在B、E、M三點(diǎn)確定的圓上，求MD的長(zhǎng).(1)證明見(jiàn)解析； (2)DA=，DE=；(3)MD.【詳解】(1)DE2DBDA，又DD，DEBDAE；(2)AB是C的直徑，E是C上的點(diǎn)，AEB=90，即BEAF，又AE=EF，BF=10，AB=BF=10，DEB DAE，cos BED=，EAD=BED，cos EAD =cos BED=，在RtABE中，由于AB10，cos EAD，得AE=ABcosEAD=8，DEB DAE， DB=DA-AB=DA-10，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是的解，DA=，

27、DE=； (3)連接FM，BEAF，即BEF90，BF是B、E、F三點(diǎn)確定的圓的直徑，點(diǎn)F在B、E、M三點(diǎn)確定的圓上，即四點(diǎn)F、E、B、M在同一個(gè)圓上，點(diǎn)M在以BF為直徑的圓上，F(xiàn)MAB，在RtAMF中，由cos FAM得AMAFcos FAM 2AEcos EAB28，MDDAAM.19如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)D是弧AE上一點(diǎn)，且BDE=CBE，BD與AE交于點(diǎn)F.（1）求證：BC是O的切線；（2）若BD平分ABE，求證：DE2=DFDB；（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)ED，BA交于點(diǎn)P，若PA=AO，DE=2，求PD的長(zhǎng).（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）證明見(jiàn)試題解析；（3）PD=4，OA=【詳

28、解】（1）證明：AB是O的直徑，AEB=90，EAB+ABE=90，EAB=BDE，BDE=CBE，CBE+ABE=90，即ABC=90，ABBC，BC是O的切線；（2）證明：BD平分ABE，1=2，而2=AED，AED=1，F(xiàn)DE=EDB，DFEDEB，DE：DF=DB：DE，=DFDB；（3）連結(jié)DE，如圖，OD=OB，2=ODB，而1=2，ODB=1，ODBE，PODPBE，PA=AO，PA=AO=BO，即，PD=420如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），作ECOB，交O于點(diǎn)C，作直徑CD，過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作AFPC于點(diǎn)F，連接CB（1）求證：

29、AC平分FAB；（2）求證：BC2=CECP；（3）當(dāng)AB=4且=時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)度（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）AB是直徑，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，AFC=90，AEC=90，F(xiàn)AC=EAC，即AC平分FAB；（2）OC=OB，OCB=OBC，PF是O的切線，CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，CD是直徑，CBD=CBP=90，CBECPB，BC2=CECP；（3）如圖，作BMPF于M則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=

30、a，MCB+P=90，P+PBM=90，MCB=PBM，CD是直徑，BMPC，CMB=BMP=90，BMCPMB，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60，BOD=120，的長(zhǎng)=21如圖，以AB邊為直徑的O經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，C是O上一點(diǎn)，連結(jié)PC交AB于點(diǎn)E，且ACP=60，PA=PD（1）試判斷PD與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，已知AB=4，求CECP的值（1）PD是O的切線證明見(jiàn)解析.（2）8.【詳解】（1）如圖，PD是O的切線證明如下：連結(jié)OP，ACP=60，AOP=120，OA=OP，OAP=OPA=30，PA=P

31、D，PAO=D=30，OPD=90，PD是O的切線（2）連結(jié)BC，AB是O的直徑，ACB=90，又C為弧AB的中點(diǎn)，CAB=ABC=APC=45，AB=4，AC=Absin45=C=C，CAB=APC，CAECPA，CPCE=CA2=（）2=822如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的O上，AD平分，過(guò)點(diǎn)B作O的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E(1)求證：直線CD是O的切線(2)求證：(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】解：證明：(1)連接OD，AD平分，直線CD是O的切線；(2)連接BD，BE是O的切線，AB為O的直徑，23如圖，在中，以為直徑的分別與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若的半徑為4，求陰影部分的面積（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）【詳解】解：（1）如圖所示，連接，而，直線是的切線；（2）連接，則，