1、第20章根本數(shù)值方法 .20.1 二叉樹20.2 采用二叉樹對(duì)股指、貨幣與期貨期權(quán)定價(jià)20.3 對(duì)于支付股息股票的二叉樹模型20.4 構(gòu)造樹形的其他方法20.5 參數(shù)依賴于時(shí)間的情形20.6 蒙特卡羅模擬法20.7 方差縮減程序20.8 有限差分法第20章 根本數(shù)值方法.1、從開場(chǎng)的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ； 2、下降到原先的 倍，即 。 時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)價(jià)錢的變動(dòng) 把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔 ，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)錢只需兩種運(yùn)動(dòng)的能夠：其中 ， .如下圖。價(jià)錢上升的概率假設(shè)為 ，下降的概率假設(shè)為 。相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同，分別為 和 。20.1 二叉樹. 構(gòu)造投資組

2、合包括 份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭 當(dāng) 。那么組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合 此時(shí) 由于是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，可用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，得 將 代入上式就可得到： 其中 無(wú)套利定價(jià)法：.在對(duì)衍消費(fèi)品定價(jià)時(shí)，可以假定世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里：1一切可買賣證券的期望收益都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；2未來(lái)現(xiàn)金流可以用其期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。20.1.1 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià).在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件：假設(shè)證券價(jià)錢遵照幾何布朗運(yùn)動(dòng)，那么：再設(shè)定： 第三個(gè)條件的設(shè)定那么可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件 由以上三式可得，當(dāng) 很小時(shí)：從而 以上可知，無(wú)套利定價(jià)法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法具有內(nèi)在一致性。

3、20.1.2 確定p,u,d. 普通而言，在 時(shí)辰，證券價(jià)錢有 種能夠，它們可用符號(hào)表示為： 其中 由于 ，使得許多結(jié)點(diǎn)是重合的，從而大大簡(jiǎn)化了樹圖。 20.1.3 資產(chǎn)價(jià)錢的樹形. 得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)錢之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價(jià)法，從樹型構(gòu)造圖的末端T時(shí)辰開場(chǎng)往回倒推，為期權(quán)定價(jià)。 假設(shè)是歐式期權(quán)，可經(jīng)過(guò)將 時(shí)辰的期權(quán)價(jià)值的預(yù)期值在 時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 貼現(xiàn)求出每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值； 假設(shè)是美式期權(quán)，就要在樹型構(gòu)造的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)辰提早執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有 時(shí)間，到下一個(gè)時(shí)辰再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。例20-1 DerivaGem示范 20.

4、1.4 經(jīng)過(guò)樹形倒推計(jì)算. 假設(shè)把一期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長(zhǎng)度為 的小區(qū)間，同時(shí)用 表示結(jié)點(diǎn) 處的證券價(jià)錢可得以看漲期權(quán)為例： 其中假定期權(quán)不被提早執(zhí)行，那么： 表示在時(shí)間 時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值假設(shè)有提早執(zhí)行的能夠性，那么：20.1.5 代數(shù)表達(dá)式.20.1.6 估計(jì)Delta與其他希臘值. 20.2 采用二叉樹對(duì)股指、貨幣與期貨期權(quán)進(jìn)展定價(jià) 當(dāng)對(duì)股指、貨幣和期貨上的期權(quán)定價(jià)時(shí)，可以將這些標(biāo)的資產(chǎn)看作是提供知收益率的資產(chǎn)。對(duì)于股指而言，收益率就是股指中股票組合的股息收益率；對(duì)于貨幣而言，收益率等于外幣無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；對(duì)于期貨合約而言，收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。Derivagem求解例20-

5、3，20-4.假設(shè)股息離散支付，股息收益率知 可經(jīng)過(guò)調(diào)整在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的股票價(jià)錢，算出期權(quán)價(jià)錢； 假設(shè)時(shí)辰 在除權(quán)日之前，那么結(jié)點(diǎn)處股票價(jià)錢仍為： 假設(shè)時(shí)辰 在除權(quán)日之后，那么結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)錢相應(yīng)調(diào)整為： 假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)知紅利率，那么 時(shí)辰結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)錢為： 為0時(shí)辰到 時(shí)辰之間一切除權(quán)日的總紅利支付率20.3 對(duì)于支付股息股票的二叉樹模型20.3.1 股息收益率是知的情形.20.3.2 知股息數(shù)量的情形 在某些情形下，尤其是當(dāng)期權(quán)的期限很短時(shí)，最符合現(xiàn)實(shí)的做法是假設(shè)知股息支付的數(shù)量而不是股息收益率。假設(shè)股票動(dòng)搖率 為常數(shù)，二叉樹的外形如以下圖所示。 . 將股票價(jià)錢分為兩個(gè)部分：一

6、部分是不確定的；另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)一切未來(lái)股息的貼現(xiàn)值。假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只需一個(gè)除息日，那么在時(shí)辰 不確定部分的價(jià)值為： 當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)D為股息對(duì)于原股票價(jià)錢S的二叉樹，在 時(shí)辰：當(dāng) 時(shí)，股票價(jià)錢為：當(dāng) 時(shí)，股票價(jià)錢為： 為零時(shí)辰的 值例20-5. 根本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)類似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。假設(shè)： 代表期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值， 表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值， 和 表示用同一個(gè)二叉樹、一樣的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過(guò)程得到的估計(jì)值那么期權(quán)A 的更優(yōu)估計(jì)值為： 20.3.3 控制變量技術(shù).該方法優(yōu)點(diǎn)在于無(wú)論 和 如何變化，概率總是不變的缺

7、陷在于二叉樹圖中的中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢不會(huì)再和初始中心值相等。 20.4 構(gòu)造樹形的其他方法 CRR方法并不是構(gòu)造二叉樹的獨(dú)一方法，在確定參數(shù) 、 和 時(shí)，不再假設(shè) ，而令 ，可得： .三叉樹圖 每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)錢有三種運(yùn)動(dòng)的能夠：1、從開場(chǎng)的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ；2、堅(jiān)持不變，仍為 ；3、下降到原先的 倍，即. 假定股票支付股息收益率q，以下參數(shù)可保證樹形的均值和規(guī)范差與股票價(jià)錢的均值和規(guī)范差相吻合.1、利率是時(shí)間依賴的情形 假設(shè) ，即在時(shí)辰 的結(jié)點(diǎn)上，其運(yùn)用的利率等于 到 時(shí)間內(nèi)的遠(yuǎn)期利率，那么：這一假設(shè)并不會(huì)改動(dòng)二叉樹圖的幾何外形，改動(dòng)的是上升和下降的概率，所以我們依然

8、可以象以前一樣構(gòu)造出二叉樹圖，不同的是貼現(xiàn)時(shí)用2、動(dòng)搖率依賴于時(shí)間20.5 參數(shù)依賴于時(shí)間的情形.Monte Carlo: Based On Probability & Chance根本思緒：由于大部分期權(quán)價(jià)值實(shí)踐上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期報(bào)答(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡能夠地模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的多種運(yùn)動(dòng)途徑，計(jì)算每種途徑結(jié)果下的期權(quán)報(bào)答均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價(jià)值。20.6 蒙特卡羅模擬法.等價(jià)方式反復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算報(bào)答值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值 是從規(guī)范正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本假定在風(fēng)險(xiǎn)世界中，標(biāo)的市場(chǎng)變量服從 ，為了模擬變量S的途徑

9、，將期權(quán)期限分割成N個(gè)長(zhǎng)度為 的小區(qū)間，其近似方程為： 實(shí)踐中，對(duì)lns進(jìn)展模擬結(jié)果更準(zhǔn)確。由伊藤引理，因此，.1、當(dāng)報(bào)答僅僅取決于到期時(shí) 的最終價(jià)值時(shí)，可直接用一個(gè)大步 假設(shè)初始時(shí)辰為零時(shí)辰來(lái)多次模擬最終的資產(chǎn)價(jià)錢，得到期權(quán)價(jià)值：2、當(dāng)報(bào)答依賴于多個(gè)市場(chǎng)變量時(shí)每次模擬運(yùn)算中對(duì)每個(gè)變量的途徑都必需進(jìn)展抽樣，從樣本途徑進(jìn)展的每次模擬運(yùn)算可以得出期權(quán)的終值。 的離散過(guò)程可以寫為：期權(quán)依賴于 個(gè)變量 ， 為 的動(dòng)搖率， 為 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望增長(zhǎng)率， 為 和 之間的瞬間相關(guān)系數(shù)20.6.1 多個(gè)標(biāo)的變量的情形. 的產(chǎn)生：是服從規(guī)范正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。假設(shè)只需一個(gè)單變量，EXCEL中的指令=NO

10、RMSINV(RAND()用來(lái)產(chǎn)生一元規(guī)范正態(tài)分布的隨機(jī)樣本。假設(shè)要產(chǎn)生n元結(jié)合正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣，用喬里斯基分解。假設(shè)對(duì)衍消費(fèi)品價(jià)錢的估計(jì)值要求95的置信度，那么期權(quán)價(jià)值應(yīng) 是進(jìn)展運(yùn)算的個(gè)數(shù)， 為均值， 是規(guī)范差20.6.2 由正態(tài)分布中抽樣20.6.3 模擬次數(shù). 在每個(gè)節(jié)點(diǎn)，取01隨機(jī)數(shù)，隨機(jī)數(shù)P,選擇上升分支，否那么，選擇下降分支。到達(dá)下個(gè)節(jié)點(diǎn)后，反復(fù)上述過(guò)程直到到達(dá)樹圖末端。例20-9其中， 為標(biāo)的變量?jī)r(jià)錢或參數(shù)， 為普通蒙特卡羅法計(jì)算的衍消費(fèi)品價(jià)錢， 為將 值添加 時(shí)計(jì)算出的衍消費(fèi)品新價(jià)錢。為減小規(guī)范誤差，計(jì)算這兩次衍消費(fèi)品價(jià)錢時(shí)，選用的時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù)N,選用的隨機(jī)樣本、模擬運(yùn)算的次

11、數(shù)M都必需一樣20.6.5 計(jì)算希臘值20.6.4 經(jīng)過(guò)樹形取樣.主要優(yōu)點(diǎn)： 1. 可以給出估計(jì)值的規(guī)范誤差，可以處置復(fù)雜的收益方式。 2. 可用于收益為變量所遵照的整個(gè)途徑的函數(shù)，而不只是變量最終值函數(shù)的情形。主要缺陷：1. 只能為歐式期權(quán)定價(jià)，難以處置提早執(zhí)行的情形。2. 為了到達(dá)一定的準(zhǔn)確度，普通需求大量的模擬運(yùn)算。20.6.6 運(yùn)用.一對(duì)偶變量技術(shù)(antithetic variable technique)二控制變量技術(shù)(control variate technique)三重點(diǎn)抽樣法(important sampling)四間隔抽樣法(stratified sampling)五矩匹

12、配法(moment matching)六利用偽隨機(jī)數(shù)(quasi-random sequency)20.7 方差縮減程序.轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，之后用迭代法求解，得到期權(quán)價(jià)值。20.8 有限差分法有限差分方法的主要思想是：運(yùn)用有限差分方法將衍生證券所滿足的偏微分方程有限差分網(wǎng)格. 的近似 對(duì)于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn) ，期權(quán)價(jià)值對(duì)資產(chǎn)價(jià)錢的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來(lái)表示： 、 和 的近似 對(duì)于 點(diǎn)處的 ，我們那么采取前向差分近似以使 時(shí)辰的值和 時(shí)辰的值相關(guān)聯(lián)： 的近似 點(diǎn) 處的 的后向差分近似為 ，因此點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢的二階差分為1.下面引見(jiàn)一下 、 和 的差分近似20.8.1 隱式有

13、限差分法.把以上三個(gè)近似代入布萊克舒爾斯偏微分方程，整理得到：其中， 2.差分方程. 時(shí)辰看跌期權(quán)的價(jià)值為 其中 當(dāng)股票價(jià)錢為零時(shí)，下方邊境上一切格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值： 當(dāng)股票價(jià)錢趨于無(wú)窮時(shí) 3.邊境條件.聯(lián)立 個(gè)方程： 和 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，解出每個(gè) 的期權(quán)價(jià)值最后可以計(jì)算出 ，當(dāng) 等于初始資產(chǎn)價(jià)錢時(shí)，該格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 就是我們要求的期權(quán)價(jià)值。 4.求解期權(quán)價(jià)值. 隱式差分法可以了解為從格點(diǎn)圖內(nèi)部向外推知外部格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。如下圖：.顯式有限差分法： 其中， 即直接從 時(shí)辰的三個(gè)相鄰格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值求出 時(shí)辰資產(chǎn)價(jià)錢為 時(shí)的期權(quán)價(jià)值，可了解為從格點(diǎn)圖外部推知內(nèi)部格點(diǎn)期權(quán)價(jià)值的方法20.8.2 顯式有限差分

14、法.以lns為標(biāo)的變量替代以s為標(biāo)的變量，定義 微分方程變?yōu)椋横槍?duì)Z設(shè)定等間隔網(wǎng)格，隱式法中，微分方程變?yōu)榧雌渲?0.8.3 變量交換.顯示法中，差分方程為即其中.1.跳格法hopscotch method2.Crank-Nicolson法20.8.5 其他差分法. 有限差分法可用于適宜樹形方法的衍生品定價(jià)問(wèn)題。它們既可以處置歐式期權(quán)定價(jià)也可以處置美式期權(quán)定價(jià)，但這一方法很難用于衍生品收益與標(biāo)的變量歷史價(jià)錢有關(guān)的情形。有限差分可用于多標(biāo)的變量的情形，但計(jì)算時(shí)間會(huì)大大增大，由于這時(shí)圖20-15的網(wǎng)格會(huì)變成多維的方式。 在有限差分法中，計(jì)算希臘值的方法與樹形法類似。Delta、Gamma和Theta可以直接由 在網(wǎng)格上的值得出。對(duì)于Vega，我們需求讓動(dòng)搖率有一個(gè)小的變化，然后再由同一個(gè)網(wǎng)格計(jì)算衍消費(fèi)品的數(shù)值解。20.8.6 有限差分法的運(yùn)用.歸納小結(jié)1.有限差分方法和樹圖方法的分析比較一樣點(diǎn)：兩種方法都用離散的模型模擬資產(chǎn)價(jià)錢的延續(xù)運(yùn)動(dòng)不同點(diǎn)：樹圖方法中包含了資產(chǎn)價(jià)錢的分散和動(dòng)搖率情形；有限差分方法中的格點(diǎn)那么是固定均勻的，只是參數(shù)進(jìn)展了相應(yīng)的變化，以反映改動(dòng)了的分散情形。 . 有限差分方法還可以進(jìn)一步推行到多個(gè)標(biāo)的變量的情形； 在標(biāo)的變量小于三個(gè)的時(shí)候，這一方法是相當(dāng)有效率的；但是超越