1、第六章線性空間1會(huì)集映照講課內(nèi)容:1會(huì)集映照二教課目的:經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握會(huì)集映照的相關(guān)定義、運(yùn)與乘積號(hào)的定義.三教課要點(diǎn):四教課難點(diǎn):五教課過(guò)程:會(huì)集映照的相關(guān)定義.會(huì)集映照的相關(guān)定義.會(huì)集的運(yùn)算,會(huì)集的映照(像與原像、單射、滿射、雙射定義:(會(huì)集的交、并、差)設(shè)S是會(huì)集,A與B的公共元素會(huì)集成為A與B的交集,記作AB；把A和B中的元素合并在的會(huì)集成為A與B的并集,記做AB；從會(huì)集A中去掉屬于B素以后剩下的元素構(gòu)成的會(huì)集成為A與B的差集,記做AB.定義:(會(huì)集的映照)設(shè)A、B為會(huì)集.假如存在法規(guī)f,使得元素a在法規(guī)f下對(duì)應(yīng)B中獨(dú)一確立的元素(記做f(a),則稱(chēng)的一個(gè)映照,記為f:AB,af

2、(a).假如f(a)bB,則b稱(chēng)為a在f下的像,a稱(chēng)為b在f下的全部元素在f下的像構(gòu)成的B的子集稱(chēng)為A在f下的像,記做f(A)f(a)|aA.若aaA,都有f(a)f(a),則稱(chēng)f為單射.若baA,使得f(a)b,則稱(chēng)f為滿射.假如f既是單射又是滿射nna1a2anai,a1a2anai.i1i1自然也可以寫(xiě)成a1a2anai,a1a2anai.1in1in乞降號(hào)的性質(zhì)簡(jiǎn)單證明,nnnnnnmmnaiai,(aibi)aibi,aiji1i1i1i1i1i1j1j1i事實(shí)上,最后一條性質(zhì)的證明只要要把各個(gè)元素排成以下形狀:a11a12a1ma21a22a2man1an2anm分別先按行和列乞降

3、,再求總和即可.2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)講課內(nèi)容：2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)二教課目的：經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)三教課要點(diǎn)：線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).乘法“”(KVV),且“+”與“”滿足以下性質(zhì):1、加法交換律,V,有；2、加法結(jié)合律,V,有()()；3、存在“零元”,即存在0V,使得V,0；4、存在負(fù)元,即V,存在V,使得0；5、“1律”1；6、數(shù)乘結(jié)合律k,lK,V,都有(kl)k(l)l(k)7、分配律8、分配律k,lK,V,都有(kl)kl；kK,V,都有k()kk,則稱(chēng)V為K上的一個(gè)線性空間,我們把線性空間中的元素稱(chēng)為線性空間依賴(lài)于“+”和“”的定義,不但與會(huì)

4、集V相關(guān).零向量和負(fù)向量的獨(dú)一性,向量減法的定義,線性空間的乘運(yùn)算與平常數(shù)的加、乘法近似的性質(zhì)命題4.1零元素獨(dú)一,任意元素的負(fù)元素獨(dú)一.證明:設(shè)0與0均是零元素,則由零元素的性質(zhì),有000V,設(shè),都是的負(fù)向量,則0()()0,于是命題得證.因?yàn)樨?fù)向量獨(dú)一,我們用代表的負(fù)向量.定義4.2(減法)我們定義二元運(yùn)算減法“-”以下:定義為().命題4.2線性空間中的加法和數(shù)乘滿足以下性質(zhì):1、加法滿足消去律；例4.1令V表示在(a,b)上可微的函數(shù)所構(gòu)成的會(huì)集,令K法的定義就是函數(shù)的加法,關(guān)于K的數(shù)乘就是實(shí)數(shù)遇函數(shù)的乘法上的線性空間.線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線線性沒(méi)關(guān)的定義以及等

5、價(jià)表述,向量組的秩,向量組的線性等價(jià)；沒(méi)關(guān)組.定義4.3(線性組合)給定V內(nèi)一個(gè)向量組1,2,s,又內(nèi)s個(gè)數(shù)k1,k2,ks,稱(chēng)k11k22kss為向量組1,2,線性組合.定義4.4(線性表出)給定V內(nèi)一個(gè)向量組1,2,s,設(shè)一個(gè)向量,假如存在K內(nèi)s個(gè)數(shù)k1,k2,ks,使得k11k22則稱(chēng)向量可以被向量組1,2,s線性表出.定義4.5(向量組的線性相關(guān)與線性沒(méi)關(guān))給定V內(nèi)一1,2,s,假如對(duì)V內(nèi)某一個(gè)向量,存在數(shù)域K內(nèi)不全k1,k2,ks,使得k11k22kss0,則稱(chēng)向量組1,2,關(guān)；若由方程k11k22kss0必定推出k1k2ks量組1,2,s線性沒(méi)關(guān).命題4.3設(shè)1,2,sV,則下述兩

6、條等價(jià):1)1,2,s線性相關(guān)；某個(gè)i可被其他向量線性表示.證明同向量空間.定義4.6(線性等價(jià))給定V內(nèi)兩個(gè)向量組果它有一個(gè)部分組i1,i2,ir滿足以下條件:、i1,i2,ir線性沒(méi)關(guān)；(ii)、原向量組中任一直量都能被i1,i2,ir線性表示,則稱(chēng)此部分組為原向量組的一個(gè)極大線性沒(méi)關(guān)部分組.因?yàn)樵谙蛄靠臻g中我們證明的關(guān)于線性表示和線性等價(jià)的一些命題n中并沒(méi)實(shí)用到K的一些獨(dú)有的性質(zhì),于是那些命題在線性空間中.定義4.8(向量組的秩)一個(gè)向量組的任一極大線性沒(méi)關(guān)部分組包括同樣數(shù)量的向量,其向量數(shù)量成為該向量組的秩.例4.2求證:向量組e1x,e2x的秩等于2(此中12).證明:方法一:設(shè)k1

7、,k2R,滿足k1e1xk2e2x0,則k1e1x12不全為零10,則有e(12)xk2,而因?yàn)?若k,k,不如設(shè)kk1邊為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),矛盾于等號(hào)右側(cè)為常數(shù).于是k1k20.因此e1x,e2x線性沒(méi)關(guān),向量組的秩等于2.證畢.方法二:若在(a,b)上11x22x,ke0ke兩端求導(dǎo)數(shù),得k11e1xk22e2x0,以xc(a,b)代入,有k1e1ck2e2c0,k11e1c2c0.k22e而e1ce2c(12)c21)0,1e2c2e2ce(于是k1k20.證畢.3維數(shù)、基與坐標(biāo)講課內(nèi)容:3維數(shù)、基與坐標(biāo)二教課目的:經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的基與維數(shù),向的相關(guān)定義及性質(zhì).三教課要點(diǎn):基與

8、維數(shù)、向量坐標(biāo)的相關(guān)定義.四教課難點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的相關(guān)定義.五教課過(guò)程:線性空間的基與維數(shù),向量的坐標(biāo)設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,則有:定義4.9(基和維數(shù))假如在V中存在n個(gè)向量1,2,1)1,2,n線性沒(méi)關(guān)；2)V中任一直量在K上可表成1,2,n的線性組合,則稱(chēng)1,2,n為V的一組基.基即是V的一個(gè)極大線性沒(méi)關(guān)部分組.基的個(gè)數(shù)定義為線性空數(shù).命題4.4設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間,而1,2,中任一直量皆可被1,2,n線性表出,則1,2,n是V的證明:由1,2,n與V的一組基線性等價(jià)可以推出它們的秩相命題4.5設(shè)V為K上的n維線性空間,1,2,nV,等價(jià):1)1,2,n線性沒(méi)關(guān)；2)V

9、中任一直量可被1,2,n線性表出.4基變換與坐標(biāo)變換講課內(nèi)容:4基變換與坐標(biāo)變換二教課目的:經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握基變換與過(guò)渡矩陣的定義、坐標(biāo)變換公式.三教課要點(diǎn):基變換與過(guò)渡矩陣的定義、運(yùn)算,坐標(biāo)變換公式四教課難點(diǎn):坐標(biāo)變換公式的應(yīng)用.五教課過(guò)程:線性空間的基變換,基的過(guò)渡矩陣設(shè)V/K是n維線性空間,設(shè)1,2,n和1,2,n是兩組1t111t212tn1n,2t121t222tn2n,nt1n1t2n2tnnn.將其寫(xiě)成矩陣形式t11t12tt21t22t(1,2,n)(1,2,n)1n2n.tn1tn2tnn定義4.11我們稱(chēng)矩陣t11t12t1nt21t22t2nTttt則有1,2,n是V

10、/K的一組基,當(dāng)且僅當(dāng)T可逆.證明:若1,2,n是線性空間V/K的一組基,則1,2,觀察同構(gòu)映照:Vn在1,2,n下的坐標(biāo),構(gòu)造方K,k1(1)k2(2)kn(n)0,此中kiK,(i1,2,(k11k22knn)0k11k22knnk1k2kn0(1),(2),(n)線性沒(méi)關(guān)(1),(2),(n)構(gòu)成了過(guò)渡矩陣的列向量,因此過(guò)渡矩陣可反過(guò)來(lái),若過(guò)渡矩陣可逆,則構(gòu)造方程k11k22knn0,此中kiK,(i1,2,n),兩邊用作用,獲取k1(1)k2(2)kn(n)0,k1k2kn0.證畢.向量的坐標(biāo)變換公式；Kn中的兩組基的過(guò)渡矩陣向量的坐標(biāo)變換公式設(shè)V/K有兩組基為1,2,n和1,2,n,

11、又設(shè)在1,的坐標(biāo)為a1,a2,an,即a1a2(1,2,n),an在1,2,n下的坐標(biāo)為(b1,b2,bn),即b1(1,2,n)b2.a1b1Xa2,Yb2,anbn于是(1,2,n)X(1,2,n)Y(1,2,n)TY(1,2,于是,由坐標(biāo)的獨(dú)一性,可以知道XTY,這就是坐標(biāo)變換公式.Kn中兩組基的過(guò)渡矩陣的求法我們?cè)O(shè)Kn中兩組基分別為1(a11,a12,a1n),1(b11,b12,b1n),2(a21,a22,a2n),和2(b21,b22,b2n),n(an1,an2,ann).n(bn1,bn2,bnn).而(1,2,n)(1,2,n)T.按定義,T的第i個(gè)列向量分別是i在基1,2

12、,n下的坐標(biāo).將1,2,n和1,2,n看作列向量分別排成矩陣a11a12a1nb11b12b1nAa21a22a2n；Bb21b22b2n,an1an2annbn1bn2bnn則有BAT,將A和B拼成n2n分塊矩陣A|B,利用初等行變矩陣A化為單位矩陣E,則右側(cè)出來(lái)的就是過(guò)渡矩陣T,表示以下5線性子空間講課內(nèi)容:5線性子空間二教課目的:經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性子空間的定義、鑒識(shí)定理三教課要點(diǎn):四教課難點(diǎn):五教課過(guò)程:線性子空間的定義、鑒識(shí)定理.線性子空間的鑒識(shí)定理.1.線性空間的子空間的定義定義4.12(子空間)設(shè)V是數(shù)域K上的一個(gè)線性空間,M時(shí)空子集.假如M關(guān)于V內(nèi)的加法與數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域

13、K上的一間,則稱(chēng)為V的一個(gè)子空間.命題4.7設(shè)V是K上的線性空間,又設(shè)一個(gè)非空會(huì)集W子空間當(dāng)且僅當(dāng)下述兩條成立:i)W對(duì)減法封閉；ii)W關(guān)于K中元素作數(shù)乘封閉.證明:必需性由定義直接得出；充分性:各運(yùn)算律在V中已有,因此W滿足運(yùn)算律的條件.只要要證明0W且關(guān)于任意W,W,且對(duì)加法封閉事實(shí)上,因?yàn)閃關(guān)于數(shù)乘封閉,則00W；(1)是關(guān)于,W,()W,W關(guān)于加法封閉.于是個(gè)子空間.證畢.事實(shí)上,W關(guān)于加法和數(shù)乘封閉也可以得出上述結(jié)論.命題4.8設(shè)W是V的一個(gè)有限維子空間,則W的任一組基為V的一組基.6子空間的交與和講課內(nèi)容:6子空間的交與和二教課目的:經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的交與和的定義、性數(shù)

14、公式.三教課要點(diǎn):子空間的交與和的定義及維數(shù)公式.四教課難點(diǎn):子空間的交與和的性質(zhì)及維數(shù)公式.五教課過(guò)程:子空間的交與和,生成元集定義4.13設(shè)1,2,tV,則k11k22ktt|kiK,i1,2,t是V的一個(gè)子空間,稱(chēng)為由1,2,t生成的子空間,記為L(zhǎng)(1易見(jiàn),生成的子空間的維數(shù)等于1,2,t的秩.定義4.14(子空間的交與和)設(shè)12為線性空間V/K的子V,VV1V2vV1且vV2,稱(chēng)為子空間的交；V1V2v1v2|v1V1,v2V2,稱(chēng)為子空間的和.命題4.9V1V2和V1V2都是V的子空間.證明:由命題4.7,1V2和V1V2關(guān)于加法與數(shù)只要要證明V可.事實(shí)上,V1V2,則,V1,V2.

15、因?yàn)閂1,V2均空間,則V1,V2,于是V1V2,V1V2關(guān)于加V1V2,kK,kvV1,kvV2,于是kvV1V2,V1V2關(guān)閉.數(shù)乘封閉.證畢.命題4.10設(shè)V1,V2,Vm是V的子空間,則V1V2V1V2Vm均為V的子空間.維數(shù)公式.定理4.1設(shè)V為有限維線性空間,V1,V2為子空間,則dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2).這個(gè)定理中的公式被稱(chēng)為維數(shù)公式.證明:設(shè)dimV1s,dimV2t,dim(V1V2)n,dim(V1V1V2的一組基1,2,r(若V1V2=0,則r0,基為空集),將擴(kuò)大為V1,V2的基1,2,r,1,2,sr,1,2,r,1,2,tr,只要要證

16、明1,2,r,1,2,sr,1,2,tr是V1V即可.第一,易見(jiàn)V1V2中的任一直量都1,2,r,1,2,sr,1,2,tr線性表出.事實(shí)上,12,此中1V1,2V2,而1k11k22krrkr11kr22kssr,2l11l22lrrlr11lr22lttr.ki,l于是12可被1,2,r,1,2,lr,1,2,tr只要再證明向量組1,2,r,1,2,lr,1,2,tr線性無(wú)設(shè)k11k22krra11a22asrsrb11b22bt于是k11k22krra11a22asrsrV1V2,記為則可被1,2,r線性表示,設(shè)h11h22hrr,代入(*),有h11h22hrrb11b22btrtr0

17、,因?yàn)?,2,r,1,2,tr是V2的一組基,因此線性沒(méi)關(guān)h1h2hrb1b2btr0,代回(*),又有k1k2kra1a2asr0,于是向量組1,2,r,1,2,sr,1,2,tr線性沒(méi)關(guān).證推論2.1設(shè)V1,V2,Vt都是有限為線性空間V的子空間,dim(V1V2Vt)dimV1dimV2dimVt.證明:對(duì)t作歸納.7子空間的直和一講課內(nèi)容:二教課目的:.7子空間的直和經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的直和與補(bǔ)空間的定三教課要點(diǎn):子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.四教課難點(diǎn):子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.五教課過(guò)程:m是獨(dú)一的,則稱(chēng)Vi為直和,記為i1mV1V2Vm或Vi.i1定理設(shè)V1,V2,Vm為

18、數(shù)域K上的線性空間V上的有限為子空述四條等價(jià):1)V1V2Vm是直和；零向量表示法獨(dú)一；3)i1?m0,i1,2,m；iV(VVV)4)dim(V1V2Vm)dimV1dimV2dimVm.證明:1)2)明顯.2)1)設(shè)12m12m,則(11)(22)(mm)0.由2)知,零向量的表示法獨(dú)一,于是ii,i1,2,m,即的表示法獨(dú)一.由直和的定義可知,V1V2Vm是直和.若是存在某個(gè)i,1im,使得V(V?2)3)Vi1i則存在向量0且Vi(V1?Vm),于是存在jVi1?im.由線性空間的定義,Vi(V1?Vm),Vi則1()m()0,與零向量的表示法獨(dú)一矛盾3)矛盾,于是2)成立.4)對(duì)m作

19、歸納.m=2時(shí),由維數(shù)公式獲取dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2)dimV1dim設(shè)m1(m3)已證,則關(guān)于m,dim(V1V2Vm)dimVmdim(V1V2Vm1)dim(Vm(V1V2dimVmdim(V1V2Vm1),而i,1im1,都有Vi(V1V垐iVm1)Vi(V1ViVm)0由歸納假設(shè),可以獲取dim(V1V2Vm)dimV1dimV24)3)i,1im,都有dim(V(V垐V)dim(Vi)dim(VVVm)dim(VVVi1im1i12于是Vi(V1?Vm)0,i1,2,m.證畢.Vi推論設(shè)V1,V2為V的有限維子空間,則下述四條等價(jià):V1V2是直和；零

20、向量的表示法獨(dú)一；V1V20；iv)dim(V1V2)dimV1dimV2.直和因子的基與直和的基命題設(shè)VV1V2Vm,則V1,V2,Vm的基的并集為.證明:設(shè)i1,i2,iri是Vi的一組基,則V中任一空間.命題有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補(bǔ)空間.證明:設(shè)V1為K上的n為線性空間V的非平凡子空間,取V1,2,r,將其擴(kuò)為V的一組基1,2,r,r1,rV2L(r1,r2,n),則有VV1V2,且dimV1dimV2ndim(V1V2),于是VV1V2,即V2是V1的補(bǔ)空間.證畢.8線性空間的同構(gòu)一講課內(nèi)容:二教課目的:間同構(gòu)的判斷.1線性空間的同構(gòu)經(jīng)過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間同構(gòu)的相關(guān)定義及三教課要點(diǎn):四教課難點(diǎn):五教課過(guò)程:線性空間同構(gòu)的判斷.線性空間同構(gòu)的判斷.線性映照的定義定義設(shè)U,V為數(shù)域K上的線性空間,:UV為映照,且兩個(gè)條件:i)()()(),(,U)；ii)(k)k(),(U,kK),例Mmn(K)是K上的線性空間,Msn(K)也是K上線性空間個(gè)K上的sm矩陣A,定義映照:Mmn(K)Msn(K),xAX.則是由Mmn(K)到Msn(K)的線性映照.例考慮區(qū)間(a,b)上