1、差分方程課件第1頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三第一節(jié) 差分方程基本知識1、差分方程： 差分方程反映的是關(guān)于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系，從而建立差分方程。 差分方程就是針對要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實(shí)際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律，進(jìn)一步再結(jié)合其他分析，得到原問題的解。第2頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分

2、，星期三引例1： Fibonacci （斐波那契）數(shù)列問題 13世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家Fibonacci在他的著作算盤書中記載著這樣一個有趣的問題： 一對剛出生的幼兔經(jīng)過一個月可長成成兔，成兔再經(jīng)過一個月后可以繁殖出一對幼兔. 若不計(jì)兔子的死亡數(shù)，問一年之后共有多少對兔子？月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 總數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 第3頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三第4頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三 將兔群總數(shù)記為 fn, n=0,1,2,，經(jīng)過觀

3、察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列fn滿足下列遞推關(guān)系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 這個數(shù)列稱為Fibonacci數(shù)列. Fibonacci數(shù)列是一個十分有趣的數(shù)列，在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用. Fibonacci數(shù)列的一些實(shí)例. 1. 蜜蜂的家譜 2. 鋼琴音階的排列 3. 樹的分枝 4. 楊輝三角形第5頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三引例2：日常的經(jīng)濟(jì)問題中的差分方程模型1）. 銀行存款與利率 假如你在銀行開設(shè)了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利率為7%. 用an表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數(shù)列就是你每年的

4、存款額： a0, a1, a2, a3, , an, 設(shè)r為年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款問題的數(shù)學(xué)模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 第6頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三2）. 家庭教育基金 從1994年開始，我國逐步實(shí)行了大學(xué)收費(fèi)制度. 為了保障子女將來的教育費(fèi)用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金. 若銀行的年利率為r，試寫出第n年后教育基金總額的表達(dá)式. 預(yù)計(jì)當(dāng)子女18歲入大學(xué)時所需的費(fèi)用為100000元，按年利率3%計(jì)算，小張夫婦每年應(yīng)向銀行存入多少元? 設(shè)n年后教育基金總

5、額為an，每年向銀行存入x元，依據(jù)復(fù)利率計(jì)算公式，得到家庭教育基金的數(shù)學(xué)模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,第7頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三3） . 抵押貸款 小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元. 他們已經(jīng)籌集10萬元，另外20萬元申請抵押貸款. 若貸款月利率為0.6%，還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？ 設(shè)貸款額為a0，每月還貸額為x，月利率為r，第n個月后的欠款額為an，則 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,第8頁，

6、共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三二. 差分的概念與性質(zhì)一般地，在連續(xù)變化的時間的范圍內(nèi)，變量 關(guān)于時間 的變化率是用 來刻畫的； 對離散型的變量 我們常用在規(guī)定時間區(qū)間上的差商 來刻畫變量 的變化率.如果取 ，則 可以近似表示變量 的變化率.由此我們給出差分的定義.第9頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三定義1 設(shè)函數(shù)，稱改變量為函數(shù)的差分，也稱為函數(shù)的一階差分，記為，即 或 一階差分的差分稱為二階差分，即類似地可定義三階差分，四階差分，等等.第10頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三一般地，函數(shù)的階差分的差分稱為階差分，記為，即 二

7、階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分.第11頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三例1 設(shè)，求，解 第12頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三例2 設(shè)求解 設(shè)，則.第13頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三差分滿足以下性質(zhì)：（2）（3）（4）（1）第14頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三例3 求解 由差分的運(yùn)算性質(zhì)，有.的差分.第15頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三1 差分方程的概念定義2 含有未知函數(shù)的差分的方程稱為差分方程. 或 差分方程中所含未知函數(shù)差分的最高階數(shù)稱為該差分方程的階差分方程

8、的一般形式：第16頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三定義3 滿足差分方程的函數(shù)稱為該差分方程的解.例如，對于差分方程，將代入方程有 故是該方程的解，易見對任意的常數(shù)都是差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱這個解是差分方程的通解.第17頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三定義4 若差分方程中所含未知函數(shù)及未知函數(shù)的各階差分均為一次，則稱該差分方程為線性差分方程. 其一般形式為 其特點(diǎn)是都是一次的.第18頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三 三 . 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)差分方程

9、的一般方程形式為 其中為非零常數(shù)，為已知函數(shù).如果則方程變?yōu)?稱為一階常系數(shù)線性齊次差分方程，相應(yīng)地，時方程一階常系數(shù)線性非齊次差分方程.第19頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三1一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解已知，將代入方程中，得 則為方程的解.容易驗(yàn)證，對任意常數(shù)都是方程的解，故方程的通解為 一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解可用迭代法求得.設(shè)第20頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三例4 求差分方程的通解.解 利用公式得，題設(shè)方程的通解為第21頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三2一階常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解為齊次方程的

10、通解，為非齊次方程的一個為非齊次方程的通解.，及將這兩式相加得，即為非齊次方程的通解.定理 設(shè)特解，則證明 由題設(shè)，有第22頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三（1）為非零常數(shù)，由，可按如下迭代法求得特解給定第23頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三齊次方程的通解為于是方程通解為 時，當(dāng)其中，為任意常數(shù)，且當(dāng)時，為任意常數(shù)第24頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三例5 求差分方程的通解.，故原方程的通解為 解 由于第25頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三（2）（為非零常數(shù)且）.時，設(shè)為非齊次方程的特解，其中為待定

11、系數(shù).將其代入方程,得解得，于是，所求特解為所以時，方程的通解為 當(dāng)?shù)?6頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三當(dāng)時，設(shè)為方程的特解，代入方程得所以，當(dāng)時，方程的通解為 第27頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三例7 求差分方程在初始條件時的特解.利用公式，所求通解為將初始條件代入上式，得故所求題設(shè)方程的特解為 解 這里第28頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三則被稱為n階齊次線性差分方程 。若所有的 ai(t)均為與t無關(guān)的常數(shù)，則稱其為 常系數(shù)差分方程，即n階常系數(shù)線性差分方程可分成（7.1） 的形式，其對應(yīng)的齊次方程為（7.2）

12、容易證明，若序列與均為方程（7.2）的解，則也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2為任意常數(shù)，這說明，齊次方程的解構(gòu)成一個 線性空間（解空間）。 此規(guī)律對于（7.1）也成立。第29頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三 方程（7.1）可用如下的代數(shù)方法求其通解：（步一）先求解對應(yīng)的特征方程 （7.3） （步二）根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方 程(7.2）的通解 情況1 若特征方程（7.3）有n個互不相同的實(shí)根, ，則齊次方程（7.2）的通解為 (C1,Cn為任意常數(shù))，情況2 若是特征方程（7.3）的k重根，通解中對應(yīng) 于的項(xiàng)為為任意常數(shù)，i=1,k。情況3 若特征方程（7

13、.3）有單重復(fù)根 通解中對應(yīng)它們的項(xiàng)為 為的模，為的幅角。 第30頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三情況4 若 為特征方程（7.3）的k重復(fù)根，則通 解對應(yīng)于它們的項(xiàng)為為任意常數(shù)，i=1,2k。 .若yt為方程(7.2)的通解,則非齊次方程 (7.1)的通解為（步三） 求非齊次方程 (7.1)的一個特解 求非齊次方程（7.1）的特解一般要用到 常數(shù)變易法，計(jì)算較繁。對特殊形式 的b(t)也可使用 待定系數(shù)法。 第31頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三第32頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三第33頁，共40頁，2022年，5月20

14、日，4點(diǎn)46分，星期三6.6 按年齡分組的人口模型 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律.假設(shè)與建模 種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2,n 時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個體數(shù)量為對象. 第i 年齡組1雌性個體在1時段內(nèi)的繁殖率為bi 第i 年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- di第34頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三假設(shè)與建模xi(k)時段k第i 年齡組的種群數(shù)量按年齡組的分布向量預(yù)測任意時段種群按年齡組的分布Leslie矩陣(L矩陣)(設(shè)至少1個bi0)第35頁，共

15、40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識 L矩陣存在正單特征根1， 若L矩陣存在bi, bi+10, 則 P的第1列是x*特征向量, c是由bi, si, x(0)決定的常數(shù) 且解釋L對角化第36頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群按年齡組的分布 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布, 與初始分布無關(guān). 各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減， 稱固有增長率與基本模型比較3）=1時 各年齡組種群數(shù)量不變第37頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三 1個個體在整個存活期 內(nèi)的繁殖數(shù)量為1穩(wěn)態(tài)分析3）=1時第38頁，共40頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)46分，星期三人口模型連續(xù)型人口模型的離散