[基礎題組練]1．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個數(shù)是()A．30 B．42C．36 D．35解析：選C．因為a＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計數(shù)原理知可以組成6×6＝36個虛數(shù)．2．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40 B．16C．13 D．10解析：選C．分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．3．已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是()A．9 B．14C．15 D．21解析：選B．因為P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P?Q，所以x∈{y，2}．所以當x＝2時，y＝3，4，5，6，7，8，9，共7種情況；當x＝y(tǒng)時，x＝3，4，5，6，7，8，9，共7種情況．故共有7＋7＝14種情況，即這樣的點的個數(shù)為14.4．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為()A．3 B．4C．6 D．8解析：選D．當公比為2時，等比數(shù)列可為1，2，4或2，4，8；當公比為3時，等比數(shù)列可為1，3，9；當公比為eq\f(3,2)時，等比數(shù)列可為4，6，9.同理公比為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)時，也有4個．故共有8個等比數(shù)列．5．(2020·蘭州模擬)將邊長為3的正方形ABCD的每條邊三等分，使之成為3×3表格．將其中6個格染成黑色，使得每行每列都有兩個黑格的染色方法的種數(shù)為()A．12 B．6C．36 D．18解析：選B．根據(jù)題意可按照列選擇染色的元素，第一列可有3種選擇方式，第一列方格標號為1，2，3.當?shù)谝涣羞x定時比如選定1，2，第二列有兩種選擇，染第一行和第三行，或者染第二行和第三行，當?shù)诙写_定時，第三列也就確定了．故共3×2＝6種染色方法．故選B．6．在如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．24種 B．48種C．72種 D．96種解析：選C．分兩種情況：(1)A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有4×3×2＝24(種)．(2)A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48(種)．綜上兩種情況，不同的涂色方法共有48＋24＝72(種)．7．某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復)，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3，5，6，8，9中選擇，其他號碼只想在1，3，6，9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有()A．180種 B．360種C．720種 D．960種解析：選D．按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．8．直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l與坐標軸圍成的三角形的面積不小于10，則這樣的直線的條數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．16解析：選B．l與坐標軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)ab≥10，即ab≥20.當a＝1時，不滿足；當a＝3時，b＝8，即1條．當a∈{5，7}時，b∈{4，6，8}，此時a的取法有2種，b的取法有3種，則直線l的條數(shù)為2×3＝6.故滿足條件的直線的條數(shù)為1＋6＝7.故選B．9．一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風景，則不重復(除交匯點O外)的不同游覽線路有()A．6種 B．8種C．12種 D．48種解析：選D．從P點處進入結點O以后，游覽每一個景點所走環(huán)形路線都有2個入口(或2個出口)，若先游覽完A景點，再進入另外兩個景點，最后從Q點處出有(4＋4)×2＝16種不同的方法；同理，若先游覽B景點，有16種不同的方法；若先游覽C景點，有16種不同的方法，因而所求的不同游覽線路有3×16＝48(種)．10．我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則首位為2的“六合數(shù)”共有()A．18個 B．15個C．12個 D．9個解析：選B．依題意，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4，0，0組成3個數(shù)分別為400，040，004；由3，1，0組成6個數(shù)分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成3個數(shù)分別為220，202，022；由2，1，1組成3個數(shù)分別為211，121，112.共計：3＋6＋3＋3＝15(個)．11．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．10解析：選B．當a＝0時，關于x的方程為2x＋b＝0，此時有序數(shù)對(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均滿足要求；當a≠0時，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時滿足要求的有序數(shù)對為(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)．綜上，滿足要求的有序數(shù)對共有13個，故選B．12．將1，2，3，…，9這9個數(shù)字填在如圖所示的空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當3，4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法有()34A．6種 B．12種C．18種 D．24種解析：選A．根據(jù)數(shù)字的大小關系可知，1，2，9的位置是固定的，如圖所示，則剩余5，6，7，8這4個數(shù)字，而8只能放在A或B處，若8放在B處，則可以從5，6，7這3個數(shù)字中選一個放在C處，剩余兩個位置固定，此時共有3種方法，同理，若8放在A處，也有3種方法，所以共有6種方法．12D34ACB913.從集合{1，2，3，4，…，10}中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有________個．解析：將和等于11的數(shù)放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個，有Ceq\o\al(1,2)＝2種，共有2×2×2×2×2＝32個子集．答案：3214．從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學生委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．解析：第一步，先選出文娛委員，因為甲、乙不能擔任，所以從剩下的3人中選1人擔任文娛委員，有3種選法．第二步，從剩下的4人中選學習委員和體育委員，又可分兩步進行：先選學習委員有4種選法，再選體育委員有3種選法．由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的選法共有3×4×3＝36(種)．答案：3615．(一題多解)如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種．解析：法一：首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72種涂法．法二：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24種涂法；二是用3種顏色，這時A，B，C的涂法有4×3×2＝24種，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(種)．答案：7216．在某一運動會百米決賽上，8名男運動員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1，2，3，4，5，6，7，8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種．解析：分兩步安排這8名運動員．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四條跑道可安排．故安排方式有4×3×2＝24(種)．第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一條奇數(shù)號跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(種)．故安排這8人的方式共有24×120＝2880(種)．答案：2880[綜合題組練]1．用六種不同的顏色給如圖所示的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有()A．4320種 B．2880種C．1440種 D．720種解析：選A．分步進行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法，3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4區(qū)域有3種不同的涂色方法，6區(qū)域有4種不同的涂色方法，5區(qū)域有3種不同的涂色方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4320種不同的涂色方法，故選A．2．在某校舉行的羽毛球兩人決賽中，采用5局3勝制的比賽規(guī)則，先贏3局者獲勝，直到?jīng)Q出勝負為止．若甲、乙兩名同學參加比賽，則所有可能出現(xiàn)的情形(個人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A．6種 B．12種C．18種 D．20種解析：選D．分三種情況：恰好打3局(一人贏3局)，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2×3＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2×eq\f(4×3,2)＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20種．故選D．3．已知△ABC三邊a，b，c的長都是整數(shù)，且a≤b≤c，如果b＝25，則符合條件的三角形共有________個．解析：根據(jù)三邊構成三角形的條件可知，c＜25＋a.第一類：當a＝1，b＝25時，c可取25，共1個值；第二類，當a＝2，b＝25時，c可取25，26，共2個值；…當a＝25，b＝25時，c可取25，26，…，49，共25個值；所以三角形的個數(shù)為1＋2＋…＋25＝325.答案：3254．若m，n均為非負整數(shù)，在做m＋n的加法時各位均不進位(例如：134＋3802＝3936)，則稱(m，n)為“簡單的”有序對，而m＋n稱為有序對(m，n)的值，那么值為1942的“簡單的”有序對的個數(shù)是________．解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2種組合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10種組合方式；第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5種組合方式；第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3種組合方式．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，值為1942的“簡單的”有序對的個數(shù)為2×10×5×3＝300.答案：3005．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，則：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個不同的二次函數(shù)？(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù)？解：(1)y＝ax2＋bx＋c表示二次函數(shù)時，a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180個不同的二次函數(shù)．(2)當y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上時，a的取值有2種情況，b，c的取值均有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72個圖象開口向上的二次函數(shù)．6．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．解：法一：按所用顏色種數(shù)分類．第一類：5種顏色全用，共有Aeq\o\al(5,5)種不同的方法；第二類：只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×Aeq\o\al(4,5)種不同的方法；第三類：只用3種顏色，則A與C，B與D必定同色，共有Aeq\o\al(3,5)種不同的方法．由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法種數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＋2×Aeq\o\al