PAGE中考總復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)—知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1.理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2.命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識(shí)解決問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對(duì)的邊BC記為a，叫做∠A的對(duì)邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對(duì)的邊AC記為b，叫做∠B的對(duì)邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．

要點(diǎn)詮釋：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫成，，

，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號(hào)“∠”，但對(duì)三個(gè)大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時(shí)，，，tanA＞0．考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：要點(diǎn)詮釋：

(1)通過(guò)該表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：

、、、、的值依次為0、、、、1，而、、、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：當(dāng)角度在0°＜∠A＜90°之間變化時(shí)，

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．

考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

要點(diǎn)詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．

考點(diǎn)四、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

要點(diǎn)詮釋：

(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90°)，是已知的值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，要點(diǎn)詮釋：

1．在遇到解直角三角形的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.

2．若題中無(wú)特殊說(shuō)明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.

考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.

解這類問(wèn)題的一般過(guò)程是：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.

拓展：

在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

要點(diǎn)詮釋：

1．解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長(zhǎng)或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問(wèn)題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來(lái)解.例如：

3．解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語(yǔ)的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.考點(diǎn)七、解直角三角形相關(guān)的知識(shí)如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三邊之間的關(guān)系：；(2)兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；(3)邊與角之間的關(guān)系：，，，．(4)如圖，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)CD＝h，AD＝q，DB＝p，則由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC面積，得ab＝ch．(5)如圖所示，若CD是直角三角形ABC中斜邊上的中線，則①CD＝AD＝BD＝AB；②點(diǎn)D是Rt△ABC的外心，外接圓半徑R＝AB．(6)如圖所示，若r是直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑，則．直角三角形的面積：①如圖所示，．（h為斜邊上的高）②如圖所示，．【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)ID：408468播放點(diǎn)：例2】 1．(1)如圖所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，則BC的長(zhǎng)為()．A．10·tan50°B．10·cos50°C．10·sin50°D．(2)如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求cosA+tanB的值．(3)如圖所示的半圓中，AD是直徑，且AD＝3，AC＝2，則sinB的值等于________．【思路點(diǎn)撥】(1)在直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可以用某個(gè)銳角的三角函數(shù)值和一條邊表示其他邊．(2)直角三角形中，某個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)值即為該三角形中兩邊之比．知道某個(gè)銳角的三角函數(shù)值就知道了該角的大小，可以用比例系數(shù)k表示各邊．(3)要求sinB的值，可以將∠B轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中．【答案與解析】(1)選B．(2)在△ABC，∠C＝90°，．設(shè)BC＝3k，則AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴．(3)由已知，AD是半圓的直徑，連接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝．【總結(jié)升華】已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求同角或余角的其他三角函數(shù)值時(shí)，常用的方法是：利用定義，根據(jù)三角函數(shù)值，用比例系數(shù)表示三角形的邊長(zhǎng)；(2)題求cosA時(shí)，還可以直接利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式sin2A+cos2A＝1，讀者可自己嘗試完成．舉一反三：【變式】（2015?樂山）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為（） A． B． C． D． 【答案】D【解析】過(guò)B點(diǎn)作BD⊥AC，如圖，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故選：D．類型二、特殊角的三角函數(shù)值【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)例1】2．解答下列各題：(1)化簡(jiǎn)求值：；(2)在△ABC中，∠C＝90°，化簡(jiǎn)．【思路點(diǎn)撥】第(2)題可以先利用關(guān)系式sin2A+cos2A＝1對(duì)根號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行變形，配成完全平方的形式．【答案與解析】解(1)(2)∵，∴．【總結(jié)升華】由第(2)題可得到今后常用的一個(gè)關(guān)系式：1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2．例如，若設(shè)sinα+cosα＝t，則．舉一反三：【高清課堂：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)ID：408468播放點(diǎn)：例1】【變式】若，，(2α，β為銳角)，求的值.【答案】∵，且2α為銳角，∴2α＝60°，α＝30°．∴，∴β＝45°．∴．3．（2015春?涼州區(qū)校級(jí)月考）如圖，在銳角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：（1）tanC的值；（2）sinA的值．【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用面積公式求出高AD的長(zhǎng)，從而求出BD、CD、AC的長(zhǎng)，此時(shí)再求tanC的值就不那么難了．（2）同理作AC邊上的高，利用面積公式求出高的長(zhǎng)，從而求出sinA的值．【答案與解析】解：（1）過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵S△ABC=BC?AD=84，∴×14×AD=84，∴AD=12．又∵AB=14，∴BD==9．∴CD=14﹣9=5．在Rt△ADC中，AC==13，∴tanC==；（2）過(guò)B作BE⊥AC于點(diǎn)E．∵S△ABC=AC?EB=84，∴BE=，∴sin∠BAC===．【總結(jié)升華】考查了銳角三角函數(shù)的定義，注意輔助線的添法和面積公式，以及解直角三角形公式的靈活應(yīng)用．舉一反三：【變式】如圖，AB是江北岸濱江路一段，長(zhǎng)為3千米，C為南岸一渡口，為了解決兩岸交通困難，擬在渡口C處架橋.經(jīng)測(cè)量得A在C北偏西30°方向，B在C的東北方向，從C處連接兩岸的最短的橋長(zhǎng)為多少千米？(精確到0.1千米)

【答案】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.

CD就是連接兩岸最短的橋.設(shè)CD=x（千米）.

在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.

在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x.

因?yàn)锳D+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9(千米).

答：從C處連接兩岸的最短的橋長(zhǎng)約為1.9千米.類型三、解直角三角形及應(yīng)用4．如圖所示，D是AB上一點(diǎn)，且CD⊥AC于C，，，AC+CD＝18，求tanA的值和AB的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】解題的基本思路是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化的目標(biāo)主要有兩個(gè)，一是構(gòu)造可解的直角三角形；二是利用已知條件通過(guò)設(shè)參數(shù)列方程．【答案與解析】解：作DE∥AC交CB于E，則∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，設(shè)CD＝4k(k＞0)，則CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB邊上的高相同，∴AD:DB＝．即．∴．∵AC+CD＝18，∴5k+4k＝18，解得k＝2．∴．∴AB＝AD+DB＝AD+AD＝．【總結(jié)升華】在解直角三角形時(shí)，常用的等量關(guān)系是：勾股定理、三角函數(shù)關(guān)系式、相等的線段、面積關(guān)系等．5．如圖所示，山腳下有一棵樹AB，小華從點(diǎn)B沿山坡向上走50m到達(dá)點(diǎn)D，用高為1.5m的測(cè)角儀CD測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?0°，已知山坡的坡角為15°，求樹AB的高(精確到0.1m)．(參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．【思路點(diǎn)撥】本題是求四邊形一邊長(zhǎng)的問(wèn)題，可以通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)解．【答案與解析】解：如圖所示，延長(zhǎng)CD交PB于F，則DF⊥PB．∴DF＝DB·sinl5°≈50×0.26＝13.0，CE＝BF＝DB·cos15°≈50×0.97＝48.5．∴AE＝CE·tan10°≈48.5×0.18＝8.73．∴AB＝AE+CD+DF＝8.734+1.54+13.0≈23.2(m)．答：樹高約為23.2m．【總結(jié)升華】一些特殊的四邊形，可以通過(guò)切割補(bǔ)圖形的方法將其轉(zhuǎn)化為若干個(gè)直角三角形來(lái)解．舉一反三：【變式】如圖所示，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，CD＝3．(1)動(dòng)點(diǎn)P在AB上由A向B移動(dòng)，設(shè)AP＝t，△PCD的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；(2)在(1)的條件下，設(shè)PC＝z，求z與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】解：(1)作PE⊥BC于E，則BP＝AB-AP＝2-t(0≤t＜2)．∵∠B＝60°，∴，即．(2)由(1)不難得出，，．∴．∵．∴．6．如圖(1)所示，一架長(zhǎng)4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子與地面的傾斜角α為60°．(1)求AO與BO的長(zhǎng)．(2)若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行．①如圖(2)所示，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD＝2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑了多少米；②如圖(3)所示，當(dāng)A點(diǎn)下滑到A′點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到B′點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)，若∠POP′＝15°，試求AA′的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）在直角△AOB中，已知斜邊AB，和銳角∠ABO，即可根據(jù)正弦和余弦的定義求得OA，OB的長(zhǎng)；

（2）△APO和△P′A′O都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等，即可求得∠PAO的度數(shù)，和∠P′A′O的度數(shù)，在直角△ABO和△A′B′O中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得OA與OA′，即可求得AA′的長(zhǎng)．【答案與解析】解：(1)Rt△AOB中，∠O＝90°，α＝60°，∴∠OAB＝30°．又AB＝4米，∴OB＝AB＝2米．OA＝AB·sin60°＝4×＝(米)．(2)①設(shè)AC＝2x，BD＝3x，在Rt△COD中，OC＝，OD＝2+3x，CD＝4，根據(jù)勾股定理：OC2+OD2＝CD2，∴．∴．∵x≠0，∴．∴．．即梯子頂端A沿NO下滑了米．②∵點(diǎn)P和點(diǎn)P′分別是Rt△AOB的斜邊AB與Rt△A′OB′的斜邊A′B′的中點(diǎn)，∴PA＝PO，P′A′＝P′O．∴∠PAO＝∠AOP，∠P′A′O＝∠A′OP′．∴∠P′A′O-∠PAO＝∠POP′＝15°．∵∠PAO＝30°，∴∠P′A′O＝45°．∴A′O＝A′B′·cos45°＝．∴AA′＝OA-A′O＝米．【總結(jié)升華】解答本題的關(guān)鍵是理解題意．此題的妙處在于恰到好處地利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而求出∠P′A′O=45°，讓我們感受到了數(shù)學(xué)題真的很有意思，做數(shù)學(xué)題是一種享受．中考總復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,則tanA等于()A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA=．則下列關(guān)系式中不成立的是（） A．tanA?cotA=1 B．sinA=tanA?cosAC．cosA=cotA?sinAD．tan2A+cot2A=1第2題第3題3．如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于（）A．B．C．D．4．如圖所示，直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6、8，現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則tan∠CBE的值是()A．B．C．D．5．如圖所示，已知∠α的終邊OP⊥AB，直線AB的方程為y＝－x＋，則cosα等于()A．B．C．D．6．（2015?南充）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的點(diǎn)A處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長(zhǎng)是（） A．2海里 B． 2sin55°海里 C． 2cos55°海里 D． 2tan55°海里二、填空題7．設(shè)θ為銳角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的兩根之差為．則θ＝．8．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，若AB=4，BC=5，則tan∠AFE的值為.9．已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則sinB=.第8題第9題第11題10．當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，求的值為．11．如圖，點(diǎn)E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一條弦．則tan∠OBE=．12．（2015?牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，則BC邊長(zhǎng)為.三、解答題13．（2015?泰州）如圖，某倉(cāng)儲(chǔ)中心有一斜坡AB，其坡度為i=1：2，頂部A處的高AC為4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平寬度BC；（2）矩形DEFG為長(zhǎng)方體貨柜的側(cè)面圖，其中DE=2.5m，EF=2m，將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送，當(dāng)BF=3.5m時(shí)，求點(diǎn)D離地面的高．（≈2.236，結(jié)果精確到0.1m）14.為緩解“停車難”的問(wèn)題，某單位擬建造地下停車庫(kù)，建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫(kù)的設(shè)計(jì)示意圖，如圖所示．按規(guī)定，地下停車庫(kù)坡道1:3上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)?，為?biāo)明限高，請(qǐng)你根據(jù)該圖計(jì)算CE(精確到0.1m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如圖所示，某中學(xué)九年級(jí)一班數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組利用周末開展課外實(shí)踐活動(dòng)，他們要在某公園人工湖旁的小山AB上，測(cè)量湖中兩個(gè)小島C、D間的距離．從山頂A處測(cè)得湖中小島C的俯角為60°，測(cè)得湖中小島D的俯角為45°．已知小山AB的高為180米，求小島C、D間的距離．(計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均不取近似值)16.在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．一等腰直角三角尺按如圖①所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．(1)在圖①中請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；(2)當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖②所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E．此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系；然后證明你的猜想；(3)當(dāng)三角尺在②的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖③所示的位置(點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合)時(shí)，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用說(shuō)明理由)【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；【解析】在Rt△ABC中，設(shè)AC＝3k，AB＝5k，則BC＝4k，由定義可知tanA＝．故選D.2.【答案】D；【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得A、tanA?cotA==1，關(guān)系式成立；B、sinA=，tanA?cosA=，關(guān)系式成立；C、cosA=，cotA?sinA=，關(guān)系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，關(guān)系式不成立．故選D．3.【答案】B；【解析】連接BD．

∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)．

∴BD=2EF=4

∵BC=5，CD=3

∴△BCD是直角三角形．

∴tanC=

故選B．4.【答案】C；【解析】設(shè)CE＝x，則AE＝8-x．由折疊性質(zhì)知AE＝BE＝8-x．在Rt△CBE中，由勾股定理得BE2＝CE2+BC2，即(8-x)2＝x2+62，解得，∴tan∠CBE．5.【答案】A；【解析】∵y＝－x＋，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故選A.6.【答案】C；【解析】如圖，由題意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=AP?cos∠A=2cos55°海里．故選C．二、填空題7．【答案】30°；【解析】x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，則(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．8．【答案】；【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由題意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF==．9．【答案】；【解析】連接AO并延長(zhǎng)交圓于E，連CE．∴∠ACE=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E=；又∵∠B=∠E（同弧所對(duì)的的圓周角相等），∴sinB=．10．【答案】1；【解析】由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α∵sin