解答題壓軸必刷45題①一．列代數(shù)式（共1小題）1．（2021秋?高邑縣期末）某種杯子的高度是15cm，兩個(gè)以及三個(gè)這樣的杯子疊放時(shí)高度如圖，（1）n個(gè)這樣的杯子疊放在一起高度是（用含n的式子表示）．（2）n個(gè)這樣的杯子疊放在一起高度可以是35cm嗎？為什么？二．整式的加減—化簡(jiǎn)求值（共1小題）2．（2021秋?雙流區(qū)期末）已知A＝2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y（1）當(dāng)x＝2，y＝﹣時(shí)，求B﹣2A的值．（2）若|x﹣2a|+（y﹣3）2＝0，且B﹣2A＝a，求a的值．三．完全平方公式的幾何背景（共1小題）3．（2022春?南海區(qū)校級(jí)月考）學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)卡片，如圖1．（1）利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，計(jì)算：（a+2b）（a+b）＝；（2）選取1張A型卡片，4張C型卡片，則應(yīng)取張B型卡片才能用他們拼成一個(gè)新的正方形，此新的正方形的邊長(zhǎng)是（用含a，b的代數(shù)式表示）；（3）選取4張C型卡片在紙上按圖2的方式拼圖，并剪出中間正方形作為第四種D型卡片，由此可檢驗(yàn)的等量關(guān)系為；（4）選取1張D型卡片，3張C型卡片按圖3的方式不重復(fù)的疊放長(zhǎng)方形MNPQ框架內(nèi)，已知NP的長(zhǎng)度固定不變，MN的長(zhǎng)度可以變化，且MN≠0．圖中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積分別表示為S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，則a與b有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．四．整式的混合運(yùn)算（共1小題）4．（2022春?武漢期中）（1）如圖1，正方形ABCD和CEFG的邊長(zhǎng)分別為m、n，用含m、n的代數(shù)式表示△AEG的面積．（2）如圖2，正方形ABCD和CEFG的邊長(zhǎng)分別為m、n，用含m、n的代數(shù)式表示△DBF的面積．（3）如圖3，正方形ABCD、正方形CEFG和正方形MNHF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段AN上，已知正方形CEFG的邊長(zhǎng)為8，則△AEN的面積為（請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需要過程）五．因式分解的應(yīng)用（共2小題）5．（2022春?綦江區(qū)校級(jí)月考）如果一個(gè)四位自然數(shù)的百位數(shù)字大于或等于十位數(shù)字，且千位數(shù)字等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和，個(gè)位數(shù)字等于百位與十位數(shù)字的差，則我們稱這個(gè)四位數(shù)為親密數(shù)，例如：自然數(shù)4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是親密數(shù)；（1）最小的親密數(shù)是，最大的親密數(shù)是；（2）若把一個(gè)親密數(shù)的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，得到的新數(shù)叫做這個(gè)親密數(shù)的友誼數(shù)，請(qǐng)證明任意一個(gè)親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；（3）若一個(gè)親密數(shù)的后三位數(shù)字所表示的數(shù)與千位數(shù)字所表示的數(shù)的7倍之差能被13整除，請(qǐng)求出這個(gè)親密數(shù)．6．（2022春?廣陵區(qū)期中）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）a2+b2﹣2a+1＝0，則a＝．b＝．（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．（3）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周長(zhǎng)．六．分式的加減法（共1小題）7．（2022春?濟(jì)南期中）先閱讀下列解法，再解答后面的問題．已知＝+，求A、B的值．解法一：將等號(hào)右邊通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），∴．解得．解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得2A+B＝4；取x＝3，有+B＝，整理得A+2B＝5．解，得：．（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．（2）計(jì)算：[]（x+11），并求x取何整數(shù)時(shí)，這個(gè)式子的值為正整數(shù)．七．分式的化簡(jiǎn)求值（共1小題）8．（2022?市中區(qū)校級(jí)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：÷?，其中a＝﹣2．八．分母有理化（共1小題）9．（2021春?永嘉縣校級(jí)期末）【知識(shí)鏈接】（1）有理化因式：兩個(gè)含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號(hào)化去．指的是如果代數(shù)式中分母有根號(hào)，那么通常將分子、分母同乘分母的有理化因式，達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的．如：＝＝﹣1，＝＝﹣．【知識(shí)理解】（1）填空：2的有理化因式是；（2）直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果：①＝；②＝．【啟發(fā)運(yùn)用】（3）計(jì)算：+++…+．九．二次根式的混合運(yùn)算（共1小題）10．（2022春?內(nèi)黃縣校級(jí)月考）我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計(jì)算下面的題：例：求3﹣2的算術(shù)平方根．解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．你看明白了嗎？請(qǐng)根據(jù)上面的方法化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）．一十．一元一次方程的應(yīng)用（共1小題）11．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，O是數(shù)軸的原點(diǎn)，A、B是數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣1，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是8，C是線段AB上一點(diǎn)，滿足．（1）求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)C點(diǎn)后停留2秒鐘，然后繼續(xù)按原速沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后停止．在點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸勻速向左運(yùn)動(dòng)，一直運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)后停止．設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)MN＝4時(shí)，求t的值；②在點(diǎn)M，N出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M相遇后，點(diǎn)P立即掉頭按原速沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N相遇后，點(diǎn)P又立即掉頭按原速沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)后停止．當(dāng)PM＝2PN時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．一十一．根的判別式（共1小題）12．（2006?臨汾）k取什么值時(shí)，方程組：有一個(gè)實(shí)數(shù)解并求出這時(shí)方程組的解．一十二．一元二次方程的應(yīng)用（共2小題）13．（2022?常州一模）某區(qū)各街道居民積極響應(yīng)“創(chuàng)文明社區(qū)”活動(dòng)，據(jù)了解，某街道居民人口共有7.5萬(wàn)人，街道劃分為A，B兩個(gè)社區(qū)，B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍．（1）求A社區(qū)居民人口至少有多少萬(wàn)人？（2）街道工作人員調(diào)查A，B兩個(gè)社區(qū)居民對(duì)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知曉情況發(fā)現(xiàn)：A社區(qū)有1.2萬(wàn)人知曉，B社區(qū)有1萬(wàn)人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個(gè)月的時(shí)間加強(qiáng)宣傳，A社區(qū)的知曉人數(shù)平均月增長(zhǎng)率為m%，B社區(qū)的知曉人數(shù)第一個(gè)月增長(zhǎng)了m%，第二個(gè)月增長(zhǎng)了2m%，兩個(gè)月后，街道居民的知曉率達(dá)到76%，求m的值．14．（2016?濉溪縣三模）如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長(zhǎng)，易知，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問題：（1）寫出一個(gè)“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一個(gè)根，且四邊形ACDE的周長(zhǎng)是6，求△ABC面積．一十三．分式方程的應(yīng)用（共1小題）15．（2014?內(nèi)江）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價(jià)格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬(wàn)元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬(wàn)元，今年銷售額只有90萬(wàn)元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬(wàn)元，B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬(wàn)元，公司預(yù)計(jì)用不多于105萬(wàn)元且不少于99萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩款汽車共15輛，有幾種進(jìn)貨方案？（3）如果B款汽車每輛售價(jià)為8萬(wàn)元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬(wàn)元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時(shí)，哪種方案對(duì)公司更有利？【參考答案】一．列代數(shù)式（共1小題）1．（2021秋?高邑縣期末）某種杯子的高度是15cm，兩個(gè)以及三個(gè)這樣的杯子疊放時(shí)高度如圖，（1）n個(gè)這樣的杯子疊放在一起高度是3n+12（用含n的式子表示）．（2）n個(gè)這樣的杯子疊放在一起高度可以是35cm嗎？為什么？【解析】解：（1）觀察可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)杯子高度為15cm，二個(gè)杯子高度為15+3＝18cm，三個(gè)杯子高度為15+2×3＝21cm，…，∴n個(gè)這樣的杯子疊放時(shí)的高度＝3n+12．故答案是：3n+12；（2）設(shè)n個(gè)這樣的杯子疊放在一起高度可以是35cm，則3n+12＝35，解得n＝，這不是整數(shù)，所以不可以．二．整式的加減—化簡(jiǎn)求值（共1小題）2．（2021秋?雙流區(qū)期末）已知A＝2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y（1）當(dāng)x＝2，y＝﹣時(shí)，求B﹣2A的值．（2）若|x﹣2a|+（y﹣3）2＝0，且B﹣2A＝a，求a的值．【解析】解：（1）∵A＝2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y，∴B﹣2A＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣2（2x2﹣3xy+y2+2x+2y）＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣4x2+6xy﹣2y2﹣4x﹣4y＝﹣7x﹣5y當(dāng)x＝2，y＝﹣時(shí)，B﹣2A＝﹣7×2﹣5×（﹣）＝﹣14+1＝﹣13（2）∵|x﹣2a|+（y﹣3）2＝0，∴x﹣2a＝0，y﹣3＝0，∴x＝2a，y＝3，∵B﹣2A＝a，∴﹣7x﹣5y＝﹣7×2a﹣5×3＝﹣14a﹣15＝a解得a＝﹣1．三．完全平方公式的幾何背景（共1小題）3．（2022春?南海區(qū)校級(jí)月考）學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)卡片，如圖1．（1）利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，計(jì)算：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；（2）選取1張A型卡片，4張C型卡片，則應(yīng)取4張B型卡片才能用他們拼成一個(gè)新的正方形，此新的正方形的邊長(zhǎng)是a+2b（用含a，b的代數(shù)式表示）；（3）選取4張C型卡片在紙上按圖2的方式拼圖，并剪出中間正方形作為第四種D型卡片，由此可檢驗(yàn)的等量關(guān)系為（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（4）選取1張D型卡片，3張C型卡片按圖3的方式不重復(fù)的疊放長(zhǎng)方形MNPQ框架內(nèi)，已知NP的長(zhǎng)度固定不變，MN的長(zhǎng)度可以變化，且MN≠0．圖中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積分別表示為S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，則a與b有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【解析】解：（1）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；故答案為：a2+3ab+2b2；（2）根據(jù)題意可知：a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，∴應(yīng)取4張B型卡片才能用他們拼成一個(gè)新的正方形，∴此新的正方形的邊長(zhǎng)是a+2b，故答案為：4，a+2b；（3）根據(jù)題意可知：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，故答案為：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（4）設(shè)MN＝x，根據(jù)題意，得S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，∵S1﹣S2＝3b2，∴ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2﹣（3bx﹣3ab）＝3b2，∴（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，∴a﹣4b＝0，﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，∴a＝4b，a2﹣5ab+4b2＝0，∴（a﹣b）（a﹣4b）＝0，∴a＝4b或a＝b（舍去），∴a＝4b．四．整式的混合運(yùn)算（共1小題）4．（2022春?武漢期中）（1）如圖1，正方形ABCD和CEFG的邊長(zhǎng)分別為m、n，用含m、n的代數(shù)式表示△AEG的面積．（2）如圖2，正方形ABCD和CEFG的邊長(zhǎng)分別為m、n，用含m、n的代數(shù)式表示△DBF的面積．（3）如圖3，正方形ABCD、正方形CEFG和正方形MNHF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段AN上，已知正方形CEFG的邊長(zhǎng)為8，則△AEN的面積為64（請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需要過程）【解析】解：（1）S△AEG＝S梯形ABCG+S△GCE﹣S△ABE＝（m+n）m+n2﹣m（m+n）＝n2；（2）S△DBF＝S梯形DCEF+S△BCD﹣S△BEF＝（m+n）n+m2﹣n（m+n）＝m2；（3）連接GE，如圖3，由（1）可得△AEG的面積＝×64＝32，由（2）可得：三角形GEN的面積為×64＝32，所以，△AEN的面積＝32+32＝64，故答案為：64．五．因式分解的應(yīng)用（共2小題）5．（2022春?綦江區(qū)校級(jí)月考）如果一個(gè)四位自然數(shù)的百位數(shù)字大于或等于十位數(shù)字，且千位數(shù)字等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和，個(gè)位數(shù)字等于百位與十位數(shù)字的差，則我們稱這個(gè)四位數(shù)為親密數(shù)，例如：自然數(shù)4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是親密數(shù)；（1）最小的親密數(shù)是1101，最大的親密數(shù)是9909；（2）若把一個(gè)親密數(shù)的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，得到的新數(shù)叫做這個(gè)親密數(shù)的友誼數(shù)，請(qǐng)證明任意一個(gè)親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；（3）若一個(gè)親密數(shù)的后三位數(shù)字所表示的數(shù)與千位數(shù)字所表示的數(shù)的7倍之差能被13整除，請(qǐng)求出這個(gè)親密數(shù)．【解析】解：設(shè)親密數(shù)為，且b≥c，a＝b+c，d＝b﹣c，a、b、c、d都是自然數(shù)，（1）當(dāng)a為最小時(shí)，則a＝1，∴b+c＝a＝1，∵b≥c，∴b＝1，c＝0，∴d＝b﹣c＝1﹣0＝1，∴最小的親密數(shù)是1101，當(dāng)a最大時(shí)，即a＝9，∴b+c＝a＝9，∵b≥c，當(dāng)最大時(shí)，即b最大為9，∴c＝0，∴d＝b﹣c＝9﹣0＝9，∴最大的親密數(shù)是9909，故答案為：1101，9909；（2）證明：親密數(shù)：＝1000a+100b+10c+d①，友誼數(shù)：＝1000d+100b+10c+a②，∵a＝b+c，d＝b﹣c，∴a﹣d＝（b+c）﹣（b﹣c）＝2c＞0，∴a＞d，a＝2c+d，①﹣②得：999a﹣999d＝999（a﹣d）＝999（2c+d﹣d）＝1998c，∵原親密數(shù)的十位數(shù)字為c，∴任意一個(gè)親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；（3）＝100b+10c+d，∵a＝b+c，d＝b﹣c，∴﹣7a＝100b+10c+d﹣7a＝100b+10c+b﹣c﹣7（b+c）＝94b+2c，由題意得：＝7b+為整數(shù)，即3b+2c為13的倍數(shù)，∵0≤b≤9，0≤c≤9，b、c為整數(shù)，且1≤b+c≤9，∴2≤3b+2c≤27，∴3b+2c＝13或26，①當(dāng)3b+2c＝13時(shí)（b≥c），得，∴親密數(shù)為5321；②若3b+2c＝26（b≥c），則或（舍），∴親密數(shù)為9817，綜上所述，親密數(shù)為5321或9817．6．（2022春?廣陵區(qū)期中）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）a2+b2﹣2a+1＝0，則a＝1．b＝0．（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．（3）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周長(zhǎng)．【解析】解：（1）∵a2+b2﹣2a+1＝0，∴a2﹣2a+1+b2＝0，∴（a﹣1）2+b2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，解得a＝1，b＝0；（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9＝0即：（x﹣y）2+（y+3）2＝0則：x﹣y＝0，y+3＝0，解得：x＝y(tǒng)＝﹣3，∴xy＝（﹣3）﹣3＝﹣；（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，則a﹣1＝0，b﹣3＝0，解得，a＝1，b＝3，由三角形三邊關(guān)系可知，三角形三邊分別為1、3、3，∴△ABC的周長(zhǎng)為1+3+3＝7；六．分式的加減法（共1小題）7．（2022春?濟(jì)南期中）先閱讀下列解法，再解答后面的問題．已知＝+，求A、B的值．解法一：將等號(hào)右邊通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），∴．解得．解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得2A+B＝4；取x＝3，有+B＝，整理得A+2B＝5．解，得：．（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．（2）計(jì)算：[]（x+11），并求x取何整數(shù)時(shí)，這個(gè)式子的值為正整數(shù)．【解析】解：（1）等號(hào)右邊通分、再去分母，得：11x＝A（4﹣3x）+B（x+6），即11x＝（﹣3A+B）x+（4A+6B），∴，解得：；（2）原式＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）×（x+11）＝×（﹣）×（x+11）＝××（x+11）＝，∵式子的值為正整數(shù)，∴x﹣1＝1、2、3、6，則x＝2、3、4、7．七．分式的化簡(jiǎn)求值（共1小題）8．（2022?市中區(qū)校級(jí)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：÷?，其中a＝﹣2．【解析】解：原式＝××＝，當(dāng)a＝﹣2時(shí)，原式＝．八．分母有理化（共1小題）9．（2021春?永嘉縣校級(jí)期末）【知識(shí)鏈接】（1）有理化因式：兩個(gè)含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號(hào)化去．指的是如果代數(shù)式中分母有根號(hào)，那么通常將分子、分母同乘分母的有理化因式，達(dá)到化去分母中根號(hào)的目的．如：＝＝﹣1，＝＝﹣．【知識(shí)理解】（1）填空：2的有理化因式是；（2）直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果：①＝﹣；②＝3﹣．【啟發(fā)運(yùn)用】（3）計(jì)算：+++…+．【解析】解：（1）∵2×＝2x，∴2的有理化因式是．故答案為：．（2）①＝＝﹣；②＝＝3﹣．故答案為：①﹣；②3﹣．（3）原式＝+++…+，＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，＝﹣1．九．二次根式的混合運(yùn)算（共1小題）10．（2022春?內(nèi)黃縣校級(jí)月考）我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計(jì)算下面的題：例：求3﹣2的算術(shù)平方根．解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．你看明白了嗎？請(qǐng)根據(jù)上面的方法化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）．【解析】解：（1）＝＝＝＝+1；（2）＝＝＝＝＝＝4+；（3）原式＝++++，＝++++，＝++++，＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，＝﹣1．一十．一元一次方程的應(yīng)用（共1小題）11．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，O是數(shù)軸的原點(diǎn)，A、B是數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣1，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是8，C是線段AB上一點(diǎn)，滿足．（1）求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)C點(diǎn)后停留2秒鐘，然后繼續(xù)按原速沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后停止．在點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸勻速向左運(yùn)動(dòng)，一直運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)后停止．設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)MN＝4時(shí)，求t的值；②在點(diǎn)M，N出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M相遇后，點(diǎn)P立即掉頭按原速沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N相遇后，點(diǎn)P又立即掉頭按原速沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)后停止．當(dāng)PM＝2PN時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．【解析】解：（1）∵A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣1，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是8，∴AB＝9，∵＝，∴AC＝5，BC＝4，∴C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是8﹣BC＝8﹣4＝4，答：C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是4；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，MN＝4當(dāng)M、N未相遇，則M在AC上運(yùn)動(dòng)，M表示的數(shù)是﹣1+2t，N在BC上運(yùn)動(dòng)，N表示的數(shù)是8﹣t，∴8﹣t﹣（﹣1+2t）＝4，解得t＝，當(dāng)M、N相遇后，M在BC上運(yùn)動(dòng)，M表示的數(shù)是4+2（t﹣﹣2）＝2t﹣5，N在AC上運(yùn)動(dòng)，N表示的數(shù)是8﹣t，∴2t﹣5﹣（8﹣t）＝4，解得t＝，綜上所述，t的值為或；②P與M還未第一次相遇時(shí)，P表示的數(shù)是4﹣3t，M表示的數(shù)是﹣1+2t，N表示的數(shù)是8﹣t，∴4﹣3t﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（4﹣3t）]，解得t＝﹣（舍去），此種情況不存在，由已知得，P與M在t＝1時(shí)第一次相遇，相遇后P掉頭按原速沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，在未遇到N前，P表示的數(shù)是（4﹣3×1）+3（t﹣1）＝3t﹣2，∴3t﹣2﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（3t﹣2）]，解得t＝，由已知可知，當(dāng)P與M在表示1的點(diǎn)處相遇，此時(shí)N運(yùn)動(dòng)到表示7的點(diǎn)處，再經(jīng)過＝1.5秒，即t＝2.5時(shí)，P與N相遇，此時(shí)M正好運(yùn)動(dòng)到C，P與N相遇后又立即掉頭按原速沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，未與M第二次相遇，此時(shí)P表示的數(shù)是（8﹣2.5）﹣3（t﹣2.5）＝13﹣3t，∴13﹣3t﹣4＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，解得t＝，當(dāng)P與M第二次相遇后，P表示的數(shù)是13﹣3t，M在BC上運(yùn)動(dòng)，M表示的數(shù)是2t﹣5，∴2t﹣5﹣（13﹣3t）＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，解得t＝8，此時(shí)13﹣3t＝﹣11＜﹣1，∴t＝8舍去，這種情況不存在，綜上所述，t的值為或．一十一．根的判別式（共1小題）12．（2006?臨汾）k取什么值時(shí)，方程組：有一個(gè)實(shí)數(shù)解并求出這時(shí)方程組的解．【解析】解：由①得y＝x﹣k，③把③代入②得x2﹣8x+8k＝0，∵方程組只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，∴Δ＝（﹣8）2﹣4×8k＝64﹣32k＝0，∴k＝2．∴原方程化為x2﹣8x+8×2＝0，即x2﹣8x+16＝0，（x﹣4）2＝0，∴x＝4．把x＝4，k＝2代入①，得y＝2．∴方程組的實(shí)數(shù)解是．一十二．一元二次方程的應(yīng)用（共2小題）13．（2022?常州一模）某區(qū)各街道居民積極響應(yīng)“創(chuàng)文明社區(qū)”活動(dòng)，據(jù)了解，某街道居民人口共有7.5萬(wàn)人，街道劃分為A，B兩個(gè)社區(qū)，B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍．（1）求A社區(qū)居民人口至少有多少萬(wàn)人？（2）街道工作人員調(diào)查A，B兩個(gè)社區(qū)居民對(duì)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知曉情況發(fā)現(xiàn)：A社區(qū)有1.2萬(wàn)人知曉，B社區(qū)有1萬(wàn)人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個(gè)月的時(shí)間加強(qiáng)宣傳，A社區(qū)的知曉人數(shù)平均月增長(zhǎng)率為m%，B社區(qū)的知曉人數(shù)第一個(gè)月增長(zhǎng)了m%，第二個(gè)月增長(zhǎng)了2m%，兩個(gè)月后，街道居民的知曉率達(dá)到76%，求m的值．【解析】解：（1）設(shè)A社區(qū)居民人口有x萬(wàn)人，則B社區(qū)有（7.5﹣x）萬(wàn)人，依題意得：7.5﹣x≤2x，解得x≥2.5．即A社區(qū)居民人口至少有2.5萬(wàn)人；（2）依題意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%設(shè)m%＝a，方程可化為：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7化簡(jiǎn)得：32a2+54a﹣35＝0解