專項(xiàng)三概率與統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)2概率的實(shí)際應(yīng)用大題拆解技巧【母題】(2020年全國(guó)Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為12(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.【拆解1】已知條件不變,求甲連勝四場(chǎng)的概率.【拆解2】已知條件不變,求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率.【拆解3】已知條件不變,求甲贏的概率.【拆解4】已知甲贏的概率為932,求丙最終獲勝的概率小做變式訓(xùn)練甲、乙、丙三人參加學(xué)?！霸┘文耆A”競(jìng)答游戲,活動(dòng)的規(guī)則為:甲、乙、丙三人先分別坐在圓桌的A,B,C三點(diǎn),第一輪從甲開(kāi)始通過(guò)擲骰子決定甲的競(jìng)答對(duì)手,若點(diǎn)數(shù)是奇數(shù),則按逆時(shí)針選擇乙,若是偶數(shù),則按順時(shí)針選丙,下一輪由上一輪擲骰子選中的對(duì)手繼續(xù)通過(guò)擲骰子決定競(jìng)答對(duì)手,如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)按逆時(shí)針選對(duì)手,點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)按順時(shí)針選對(duì)手,已知每場(chǎng)競(jìng)答甲對(duì)乙、甲對(duì)丙、乙對(duì)丙獲勝的概率分別為23、13、12,且甲、乙、丙之間競(jìng)答互不影響,各輪游戲之間亦互不影響,若比賽中某選手累計(jì)獲勝場(chǎng)數(shù)達(dá)到兩場(chǎng),則游戲結(jié)束(1)求比賽進(jìn)行了三場(chǎng)且甲晉級(jí)的概率;(2)若比賽進(jìn)行了三場(chǎng)后結(jié)束,記甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【拆解1】已知條件不變,求比賽進(jìn)行了3場(chǎng)且甲晉級(jí)的概率.【拆解2】已知條件不變,若比賽進(jìn)行了三場(chǎng)后結(jié)束,甲一場(chǎng)也沒(méi)有獲勝的概率.【拆解3】比賽進(jìn)行了三場(chǎng)甲贏兩場(chǎng)的概率為16,甲一場(chǎng)也沒(méi)有獲勝的概率為13144.記甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為X,求X通法技巧歸納1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法:(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手的題目時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法:一是直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是間接法,先求該事件的對(duì)立事件的概率,再由P(A)=1-P(A)求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問(wèn)題時(shí),多考慮間接法.突破實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練<基礎(chǔ)過(guò)關(guān)>1.某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展,利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn),決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè),一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造,另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平.為此該地區(qū)旅游部門(mén),對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查,下表是該部門(mén)從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中,隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表.滿意度老年人中年人青年人報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游滿意121184156一般2164412不滿意116232(1)由表中的數(shù)據(jù)分析可知,老年人、中年人和青年人這三種人群中,哪一類人群更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游?(2)為了提高服務(wù)水平,該旅游部門(mén)要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的自助游游客中,隨機(jī)抽取2人征集改造建議,求這2人中有老年人的概率.(3)若你朋友要到該地區(qū)旅游,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目?2.第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京和張家口舉辦,為了普及冬奧知識(shí),京西某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽,從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了20名學(xué)生作為樣本,得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下:分?jǐn)?shù)段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)1228331我們規(guī)定60分以下為不及格;60分及以上至70分以下為及格;70分及以上至80分以下為良好;80分及以上為優(yōu)秀.(1)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的概率是多少?(2)將上述樣本統(tǒng)計(jì)中的頻率視為概率,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,以X表示這2人中優(yōu)秀的人數(shù),求X的分布列與期望.3.乒乓球是中國(guó)國(guó)球,它是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目.某中學(xué)為了鼓勵(lì)學(xué)生多參加體育鍛煉,會(huì)定期地舉辦乒乓球競(jìng)賽.已知該中學(xué)高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的人數(shù)分別為690,460,460,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取7人參加校內(nèi)終極賽.(1)求該中學(xué)高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)參加校內(nèi)終極賽的人數(shù);(2)現(xiàn)從抽取的7人中再隨機(jī)抽取2人拍照做海報(bào)宣傳,求“抽取的2人來(lái)自同一年級(jí)”的概率.4.受新冠肺炎疫情的影響,2020年一些企業(yè)改變了針對(duì)應(yīng)屆畢業(yè)生的校園招聘方式,將線下招聘改為線上招聘.某世界五百?gòu)?qiáng)企業(yè)M的線上招聘方式分資料初審、筆試、面試這三個(gè)環(huán)節(jié),資料初審?fù)ㄟ^(guò)后才能進(jìn)行筆試,筆試合格后才能參加面試,面試合格后便正式錄取,且這幾個(gè)環(huán)節(jié)能否通過(guò)相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲、乙、丙三名大學(xué)生報(bào)名參加了企業(yè)M的線上招聘,并均已通過(guò)了資料初審環(huán)節(jié).假設(shè)甲通過(guò)筆試、面試的概率分別為12,13;乙通過(guò)筆試、面試的概率分別為23,12;(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)M正式錄取的概率;(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率;(3)為鼓勵(lì)優(yōu)秀大學(xué)生積極參與企業(yè)的招聘工作,企業(yè)M決定給報(bào)名參加應(yīng)聘且通過(guò)資料初審的大學(xué)生一定的補(bǔ)貼,補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表:參與環(huán)節(jié)筆試面試補(bǔ)貼(元)100200記甲、乙、丙三人獲得的所有補(bǔ)貼之和為X元,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.<能力拔高>5.甲、乙兩家物流公司都需要進(jìn)行貨物中轉(zhuǎn),由于業(yè)務(wù)量擴(kuò)大,現(xiàn)向社會(huì)招聘貨車司機(jī),其日工資方案如下:甲公司底薪80元,司機(jī)每中轉(zhuǎn)一車貨物另計(jì)4元;乙公司無(wú)底薪,中轉(zhuǎn)40車貨物以內(nèi)(含40車)的部分司機(jī)每車計(jì)6元,超出40車的部分司機(jī)每車計(jì)7元.假設(shè)同一物流公司的司機(jī)一天中轉(zhuǎn)車數(shù)相同,現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名貨車司機(jī),并分別記錄其50天的中轉(zhuǎn)車數(shù),得到如下頻數(shù)表:甲公司司機(jī)中轉(zhuǎn)車數(shù)頻數(shù)表中轉(zhuǎn)車數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司司機(jī)中轉(zhuǎn)車數(shù)頻數(shù)表中轉(zhuǎn)車數(shù)3839404142天數(shù)51010205(1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天貨物中轉(zhuǎn)車數(shù)中隨機(jī)抽取3天的中轉(zhuǎn)車數(shù),求這3天中轉(zhuǎn)車數(shù)都不小于40的概率.(2)若將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問(wèn)題:①記乙公司貨車司機(jī)日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);②小王打算到甲、乙兩家物流公司中的一家應(yīng)聘,如果僅從日工資的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇,并說(shuō)明理由.6.某商城玩具柜臺(tái)元旦期間促銷,購(gòu)買(mǎi)甲、乙系列的盲盒,并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送元旦禮品.而每個(gè)甲系列盲盒可以開(kāi)出玩偶A1,A2,A3中的一個(gè),每個(gè)乙系列盲盒可以開(kāi)出玩偶B1,B2中的一個(gè).(1)記事件En:一次性購(gòu)買(mǎi)n個(gè)甲系列盲盒后集齊A1,A2,A3玩偶;事件Fn:一次性購(gòu)買(mǎi)n個(gè)乙系列盲盒后集齊B1,B2玩偶;求概率P(E6)及P(F5).(2)禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒,每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購(gòu)買(mǎi)機(jī)會(huì),且購(gòu)買(mǎi)時(shí),只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):第一次購(gòu)買(mǎi)盲盒的消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)甲系列的概率為15,購(gòu)買(mǎi)乙系列的概率為45;而前一次購(gòu)買(mǎi)甲系列的消費(fèi)者下一次購(gòu)買(mǎi)甲系列的概率為14,購(gòu)買(mǎi)乙系列的概率為34;前一次購(gòu)買(mǎi)乙系列的消費(fèi)者下一次購(gòu)買(mǎi)甲系列的概率為12,購(gòu)買(mǎi)乙系列的概率為12;如此往復(fù),記某人第n①求Qn;②若每天購(gòu)買(mǎi)盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購(gòu)買(mǎi)過(guò)很多次這兩個(gè)系列的盲盒,試估計(jì)該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).<拓展延伸>7.2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》(也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”),《意見(jiàn)》宣布:2020年起不再組織開(kāi)展高校自主招生工作,改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃.強(qiáng)基計(jì)劃要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題,校考過(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目,且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考甲大學(xué),每門(mén)科目通過(guò)的概率均為12,該考生報(bào)考乙大學(xué),每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為16,23,m,(1)若m=23,分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校,若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策,當(dāng)該考生更有希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí),求m的取值范圍.8.某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求,帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過(guò)不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步,農(nóng)民年收入也逐年增加,為了更好地制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入、力爭(zhēng)早日脫貧的工作計(jì)劃,該地扶貧辦隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了2018年50位農(nóng)民的年收入,并制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入x-(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為年平均收入x-,σ2近似為樣本方差s2,經(jīng)計(jì)算得s2①