2021-2022學(xué)年江蘇省鹽城市響水中學(xué)高一下學(xué)期第二次學(xué)情分析數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C．5 D．A【分析】利用復(fù)數(shù)求模長公式進行計算.【詳解】.故選：A2．已知樣本9，10，11，x，y的平均數(shù)是10，標(biāo)準差是，則xy=（

）A．93 B．94 C．95 D．96D【分析】根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準差列方程即可求解.【詳解】由題意，，解得或，∴；故選：D.3．設(shè)，，，則有（

）A． B． C． D．C【分析】利用和差公式，二倍角公式等化簡，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，，，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以由三角函數(shù)線知：，，因為，所以，所以故選：C.4．已知平面平面，直線平面，直線平面，，在下列說法中，①若，則；②若，則；③若，則.正確結(jié)論的序號為（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③D【分析】由面面垂直的性質(zhì)和線線的位置關(guān)系可判斷①；由面面垂直的性質(zhì)定理可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷③．【詳解】平面平面．直線平面，直線平面，，①若，可得，可能平行，故①錯誤；②若，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，故②正確；③若，可得，故③正確．故選：D．本題考查空間線線和線面、面面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直的判斷和性質(zhì)，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形C【分析】通過正弦定理將邊化為角，化簡即可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，即，由于為三角形內(nèi)角，所以.故選：C.6．如圖正方體中，M，N分別是，的中點，則正確的是（

）A．且平面ABCDB．且平面C．與相交且平面ABCDD．與異面且平面A【分析】結(jié)合線線垂直、線面平行和直線相交、異面等知識正確答案.【詳解】由于平面，所以與平交，由此排除BD選項.由于平面，平面，且，根據(jù)異面直線的知識可知：與是異面直線.由此排除C選項.對于A選項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以平面，所以.由于分別是的中點，所以，由于平面平面，所以平面，所以A選項正確.故選：A7．在△中，，E是上一點．若，則（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)圖形可設(shè)，從而得到，根據(jù)已知條件，即可求出的值.【詳解】如圖所示，設(shè)，則，又∵，∴，∴，故選：．8．如圖，在平行六面體中，點是棱上靠近的三等分點，點是棱的中點，且三棱錐的體積為2，則平行六面體的體積為（

）A．8 B．12 C．18 D．20B【分析】首先設(shè)點到的距離為，點到平面的距離為，得到，再計算平行六面體的體積即可.【詳解】如圖設(shè)點到的距離為，點到平面的距離為，則，，所以，平行六面體的體積為所以.故選：B本題主要考查幾何體的體積，同時考查了三棱錐的體積，屬于簡單題.二、多選題9．為了了解參加運動會的名運動員的年齡情況，從中抽取了名運動員的年齡進行統(tǒng)計分析.就這個問題，下列說法中正確的有（

）A．名運動員是總體； B．所抽取的名運動員是一個樣本；C．樣本容量為； D．每個運動員被抽到的機會相等.CD【分析】根據(jù)總體、樣本、總體容量、樣本容量等概念及在整個抽樣過程中每個個體被抽到的機會均等即可求解.【詳解】由已知可得，名運動員的年齡是總體，名運動員的年齡是樣本，總體容量為，樣本容量為，在整個抽樣過程中每個運動員被抽到的機會均為，所以A、B錯誤，C、D正確.故選：CD.本題主要考查總體、樣本、總體容量、樣本容量等概念及抽樣的公平性問題，屬基礎(chǔ)題.10．已知復(fù)數(shù)的實部為，則下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限ACD首先化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)實部為-1，求，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，判斷選項.【詳解】，因為復(fù)數(shù)的實部是-1，所以，解得：，所以，A.復(fù)數(shù)的虛部是-5，正確；B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，不正確；C.，正確；D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是，位于第三象限，正確.故選：ACD11．下列命題中是真命題的是（

）A．在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD是菱形B．若點G為的外心，則C．向量，能作為平面內(nèi)的一組基底D．若O為△所在平面內(nèi)任一點，且滿足，則△為等腰三角形AD【分析】A由相反向量的定義及向量數(shù)量積的垂直表示知ABCD是菱形，B根據(jù)鈍角三角形外心即可判斷命題的真假，C由平面內(nèi)基底的性質(zhì)判斷真假，D利用向量加減法的幾何含義及向量數(shù)量積的垂直表示即可判斷真假.【詳解】A：四邊形ABCD中，由知：線段、平行且相等，由知：對角線相互垂直，即ABCD是菱形，真命題；B：以鈍角△的外心為例，顯然若點G為外心時，，假命題；C：由已知有，顯然共線，所以不能作為平面內(nèi)的一組基底，假命題；D：，，若為中點，則，由有，所以垂直平分，即，故△為等腰三角形.故選：AD.關(guān)鍵點點睛：利用相反向量的定義、向量數(shù)量積的垂直表示、平面中基底的性質(zhì)、幾何圖形中向量加減法表示判斷各選項所描述命題的真假.12．在正方體中，分別為的中點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．二面角的正切值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．點到平面的距離是點到平面的距離的2倍BCD【分析】由于在正方體中，，與不垂直，故與不垂直，判斷選項A；過點作，交的延長線于，連接，設(shè)正方體的棱長為2，，判斷選項B；取的中點，連接，則，與所成角即為直線與所成角，在中用余弦定理，判斷選項C；連接交于點，則點到平面的距離與點到平面的距離之比為，而∽，判斷選項D.【詳解】在正方體中，顯然有，且在正方體中，與不垂直，故與不垂直，選項A錯誤；過點作，交的延長線于，連接，由二面角的定義可知，即為二面角的平面角，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，選項B正確；

取的中點，連接，則，故異面直線與所成角即為直線與所成角而，，故在中，由余弦定理可得，選項C正確；連接交于點，則點到平面的距離與點到平面的距離之比為，而∽故，選項D正確.故選：BCD.三、填空題13．一組數(shù)據(jù)從小到大排列，依次為，若它們的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則______.8【分析】先計算平均數(shù)和中位數(shù)，根據(jù)題意得出關(guān)于x的方程，解方程得到x的值.【詳解】因為數(shù)據(jù)2,3,4，，9,10的中位數(shù)與平均數(shù)相等，所以，解得.主要考查了平均數(shù)，中位數(shù)的概念和方程求解的方法．要掌握這些基本概念才能熟練解題．14．如圖，某人在高出海平面方米的山上P處，測得海平面上航標(biāo)A在正東方向，俯角為，航標(biāo)B在南偏東，俯角，且兩個航標(biāo)間的距離為200米，則__________米.200【分析】根據(jù)題意利用方向坐標(biāo)，根據(jù)三角形邊角關(guān)系，利用余弦定理列方程求出的值．【詳解】航標(biāo)在正東方向，俯角為，由題意得，．航標(biāo)在南偏東，俯角為，則有，．所以，；由余弦定理知，即，可求得（米．故200．本題考查方向坐標(biāo)以及三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用問題，考查余弦定理應(yīng)用問題，是中檔題．15．在中．已知，為線段上的一點，且滿足．若的面積為，，則的最小值為_______．【分析】利用A，P，D三點共線可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性質(zhì)和基本不等式即可求出的最小值．【詳解】解∵∵A，P，D三點共線，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA?CB＝8．∴∴．故答案為2．本題考查平面向量共線定理，是中檔題，解題時要認真審題，注意平面向量線性運算的運用．四、雙空題16．若正三棱臺中上底的邊長為1，下底的邊長為2，側(cè)棱長為1，則它的表面積為_________，與所成角的余弦值為_______________．

【分析】根據(jù)題目所給邊長，直接求表面積即可得解，延長交于點，作中點，中點，連接，，則與所成角即為和所成角，在中解三角形，即可得解.【詳解】根據(jù)題意正三棱臺的上下底面為等邊三角形，上底面為邊長為1的等邊三級形，下底為邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為等腰梯形上底邊長為1，下底邊長為2，腰長為1，所以高，所以面積，延長交于點，由上底的邊長為1，下底的邊長為2，所以分別為中點，作中點，中點，連接，，則與所成角即為和所成角，連接，在底面的投影為，為底面的中心且在上，作于，顯然由，，所以，所以，，所以，，在等腰梯形上底邊長為1，下底邊長為2，腰長為1，所以，，在中，，根據(jù)線線所成角的范圍，則與所成角的余弦值為.故，.本題考查了求空間幾何體的表面積，考查了異面直線所成角，計算量較大，屬于較難題.本題的關(guān)鍵點為：（1）通過平移把異面直線平移到同一平面中；（2）通過空間線面關(guān)系進行計算，是本題的核心能力.五、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿足（a＞0，a∈R），且，其中為虛數(shù)單位．(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A，B，C，求cos∠ABC．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，得到，進而得到為實數(shù)求解.（2）化簡得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點，進而得到向量和的坐標(biāo)，然后利用向量的夾角公式求解.【詳解】(1)解：因為，所以，則，，，所以，所以，又，所以，所以．(2)，，所以，，，所以，，．18．某企業(yè)員工人參加“抗疫”宣傳活動，按年齡分組：第組，第組，第組，第組，第組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.區(qū)間頻數(shù)(1)上表是年齡的頻數(shù)分布表，結(jié)合此表與頻率分布直方圖，求正整數(shù)、、的值；(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第、、組中用分層抽樣的方法抽取人，問：這三組應(yīng)各取多少人？(3)若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，根據(jù)頻率分布直方圖估計該企業(yè)員工的平均年齡.(1)，，(2)這三組中抽取的人數(shù)分別為、、(3)【分析】（1）計算出第組的頻率，結(jié)合頻率、頻率和總?cè)藬?shù)之間的關(guān)系可求得的值，再利用頻率、頻率和總?cè)藬?shù)之間的關(guān)系可求得、的值；（2）計算出第、、組的人數(shù)之比，結(jié)合分層抽樣可計算出這三組所抽取的人數(shù)；（3）將每個矩形底邊的右端點值乘以對應(yīng)矩形的面積，將所得結(jié)果全加可得結(jié)果.【詳解】(1)解：第組的頻率為，所以，，，.(2)解：第、、組的人數(shù)之比為，現(xiàn)在要從年齡較小的第、、組中用分層抽樣的方法抽取人，第組抽取的人數(shù)為人，第組所抽取的人數(shù)為人，第組所抽取的人數(shù)為人.(3)解：，所以估計該企業(yè)員工的平均年齡為.19．在中，角，，所對邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若向量，，求的取值范圍.（1）；（2）.【分析】（1）首先，利用正弦定理，正切化為正弦和余弦，化簡得，求角；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得的坐標(biāo)，再化簡，根據(jù)角的范圍求模的范圍.【詳解】解：（1）由，及正弦定理，得，即，即，所以，.（2），所以，由于，得，所以.20．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，，E是線段PC上的一點，．(1)試確定實數(shù)，使平面BED，并給出證明；(2)當(dāng)時，證明：PC⊥平面BED．(1)，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）作輔助線，連接AC，可證明當(dāng)E為PC中點時，使平面BED，即得答案.（2）證明平面PAC，即證明，再通過證明△PAC與△OEC相似，證明，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明PC⊥平面BED．【詳解】(1)連接AC，且，若平面BED，因為平面PAC，平面平面，所以，又因為O為AC中點，所以E為PC中點，即．當(dāng)時，E為PC中點，又因為O為AC中點，所以，平面BED，平面BED，所以平面BED．(2)連接OE，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，在菱形ABCD中，，又因為，所以平面PAC，平面PAC，所以，在直角三角形PCA中，，，，所以，因為，所以，所以，又，所以，故△PAC與△OEC相似，所以，又因為，，OE，平面BED，所以平面BED．21．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點．（1）證明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P－AD－B為60°．①證明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②．【詳解】試題分析：（1）要證明平面，可以先證明平面，利用線面平行的判定定理，即可證明平面；（2）①要證明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需證明平面即可；②由①平面，所以為直線與平面所成的角，由及已知，得為直角，即可計算的長度，在中，即計算直線與平面所成的角的正弦值．試題解析：（1）證明：如圖，取PB中點M，連接MF，AM．因為F為PC中點，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．又由于E為AD中點，因而MF∥AE且MF＝AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF∥AM．又AM?平面PAB，而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB．（2）①證明：如圖，連接PE，BE．因為PA＝PD，BA＝BD，而E為AD中點，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB為二面角P－AD－B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，從而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，從而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．又BE?平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．②連接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB為直線EF與平面PB