第七節(jié)第十二章傅里葉級數(shù)三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)HIGHEREDUCATIONPRESS008第七節(jié)1三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動:y=Asin(ot+φ)諧波函數(shù))(A為振幅,o為角頻率,為初相)復(fù)雜的周期運動:y=Ao+∑An,sin(not+n)Ansingncosnot+Ancosnsinnye波迭A=Ao,an=Ansinn,bn=Ancospn,ot=x得函數(shù)項級數(shù)+∑(a.cosnx+hsinx稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù)HIGHEREDUCATIONPRESS008三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性2定理1.組成三角級數(shù)的函數(shù)系1.cosxsinx.cos2x.Sin2x.A.cosnx.sinnx.A在[-π,m上正交,即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在-兀,π]上的積分等于0證:∫1cosnxdx=∫sinx=0(m=12,A)coskxcosnxdxcoskxcosnx=,[cos(k+n)x+cos(k-n)x[cos(k+n)x+cos(k-n)x]dx=0(k+ny同理可證:Sinkxsinnxdx=0(k≠n)「"coskxsinnxdx=0HIGHEREDUCATIONPRESS008定理1.組成三角級數(shù)的函數(shù)系3但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在[-π,π上的積分不等于0.且有l(wèi)dx=2cOS2nxdx=匯(n=1,2,A)sinnmax=兀1+cos2nx1-cos2nxcosnxSinnxHIGHEREDUCATIONPRESS008但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在[-π,π4函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理2.設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù),且f(x)=5+∑ansx+sin)n-=1右端級數(shù)可逐項積分,則有=lf(x)cosndx(n=0,1,A)1b2=/(xd012.A)證:由定理條件,對①在[-π,π逐項積分,得ffc)dx=ofax+2a,Scosnxdx+bn]sinndxdo7tHIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)5f(rdxf(r)coskxdxcoskxdx+coskxcosnxdx+coskxsinnxdxcosKX(利用正交性)f(r)coskxdx(k=1,2,A)類似地,用sinko乘①式兩邊,再逐項積分可得f(rsinkxdx(k=1,2,A)THIGHEREDUCATIONPRESS008f(rdx6f(x)=2+2(a,osnx+b,sinnxf(x)cosnxdx(n=0,1,A)②f(r)sinndx(n=1,2,A)由公式②確定的an,b稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù);以f(x)的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為f(x)的傅里葉級數(shù)HIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返回結(jié)束f(x)=2+2(a,osnx+b,sinnx7定理3收斂定理,展開定理)設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有注意:函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條+∑(ancosnx+b,sinn)件比展成冪級數(shù)的條件低得多f(x),x為連續(xù)點f(r)+f(x為間斷點2其中an,bn為f(x)的傅里葉系數(shù).(證明略)HIGHEREDUCATIONPRESS0日求上下返回結(jié)束定理3收斂定理,展開定理)設(shè)f(x)是周期為2π的8例1.設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù),它在[-兀,π)上的表達式為1,-?！躼<0f(r)1.0<x<匯將f(x)展成傅里葉級數(shù)解:先求傅里葉系數(shù)-π0本f(x)G1)cosnxdx+1.cosnxdx=0(n=0,1,2,A)HIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返例1.設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù),它在[-兀,π)9f(x)sinndx1)sinnxdx+1.sinnxdxT1cosnxcoSnxCOSnTT當n=1,3,5,AnTTsinx+-sin3x+a+2k-1Sm(2k-1)x+A00<x<+∞0,x≠0,土π,±2π,L)HIGHEREDUCATIONPRESS008f(x)sinndx10同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件11同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件12同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件13同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件14同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件15同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件16同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件17同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件18同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件19同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件20同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件21同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件22同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件23同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件24同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件25同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件26同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件27同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件28同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件29同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件30同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件31同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件32同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件33同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件34同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件35第七節(jié)第十二章傅里葉級數(shù)三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)HIGHEREDUCATIONPRESS008第七節(jié)36三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動:y=Asin(ot+φ)諧波函數(shù))(A為振幅,o為角頻率,為初相)復(fù)雜的周期運動:y=Ao+∑An,sin(not+n)Ansingncosnot+Ancosnsinnye波迭A=Ao,an=Ansinn,bn=Ancospn,ot=x得函數(shù)項級數(shù)+∑(a.cosnx+hsinx稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù)HIGHEREDUCATIONPRESS008三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性37定理1.組成三角級數(shù)的函數(shù)系1.cosxsinx.cos2x.Sin2x.A.cosnx.sinnx.A在[-π,m上正交,即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在-兀,π]上的積分等于0證:∫1cosnxdx=∫sinx=0(m=12,A)coskxcosnxdxcoskxcosnx=,[cos(k+n)x+cos(k-n)x[cos(k+n)x+cos(k-n)x]dx=0(k+ny同理可證:Sinkxsinnxdx=0(k≠n)「"coskxsinnxdx=0HIGHEREDUCATIONPRESS008定理1.組成三角級數(shù)的函數(shù)系38但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在[-π,π上的積分不等于0.且有l(wèi)dx=2cOS2nxdx=匯(n=1,2,A)sinnmax=兀1+cos2nx1-cos2nxcosnxSinnxHIGHEREDUCATIONPRESS008但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在[-π,π39函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理2.設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù),且f(x)=5+∑ansx+sin)n-=1右端級數(shù)可逐項積分,則有=lf(x)cosndx(n=0,1,A)1b2=/(xd012.A)證:由定理條件,對①在[-π,π逐項積分,得ffc)dx=ofax+2a,Scosnxdx+bn]sinndxdo7tHIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)40f(rdxf(r)coskxdxcoskxdx+coskxcosnxdx+coskxsinnxdxcosKX(利用正交性)f(r)coskxdx(k=1,2,A)類似地,用sinko乘①式兩邊,再逐項積分可得f(rsinkxdx(k=1,2,A)THIGHEREDUCATIONPRESS008f(rdx41f(x)=2+2(a,osnx+b,sinnxf(x)cosnxdx(n=0,1,A)②f(r)sinndx(n=1,2,A)由公式②確定的an,b稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù);以f(x)的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為f(x)的傅里葉級數(shù)HIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返回結(jié)束f(x)=2+2(a,osnx+b,sinnx42定理3收斂定理,展開定理)設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有注意:函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條+∑(ancosnx+b,sinn)件比展成冪級數(shù)的條件低得多f(x),x為連續(xù)點f(r)+f(x為間斷點2其中an,bn為f(x)的傅里葉系數(shù).(證明略)HIGHEREDUCATIONPRESS0日求上下返回結(jié)束定理3收斂定理,展開定理)設(shè)f(x)是周期為2π的43例1.設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù),它在[-兀,π)上的表達式為1,-兀≤x<0f(r)1.0<x<匯將f(x)展成傅里葉級數(shù)解:先求傅里葉系數(shù)-π0本f(x)G1)cosnxdx+1.cosnxdx=0(n=0,1,2,A)HIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返例1.設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù),它在[-兀,π)44f(x)sinndx1)sinnxdx+1.sinnxdxT1cosnxcoSnxCOSnTT當n=1,3,5,AnTTsinx+-sin3x+a+2k-1Sm(2k-1)x+A00<x<+∞0,x≠0,土π,±2π,L)HIGHEREDUCATIONPRESS008f(x)sinndx45同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件46同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件47同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件48同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件49同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件50同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件51同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件52同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件53同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件54同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件55同濟高數(shù)127傅里葉級數(shù)課件56同