x2亍+円,?x—3y=0.3x=2,1x=或1ly=2y=－31因為點A在第一象限，所以A（2,2）.（2分）又0A丄AB，13所以直線AB的方程為y—2=—3（x—2），即3x+y—5=0.由1x23由1x23+y2=1，得i（3x+y—5=0,12

r或1ly=—73x=2，1所以b（172，-7），（3分）、y=2，11（4分）所以直線OB的斜率為k=第12.ob1212T1（2）（解法1）設(shè)直線0A的斜率為k（k>0），則直線AB的斜率為一：.因為△OAB是等腰直角三角形（點0,A，B按順時針排列），所以設(shè)A（x，y），B（x，y）（x>0，y>0，x<x）.11221112又OA=AB，所以\,,，x2+y2=,''（x—^）2+（y—y）2，所以y=x—x，即x=x+y.121211yy—y又由0A丄AB，得乙X^^=—1，所以y=y—x.（6分）xx—x211121x2y2因為點A（x，y），B（x+y，y—x）在橢圓一+匚=1上，111111a2b2

所以牛=1a2〒所以牛=1a2〒b2'，x＋y)2(y－x)21111=1

a2丁b2'，所以十=(x±yLa2b2（y－x）2a2yy整理得b2(+)2—2(a2—b2)++a2=0.(8分)xx11所以△=4(a2—b2)2—4a2b2$0,即(a2—b2+ab)(a2—b2—ab)$0.(10分)因為a2—b2+ab>0,所以a2—b2—ab$0,即8）2+—1W0,aa所以生遲二，a2當(dāng)kJ=2（a;—b2）=尋—1=學(xué)時,匕取最大值還—I,?分）x2b2b22a21（解法2）設(shè)直線oa的斜率為k（k>0），傾斜角為e（0°<e<90°）.因為△OAB是等腰直角三角形（點O,A,B按順時針排列），且OA丄AB,所以直線OB的斜率為k=tan(e—45°)或*=tan(e+135°),OBOB所以koB所以koB=k—1T+k'(6分)設(shè)A(x,y),B(x,y)(x>0,y>0,x<x).11221112y=kx,由'竺+上=1+b2I'a2得X2=1a2b2

b2+a2k2由'k—1y=書x,竺+出=1la2b2J得x；=b2+a2a2b2冷）_a2b2(1+k)2b2(1+k)2+a2(1—k)2'2又OB=^'2OA,所以2OA2=OB2,得2(1+k2)k—1x1=[1+(1+)2]x252(1+k2)a2b2「”]/k—1、[a2b22(1+k2)b2+a2k2=[1+(1+k)2]b2(1+k)2+a2(k—1)2'整理得b2k2+2(b2—a2)k+a2=0,(8分)所以△=4(b2—a2)—4a2b2$0,即@2—b2)2—a2b2$0,所以(a2—b2+ab)(a2—b2—ab)$0.(10分)因為a2—b2+ab>0,所以a2—b2—ab$0,