相似三角形與解直角三角形一、知識要點(diǎn)概述1、比例線段的有關(guān)概念(1)前項(xiàng)、后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中，a叫比的前項(xiàng)，b叫比的后項(xiàng).(2)比例線段：四條線段中，如果兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段，簡稱比例線段．(3)外項(xiàng)、內(nèi)項(xiàng)、第四比例項(xiàng)：如果a：b=c：d,則a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng)，d叫做a、b、c的第四比例項(xiàng)．(4)比例中項(xiàng)：若a：b=b：c,則b叫a、c的比例中項(xiàng).2、比例的性質(zhì)(1)比例的基本性質(zhì)：如果a：b=c：d,則ad=bc,其逆命題也成立.推論：如果a：b=b：c,則b2=ac,其逆命題也成立.如果巴=二則里=出(2)合比性質(zhì)：”&bd.(3(3)等比性質(zhì)：3、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩直線,所得的對應(yīng)線段成比例．推論1：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應(yīng)線段成比例．推論1的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線),所得到的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊．推論2：平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例．4、相似三角形的有關(guān)概念(1)相似三角形：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形．(2)相似比：相似三角形對應(yīng)邊的比．5、三角形相似的判定(1)兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似．(2)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似．(3)三邊對應(yīng)成比例,兩個(gè)三角形相似．(4)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似．(5)直角三角形斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似．(6)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的三角形與原三角形相似．5、相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長的比等于相似比．(4)相似三角形的面積比等于相似比的平方．

6、銳角三角函數(shù)在Rt^ABC中，NC=90°,NA、NB、ZC的對邊分別為a、b、c,則且sinA,cosA在0?1內(nèi)取值.7、特殊角的三角函數(shù)值-、角a三角函藪,但30°.汾90"；sinak返近1eqsa史￡-40tana史.簸忑:木存在「xcota不存在力.霰08、互為余角的三角函數(shù)關(guān)系銳角a與它的余角(90°—a)有如下關(guān)系:sin(90°—a尸cosa,cos(90°—a)=sina,tan(90°－a)=cota,cot(90°－a)=tana．9、同角三角函數(shù)間的關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1；cosasina(2)倒數(shù)關(guān)系：tana?cota=1；cosasinaIsmatana=?cota=0\*物￥萬COSCt(3)商數(shù)關(guān)系：10、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角a在0°?90°間變化時(shí)，角a的正弦、正切值隨角a的增大(或減小)而增大(或減小)；角a的余弦、余切值隨a的增大(或減小)而減小(或增大)，正弦值、余弦值均介于0?1之間，即0秘inaWl,0<cosa<1.11、在△ABC中，NC=90°,NA、NB、NC的對邊分別為a、b、c,則有下列關(guān)系：(1)三邊的關(guān)系：a2+b2=c2；(2)角的關(guān)系：A+B=90°；TOC\o"1-5"\h\zabab、、J1rr廣上II(3)邊角的關(guān)系：sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=cotB=,cotA=tanB=；S=-ab(4)面積關(guān)系：2;(5)外接圓半徑：2，內(nèi)切圓半徑：2.

12、應(yīng)用解直角三角形知識解題的步驟（1）審題，弄清仰角、俯角、坡角等概念及題意．（2）畫圖并構(gòu)造要求解的直角三角形，對于非直角三角形添加適當(dāng)?shù)妮o助線分割成規(guī)則的幾何圖形．（3）選擇合適的邊角關(guān)系計(jì)算，確定結(jié)果．13、應(yīng)用中的幾個(gè)概念（1）仰角、俯角：視線與水平線所成的銳角中視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖（1）．（2）坡角、坡度：坡面的鉛直高度h（2）坡角、坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度i,坡面與水平面的夾角叫坡角a,tana=，=’.（圖2）（3）方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫方位角.如（圖3）中，OA、OB、OC的方位角分別為NDOA、NDOB、NDOC.（4）方向角：指北或指南方向線所成的小于90°的水平角叫方向角.如（圖4）中OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30°、南偏東45°（東南方向）、南偏西60°、北偏西60°．

二、典型例題剖析例1、如圖，在△ABC中，AB=24,AC=18,D在AC上，AD=12,在AB上取一點(diǎn)E,使得^ADE與原三角形相似，則AE的長為（）A．16B．14C.16或14D.16或9分析：要使兩個(gè)三角形相似，但未指明對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)進(jìn)行分類討論．解：（1）如圖，過D作DE//BC交AB于E（或NADE=NC）,則△ADEs^ACB,此時(shí)有.??AE=16.(2)如圖，作NADE‘=NB,DE交AB于E’,AD_AE(艮口12_AE(則△ADEs^ABC,此時(shí)有四*C羽18???AE'=9.綜上所述AE=16或9.答案：D例2、已知三個(gè)數(shù)1,2,吞，請你再添上一個(gè)數(shù)（只填一個(gè)數(shù)）使它們能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是解析：此題設(shè)計(jì)較為開放,結(jié)論不唯一.由于題目沒有明確告知構(gòu)成比例的各數(shù)順序,所以所添的數(shù)的位置較為靈活.從1：2=看：x活.從1：2=看：x可求出工=2陋從1：2=x：也，可求出2；從1：x=S:2可求出3，故此題填以上三個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)即可.例3、如圖，已知D、E分別是^ABC的AB、AC邊上一點(diǎn)，DE//BC，且s^ade：s梯形dbce=「3,那么AD：ab=（）A.B.C.DA.B.C.D.分析：由S3E：S梯形dbce=「3知SAADE：S"T：4由DE//BC得SA^sS人”.△ADE△ABC

（些y=1由相似三角形的面積比等于相似比的平方得嫗，,1?，.AD:AB=2，故選C.答案：C分析：例4、已知:如圖，在4ABC中,AD是角平分線，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于F.求證:FD2=FB-FC.分析：FD_FC要證：FD2=FB-FC,可證：獨(dú)口由于無法找到^FDB與^FCD,所以應(yīng)將FD代換，根據(jù)EF是AD的垂直平分線的條件可聯(lián)想到連接FA,貝UFD=FA.用FA代替用FA代替FD，得，由此可找到證明△FABs^FCA.證明：連接FA.VEF垂直平分AD,.??FD=FA,.\ZFDA=ZFAD.VAD平分/8人0./8人口=4人口,?.ZFDA-ZBAD=ZFAD-ZCAD,?.ZB=ZFAC.又VNBFA=NAFC,..△FABsAFCA,F'A_FC,.?.FA2=FB-FC,例5、計(jì)算：⑴（"-sin例5、計(jì)算：⑴（"-sin光口）瞋cos30°?tan600,sin30o-cos450v.i+()cos600+sin450sin60°?tan3004sm30°?cos720+cos(45°+值)4sm30°?cos720+cos(45°+值)sin180+cos720cos(450-a)-cot(450+a)+sin2250+sin2650(00<45°).分析：（1）題綜合考查特殊角的三角函數(shù)值及代數(shù)式的計(jì)算.將特殊角的三角函數(shù)值代入化簡,并注意分母有理化,這類題型記準(zhǔn)數(shù)值是前提,算準(zhǔn)結(jié)果是關(guān)鍵.（2）題要靈活運(yùn)用同角的三角函數(shù)關(guān)系和互余的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡，要識別45°+a與45°-a是互余關(guān)系.解：

⑴原式=1K走.走~T*~3⑴原式=1K走.走~T*~3L近+~1+虎+i-V22222=—3+3^[2—1—yfl=2a-4;(2)原式=—2cos72°—+cos(4￡+a)_C0t(^45o+值)+sin2乃口+C0S225ocos720+cos72°sm(450+a)2cos720=+cot(450+a)-cot(45°+a)+12cos720=1+1=2.例6、已知：如圖，NB=30°,NC=45°,AB—AC=2—忑.求BC的長.分析：解直角三角形時(shí)，若所求的元素不在直角三角形中，則應(yīng)將它轉(zhuǎn)化為直角三角形中去．轉(zhuǎn)化的途徑有：作輔助線構(gòu)造直角三角形，或找已知直角三角形中的邊或角替代所要求的元素等．解：過A作AD±BC于D,構(gòu)造直角三角形.AD

sinAD

sin5AD

sin300=2AD,在用AACL電AC==)幺=&ABsmCsm450AB-AC=2-^/2,2AD-42AD=2-4i,AD=\.在/AAF湃1,=AD*CQtB=1xcot300=回在用A/口沖，CD=AD^tC=1xcot450=1,■^C=BD+DC=y/3+l.例7、為申辦2010年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況，在大直街拓寬工程中，要伐掉一棵樹AB,在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與AB等長的圓形危險(xiǎn)區(qū).現(xiàn)在某工人站在離B點(diǎn)3米遠(yuǎn)的D處測得樹的頂端A點(diǎn)的仰角為60°,樹的底部B的俯角為30°.問距離B點(diǎn)8米