.@:第3頁小專題〔十三〕一道中考題的變式與應用【例】如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°.判斷△ABC的形狀，并證明你的結論.解：△ABC為等邊三角形.證明：∵∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴∠ACB＝60°.∴△ABC為等邊三角形.【問題延伸1】求證：PA＋PB＝PC.證明：在PC上截取PD＝AP，連接AD，如圖，∵∠APC＝60°，∴△APD是等邊三角形.∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°.∴∠ADC＝120°.∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔∠ABP＝∠ACD，,∠APB＝∠ADC，,AP＝AD，〕〕∴△APB≌△ADC〔AAS〕.∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴PA＋PB＝PC.證明線段的和、差、倍、分問題的常見做法是“截長補短〞法，詳細做法是：在某一條線段上截取一條線段與特定線段相等，或將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明.【問題延伸2】假設BC＝2eq\r〔3〕，點P是eq\o〔AB,\s\up8〔︵〕〕上一動點〔異于點A，B〕，求PA＋PB的最大值.解：由上題知PA＋PB＝PC，要使PA＋PB最大，那么PC為直徑，作直徑BG，連接CG.∴∠G＝∠BAC＝60°，∠BCG＝90°.∵BC＝2eq\r〔3〕，∴BG＝4.即PA＋PB的最大值為4.直徑是圓中最長的一條弦，在求最值的問題中經常用到這一結論.1.如圖，四邊形APBC是圓內接四邊形，延長BP至E，假設∠EPA＝∠CPA，判斷△ABC的形狀，并證明你的結論.解：△ABC是等腰三角形.證明：∵四邊形APBC是圓內接四邊形，∴∠EPA＝∠ACB.∵∠EPA＝∠CPA，∠CPA＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形.2.如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC＝∠APC＝60°.〔1〕求證：△ABC是等邊三角形；〔2〕求圓心O到BC的間隔OD.解：〔1〕證明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴△ABC是等邊三角形.〔2〕連接OB，OC.可得∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°.∵OB＝OC，∴∠OBD＝∠OCD＝eq\f〔1,2〕×〔180°－120°〕＝30°.∵∠ODB＝90°，∴OD＝eq\f〔1,2〕OB＝4.3.如圖，點A，B，C，D在同一個圓上，且C點為一動點〔點C不在eq\o〔BAD,\s\up8〔︵〕〕上，且不與點B，D重合〕，∠ACB＝∠ABD＝45°.〔1〕求證：BD是該圓的直徑；〔2〕連接CD，求證：eq\r〔2〕AC＝BC＋CD.證明：〔1〕∵eq\o〔AB,\s\up8〔︵〕〕＝eq\o〔AB,\s\up8〔︵〕〕，∴∠ACB＝∠ADB＝45°.∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝90°.∴BD是該圓的直徑.〔2〕在CD的延長線上截取DE＝BC，連接EA.∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.∵∠ADE＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE.在△ABC和△ADE中，eq\b\lc\{〔\a\vs4\al\co1〔AB＝AD，,∠ABC＝∠ADE，,BC＝DE，〕〕∴△ABC≌△ADE〔SAS〕.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD.∴∠BAD＝∠CAE＝90°.∵eq\o〔AD,\s\up8〔︵〕〕＝eq\o〔A