第3章圖像變換1數(shù)字圖像處理第3章圖像變換1數(shù)字圖像處理第3章圖像變換2第三章圖像變換第3章圖像變換2第三章圖像變換第3章圖像變換33.1概述第3章圖像變換33.1概述第3章圖像變換4圖像變換使圖像在視覺(jué)上失去了原有圖像的形態(tài)，盡管視覺(jué)上不同，但是保留了很多本質(zhì)特征。第3章圖像變換4圖像變換使圖像在視覺(jué)上失去了原有圖像的形態(tài)，第3章圖像變換5一般變換后的圖象，大部分能量都分布于低頻譜段，這對(duì)以后圖象的壓縮、傳輸都比較有利。經(jīng)過(guò)變換后的圖像更有利于特征抽取、增強(qiáng)、壓縮和圖像編碼。應(yīng)用于圖像濾波、圖像壓縮、圖像識(shí)別第3章圖像變換5一般變換后的圖象，大部分能量都分布于低頻譜段第3章圖像變換6采樣數(shù)減少一半第3章圖像變換6采樣數(shù)減少一半第3章圖像變換71、正向變換核、反向變換核2、可分離的3、正交變換對(duì)2-D的情況，正變換和逆變換分別表示為：A為實(shí)矩陣，稱(chēng)A為正交矩陣基礎(chǔ)知識(shí)第3章圖像變換71、正向變換核、反向變換核對(duì)2-D的情況，正第3章圖像變換8一維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換離散余弦變換（DCT）沃爾什變換和哈達(dá)嗎變換霍特林變換拉東變換第3章圖像變換8一維離散傅里葉變換第3章圖像變換93.2一維離散傅里葉變換

第3章圖像變換93.2一維離散傅里葉變換第3章圖像變換10一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比做一個(gè)玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分成不同顏色成分的物理儀器，每個(gè)成分的顏色由波長(zhǎng)(或頻率)決定。傅里葉變換可看做“數(shù)學(xué)的棱鏡”，將函數(shù)基于頻率分成不同的成分。當(dāng)我們考慮光時(shí)，討論它的光譜或頻率譜線(xiàn)。同樣，傅里葉變換使我們能夠通過(guò)頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。第3章圖像變換10一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比做一個(gè)玻璃棱第3章圖像變換11離散傅里葉變換有限長(zhǎng)序列變換核

定義

第3章圖像變換11離散傅里葉變換有限長(zhǎng)序列變換核定義第3章圖像變換12離散傅里葉變換矩陣形式

第3章圖像變換12離散傅里葉變換矩陣形式第3章圖像變換13離散傅里葉變換例第3章圖像變換13離散傅里葉變換例第3章圖像變換14離散傅里葉變換例…第3章圖像變換14離散傅里葉變換例…第3章圖像變換15離散傅里葉變換的性質(zhì)線(xiàn)性

如果則第3章圖像變換15離散傅里葉變換的性質(zhì)線(xiàn)性如果則第3章圖像變換16離散傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性

如果則第3章圖像變換16離散傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性如果則第3章圖像變換17離散傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)移性

如果則第3章圖像變換17離散傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)移性如果則第3章圖像變換18離散傅里葉變換的性質(zhì)頻移性

如果則第3章圖像變換18離散傅里葉變換的性質(zhì)頻移性如果則第3章圖像變換19離散傅里葉變換的性質(zhì)卷積定理

如果則第3章圖像變換19離散傅里葉變換的性質(zhì)卷積定理如果則第3章圖像變換203.3一維快速傅里葉變換

第3章圖像變換203.3一維快速傅里葉變換第3章圖像變換21基本思想變換矩陣第3章圖像變換21基本思想變換矩陣第3章圖像變換22基本思想變換矩陣元素③對(duì)稱(chēng)性②周期性①不必乘第3章圖像變換22基本思想變換矩陣元素③對(duì)稱(chēng)性②周期性①第3章圖像變換23基本思想由變換矩陣元素可見(jiàn)，利用矩陣元素的周期性與對(duì)稱(chēng)性之后，變換矩陣中許多元素相同。變換矩陣與輸入信號(hào)相乘過(guò)程中存在著不必要的重復(fù)計(jì)算。利用變換矩陣元素的周期性與對(duì)稱(chēng)性，合理安排（即避免）重復(fù)出現(xiàn)的相乘運(yùn)算，就能顯著減少計(jì)算工作量。改進(jìn)DFT的關(guān)鍵第3章圖像變換23基本思想由變換矩陣元素可見(jiàn)，利用矩陣元第3章圖像變換24一維FFTFFT重要環(huán)節(jié)重新安排計(jì)算次序矩陣分解第3章圖像變換24一維FFTFFT重要環(huán)節(jié)第3章圖像變換253.4二維離散傅里葉變換

第3章圖像變換253.4二維離散傅里葉變換第3章圖像變換26二維DFTMN圖像正變換核反變換核第3章圖像變換26二維DFTMN圖像正變換核反變換核第3章圖像變換27二維DFTF(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)幅度譜（頻率譜）

相位譜功率譜（譜密度

)第3章圖像變換27二維DFTF(u,v)=R(u,v)第3章圖像變換28傅里葉級(jí)數(shù)清楚地表明了信號(hào)由哪些頻率分量組成及其所占的比重，因而有利于對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析與處理。傅里葉變換是可分離和正交變換中的一個(gè)特例。對(duì)圖像的傅里葉變換：將圖像從圖像空間轉(zhuǎn)換到頻率空間，從而可利用傅里葉頻譜特性進(jìn)行圖像處理。第3章圖像變換28傅里葉級(jí)數(shù)清楚地表明了信號(hào)由哪些頻率分量第3章圖像變換29Matlab實(shí)現(xiàn)fft函數(shù)一維DFTfft2函數(shù)二維DFTfftn函數(shù)N維DFTifft函數(shù)一維IDFTifft2函數(shù)二維IDFTifftn函數(shù)N維IDFT

快速傅里葉變換函數(shù)第3章圖像變換29Matlab實(shí)現(xiàn)fft函數(shù)第3章圖像變換30Matlab實(shí)現(xiàn)

例簡(jiǎn)單圖像傅里葉變換譜對(duì)數(shù)傅里葉變換譜傅里葉變換中心譜第3章圖像變換30Matlab實(shí)現(xiàn)例簡(jiǎn)單圖像傅里葉變第3章圖像變換31d=zeros(32,32);d(13:20,13:20)=1;figure(1);imshow(d,’notruesize’);D=fft2(d);figure(2);imshow(abs(D),[-15],’notruesize’);%imshow(log(abs(D)),[-15],’notruesize’);%DF=fftshift(D);%imshow(log(abs(DF)),[-15],’notruesize’);第3章圖像變換31d=zeros(32,32);第3章圖像變換32在圖(b)中u方向譜的零點(diǎn)分隔恰好是v方向零點(diǎn)分隔的兩倍。這卻相反地符合圖像中1：2的矩形尺寸比例。

圖(a)顯示了在512×512像素尺寸的黑色背景上疊加一個(gè)20×40像素尺寸的白色矩形。

第3章圖像變換32在圖(b)中u方向譜的零點(diǎn)分隔恰好是v方第3章圖像變換33Matlab實(shí)現(xiàn)

例風(fēng)景圖像傅里葉變換中心譜第3章圖像變換33Matlab實(shí)現(xiàn)例風(fēng)景圖像傅里葉變第3章圖像變換34第3章圖像變換34第3章圖像變換35第3章圖像變換35第3章圖像變換36第3章圖像變換36第3章圖像變換37圖像的高頻項(xiàng)衰減的很快，在頻域不清楚第3章圖像變換37圖像的高頻項(xiàng)衰減的很快，在頻域不清楚第3章圖像變換38第3章圖像變換38第3章圖像變換39二維離散傅里葉變換是可分離變換中的一個(gè)特例。具有可分離變換核的二維變換的重要特點(diǎn)就是可以分成兩個(gè)步驟計(jì)算，每個(gè)步驟用一個(gè)一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。離散余弦變換沃爾什變換哈達(dá)嗎變換第3章圖像變換39二維離散傅里葉變換是可分離變換中的一個(gè)特例第3章圖像變換403.5離散余弦變換

第3章圖像變換403.5離散余弦變換第3章圖像變換41原圖余弦變換將大部分信息濾掉重構(gòu)圖像第3章圖像變換41原圖余弦變換將大部分信息濾掉重構(gòu)圖像第3章圖像變換42

余弦變換是傅里葉變換的一種特殊情況。在傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，如果被展開(kāi)的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，那么，其傅里葉級(jí)數(shù)中只包含余弦項(xiàng)，再將其離散化由此可導(dǎo)出余弦變換，或稱(chēng)之為離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，DCT）。

第3章圖像變換42余弦變換是傅里葉變換的一種特殊情況。在傅第3章圖像變換43一維DCT第3章圖像變換43一維DCT第3章圖像變換44二維DCT由于二維離散余弦變換的可分離性，二維DCT可以用一維DCT來(lái)實(shí)現(xiàn)

第3章圖像變換44二維DCT由于二維離散余弦變換的可分離性，第3章圖像變換45Matlab實(shí)現(xiàn)RGB=imread('image2.jpg');%裝入真彩圖像figure(1);imshow(RGB);%顯示彩色圖像GRAY=rgb2gray(RGB);%將真彩圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像figure(2);imshow(GRAY);%顯示灰度圖像DCT=dct2(GRAY);%進(jìn)行余弦變換figure(3);imshow(log(abs(DCT)),[]);%顯示余弦變換例第3章圖像變換45Matlab實(shí)現(xiàn)RGB=imread('i第3章圖像變換46Matlab實(shí)現(xiàn)

a原圖像b余弦變換例圖b左上角對(duì)應(yīng)低頻分量，圖a中的大部分能量在低頻部分。第3章圖像變換46Matlab實(shí)現(xiàn)a原圖像第3章圖像變換47兩圖給出離散余弦變換的一個(gè)示例，其中左圖是一幅原始圖象，右圖是對(duì)左圖的離散余弦變換結(jié)果（變換幅值）。右圖左上角對(duì)應(yīng)低頻分量，由圖可見(jiàn)，左圖中的大部分能量在低頻部分。

第3章圖像變換47兩圖給出離散余弦變換的一個(gè)示例，其中左圖是第3章圖像變換48應(yīng)用離散余弦變換在圖像壓縮中具有廣泛的應(yīng)用例如，在JPEG圖像壓縮算法中，首先將輸入圖像劃分為88的方塊，然后對(duì)每一個(gè)方塊執(zhí)行二維離散余弦變換，最后將變換得到的量化的DCT系數(shù)進(jìn)行編碼和傳送，形成壓縮后的圖像格式。在接收端，將量化的DCT系數(shù)進(jìn)行解碼，并對(duì)每個(gè)88方塊進(jìn)行二維IDCT，最后將操作完成后的塊組合成一幅完整的圖像。

第3章圖像變換48應(yīng)用離散余弦變換在圖像壓縮中具有廣第3章圖像變換493.6沃爾什和哈達(dá)瑪變換

第3章圖像變換493.6沃爾什和哈達(dá)瑪變換第3章圖像變換50離散沃爾什變換沃爾什變換具有某種能量集中。而且原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此沃爾什變換可以壓縮圖像信息。且變換比傅立葉變換快。沃爾什函數(shù)是1923年由美國(guó)數(shù)學(xué)家沃爾什(Walsh)提出的。由于沃爾什變換核矩陣中只有+1和-1兩種元素，因而在計(jì)算沃爾什變換過(guò)程中只有加減運(yùn)算而沒(méi)有乘法運(yùn)算，從而大大提高了運(yùn)算速度。這一點(diǎn)對(duì)圖像處理來(lái)說(shuō)至關(guān)重要，特別是在實(shí)時(shí)處理大量數(shù)據(jù)時(shí)，沃爾什變換更加顯示出其優(yōu)越性。第3章圖像變換50離散沃爾什變換沃爾什變換具有某種能量集中第3章圖像變換511-D沃爾什變換1-D的沃爾什正變換和反變換只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng)1/N第3章圖像變換511-D沃爾什變換第3章圖像變換52N值N=2p=1N=4p=2N=8p=3x值01012301234567x二進(jìn)制0100011011000001010011100101110111b0(x)01010101010101b1(x)001100110011b2(x)00001111第3章圖像變換52N值N=2N=4N=8x值01012301第3章圖像變換53N=2,4,8時(shí)的沃爾什變換核NN=2p=1N=4p=2N=8p=3xu010123012345670++++++++++++++1+-++--++++----2+-+-++--++--3+--+++----++4+-+-+-+-5+-+--+-+6+--++--+7+--+-++-第3章圖像變換53N=2,4,8時(shí)的沃爾什變換核NN=2N=第3章圖像變換54例：求N=4時(shí)沃爾什變換。第3章圖像變換54例：求N=4時(shí)沃爾什變換。第3章圖像變換55二維離散沃爾什變換是一維離散沃爾什變換的推廣（略）第3章圖像變換55二維離散沃爾什變換是一維離散沃爾什變換的推第3章圖像變換56第3章圖像變換56第3章圖像變換57哈達(dá)瑪變換本質(zhì)上是一種特殊排序的沃爾什變換；其與沃爾什變換的區(qū)別是變換核矩陣行的次序不同；哈達(dá)瑪變換最大優(yōu)點(diǎn)在于變換核矩陣具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系，即高階的變換矩陣可以用低階轉(zhuǎn)換矩陣構(gòu)成。（略）第3章圖像變換57哈達(dá)瑪變換本質(zhì)上是一種特殊排序的沃爾什變換第3章圖像變換583.7霍特林變換

第3章圖像變換583.7霍特林變換第3章圖像變換59第3章圖像變換59第3章圖像變換60霍特林變換霍特林（Hotelling）變換是一種基于圖像統(tǒng)計(jì)特性的變換霍特林變換可直接用于對(duì)數(shù)字圖像的變換它在連續(xù)域?qū)?yīng)的變換是KL（Karhunen-Loeve）變換霍特林變換：特征值變換、主分量變換、離散KL變換第3章圖像變換60霍特林變換霍特林（Hotelling第3章圖像變換61這種變換用于圖像壓縮、濾波和特征抽取時(shí)在均方誤差意義下是最優(yōu)的。但在實(shí)際應(yīng)用中往往不能獲得真正協(xié)方差矩陣，所以不一定有最優(yōu)效果。它的運(yùn)算較復(fù)雜且沒(méi)有統(tǒng)一的快速算法。第3章圖像變換61這種變換用于圖像壓縮、濾波和特征抽取時(shí)在均第3章圖像變換623.8Radon變換

第3章圖像變換623.8Radon變換第3章圖像變換63Radon變換Radon變換是計(jì)算圖像在某一指定角度射線(xiàn)方向上投影的變換方法二維函數(shù)的投影就是其在指定方向上的線(xiàn)積分在垂直方向上的二維線(xiàn)積分就是在x軸上的投影在水平方向上的二維線(xiàn)積分就是在y軸上的投影第3章圖像變換63Radon變換Radon變換是計(jì)算圖像在第3章圖像變換64Radon變換第3章圖像變換64Radon變換第3章圖像變換65Radon變換第3章圖像變換65Radon變換第3章圖像變換66Matlab實(shí)現(xiàn)[R,xp]=radon(I,theta)計(jì)算圖像在指定角度上的radon變換I表示需要變換的圖像Theta表示變換的角度R的各行返回theta中各方向上的radon變換值xp表示向量沿軸相應(yīng)的坐標(biāo)軸IR=iradon(R,theta)radon逆變換函數(shù)radon逆變換可以根據(jù)投影數(shù)據(jù)重建圖像,在X射線(xiàn)斷層攝影分析中常常使用第3章圖像變換66Matlab實(shí)現(xiàn)[R,xp]=rad第3章圖像變換67Matlab實(shí)現(xiàn)0°方向上的Radon變換原圖像45°方向上的Radon變換第3章圖像變換67Matlab實(shí)現(xiàn)0°方向上的Radon變第3章圖像變換68第3章圖像變換68第3章圖像變換69Matlab實(shí)現(xiàn)

原圖像連續(xù)角度的Radon變換第3章圖像變換69Matlab實(shí)現(xiàn)原圖像連續(xù)角度的R第3章圖像變換70第3章圖像變換70第3章圖像變換71目標(biāo)識(shí)別第3章圖像變換71目標(biāo)識(shí)別第3章圖像變換72小結(jié)第3章圖像變換72小結(jié)第3章圖像變換73謝謝第3章圖像變換73第3章圖像變換74離散哈達(dá)瑪變換一維離散哈達(dá)瑪變換

一維離散哈達(dá)瑪反變換

第3章圖像變換74離散哈達(dá)瑪變換一維離散哈達(dá)瑪變換一維離第3章圖像變換75離散哈達(dá)瑪變換第3章圖像變換75離散哈達(dá)瑪變換第3章圖像變換76離散哈達(dá)瑪變換二維離散哈達(dá)瑪變換

二維離散哈達(dá)瑪反變換

第3章圖像變換76離散哈達(dá)瑪變換二維離散哈達(dá)瑪變換二維離第3章圖像變換77一維FFT重新安排計(jì)算次序設(shè)N=2n，經(jīng)過(guò)n步計(jì)算后，其結(jié)果為fn(k)=F(l)其中k的二進(jìn)制表示為第3章圖像變換77一維FFT重新安排計(jì)算次序設(shè)N=2n，經(jīng)過(guò)第3章圖像變換78一維FFT矩陣分解當(dāng)N=2n，將變換矩陣分解成n個(gè)矩陣，使每個(gè)矩陣中每一行僅含有兩個(gè)非零元素。有兩種分解方法：一種是按時(shí)間分解一種是按頻率分解下面僅介紹按時(shí)間分解的FFT算法第3章圖像變換78一維FFT矩陣分解當(dāng)N=2n，將變第3章圖像變換79一維FFT矩陣分解u和x的二進(jìn)制表示為第3章圖像變換79一維FFT矩陣分解u和x的二進(jìn)制表示為第3章圖像變換80一維FFT矩陣分解N=8=23

第3章圖像變換80一維FFT矩陣分解N=8=23第3章圖像變換81一維FFT矩陣分解N=8=23

第3章圖像變換81一維FFT矩陣分解N=8=23第3章圖像變換82一維FFT矩陣分解矩陣表示第3章圖像變換82一維FFT矩陣分解矩陣表示第3章圖像變換83一維FFT矩陣分解矩陣表示第3章圖像變換83一維FFT矩陣分解矩陣表示第3章圖像變換84一維FFT矩陣分解矩陣表示第3章圖像變換84一維FFT矩陣分解矩陣表示第3章圖像變換85一維FFTFFT流程圖N=8時(shí)FFT流程圖第3章圖像變換85一維FFTFFT流程圖N=8時(shí)FFT流程圖第3章圖像變換86一維FFTFFT流程圖(1)整個(gè)流程需要的計(jì)算步數(shù)為n=log2N(N=2n)；(2)在第r步計(jì)算中，要乘的因子為(3)第r步計(jì)算中有2r-1個(gè)組，每組有（N/2r-1）個(gè)元素，每組的W因子各不相同，且每組只有一種類(lèi)型的W因子，此因子在組中上一半為正，下一半為負(fù)。第3章圖像變換86一維FFTFFT流程圖(1)整個(gè)流程需要第3章圖像變換87一維FFTFFT流程圖(4)對(duì)比DFT與IDFT的定義式，只要將上述FFT算法中W因子用其共軛代替，并將最后結(jié)果乘以1/N，就是計(jì)算IDFT即離散傅里葉反變換的快速算法。(5)在每步計(jì)算中，需要的乘法次數(shù)N/2，加法次數(shù)為N，因此FFT的總計(jì)算量為：乘法次數(shù)為加法次數(shù)為而直接計(jì)算DFT的計(jì)算量為：乘法次數(shù)為N2，加法次數(shù)為N(N-1)。當(dāng)N=2048時(shí)，DFT需要4194304次乘法運(yùn)算，而FFT只需要11264次乘法運(yùn)算，二者之比為第3章圖像變換87一維FFTFFT流程圖(4)對(duì)比DFT與第3章圖像變換88二維DFT性質(zhì)分離性

第3章圖像變換88二維DFT性質(zhì)分離性第3章圖像變換89二維DFT性質(zhì)線(xiàn)性

如果則第3章圖像變換89二維DFT性質(zhì)線(xiàn)性如果則第3章圖像變換90二維DFT性質(zhì)周期性與共軛對(duì)稱(chēng)性

如果則第3章圖像變換90二維DFT性質(zhì)周期性與共軛對(duì)稱(chēng)性如果則第3章圖像變換91二維DFT性質(zhì)位移性

如果則第3章圖像變換91二維DFT性質(zhì)位移性如果則第3章圖像變換92二維DFT性質(zhì)尺度變換

如果則第3章圖像變換92二維DFT性質(zhì)尺度變換如果則第3章圖像變換93二維DFT性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性

如果則第3章圖像變換93二維DFT性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性如果則第3章圖像變換94二維DFT性質(zhì)平均值

u=v=0第3章圖像變換94二維DFT性質(zhì)平均值u=v=0第3章圖像變換95二維FFT基于二維離散傅里葉變換的分離性，二維離散FFT算法可以用兩個(gè)一維FFT算法來(lái)實(shí)現(xiàn)第3章圖像變換95二維FFT基于二維離散傅里葉變換的分離性，第3章圖像變換96二維FFT第3章圖像變換96二維FFT第3章圖像變換97第3章圖像變換97第3章圖像變換98數(shù)字圖像處理第3章圖像變換1數(shù)字圖像處理第3章圖像變換99第三章圖像變換第3章圖像變換2第三章圖像變換第3章圖像變換1003.1概述第3章圖像變換33.1概述第3章圖像變換101圖像變換使圖像在視覺(jué)上失去了原有圖像的形態(tài)，盡管視覺(jué)上不同，但是保留了很多本質(zhì)特征。第3章圖像變換4圖像變換使圖像在視覺(jué)上失去了原有圖像的形態(tài)，第3章圖像變換102一般變換后的圖象，大部分能量都分布于低頻譜段，這對(duì)以后圖象的壓縮、傳輸都比較有利。經(jīng)過(guò)變換后的圖像更有利于特征抽取、增強(qiáng)、壓縮和圖像編碼。應(yīng)用于圖像濾波、圖像壓縮、圖像識(shí)別第3章圖像變換5一般變換后的圖象，大部分能量都分布于低頻譜段第3章圖像變換103采樣數(shù)減少一半第3章圖像變換6采樣數(shù)減少一半第3章圖像變換1041、正向變換核、反向變換核2、可分離的3、正交變換對(duì)2-D的情況，正變換和逆變換分別表示為：A為實(shí)矩陣，稱(chēng)A為正交矩陣基礎(chǔ)知識(shí)第3章圖像變換71、正向變換核、反向變換核對(duì)2-D的情況，正第3章圖像變換105一維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換離散余弦變換（DCT）沃爾什變換和哈達(dá)嗎變換霍特林變換拉東變換第3章圖像變換8一維離散傅里葉變換第3章圖像變換1063.2一維離散傅里葉變換

第3章圖像變換93.2一維離散傅里葉變換第3章圖像變換107一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比做一個(gè)玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分成不同顏色成分的物理儀器，每個(gè)成分的顏色由波長(zhǎng)(或頻率)決定。傅里葉變換可看做“數(shù)學(xué)的棱鏡”，將函數(shù)基于頻率分成不同的成分。當(dāng)我們考慮光時(shí)，討論它的光譜或頻率譜線(xiàn)。同樣，傅里葉變換使我們能夠通過(guò)頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。第3章圖像變換10一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比做一個(gè)玻璃棱第3章圖像變換108離散傅里葉變換有限長(zhǎng)序列變換核

定義

第3章圖像變換11離散傅里葉變換有限長(zhǎng)序列變換核定義第3章圖像變換109離散傅里葉變換矩陣形式

第3章圖像變換12離散傅里葉變換矩陣形式第3章圖像變換110離散傅里葉變換例第3章圖像變換13離散傅里葉變換例第3章圖像變換111離散傅里葉變換例…第3章圖像變換14離散傅里葉變換例…第3章圖像變換112離散傅里葉變換的性質(zhì)線(xiàn)性

如果則第3章圖像變換15離散傅里葉變換的性質(zhì)線(xiàn)性如果則第3章圖像變換113離散傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性

如果則第3章圖像變換16離散傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性如果則第3章圖像變換114離散傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)移性

如果則第3章圖像變換17離散傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)移性如果則第3章圖像變換115離散傅里葉變換的性質(zhì)頻移性

如果則第3章圖像變換18離散傅里葉變換的性質(zhì)頻移性如果則第3章圖像變換116離散傅里葉變換的性質(zhì)卷積定理

如果則第3章圖像變換19離散傅里葉變換的性質(zhì)卷積定理如果則第3章圖像變換1173.3一維快速傅里葉變換

第3章圖像變換203.3一維快速傅里葉變換第3章圖像變換118基本思想變換矩陣第3章圖像變換21基本思想變換矩陣第3章圖像變換119基本思想變換矩陣元素③對(duì)稱(chēng)性②周期性①不必乘第3章圖像變換22基本思想變換矩陣元素③對(duì)稱(chēng)性②周期性①第3章圖像變換120基本思想由變換矩陣元素可見(jiàn)，利用矩陣元素的周期性與對(duì)稱(chēng)性之后，變換矩陣中許多元素相同。變換矩陣與輸入信號(hào)相乘過(guò)程中存在著不必要的重復(fù)計(jì)算。利用變換矩陣元素的周期性與對(duì)稱(chēng)性，合理安排（即避免）重復(fù)出現(xiàn)的相乘運(yùn)算，就能顯著減少計(jì)算工作量。改進(jìn)DFT的關(guān)鍵第3章圖像變換23基本思想由變換矩陣元素可見(jiàn)，利用矩陣元第3章圖像變換121一維FFTFFT重要環(huán)節(jié)重新安排計(jì)算次序矩陣分解第3章圖像變換24一維FFTFFT重要環(huán)節(jié)第3章圖像變換1223.4二維離散傅里葉變換

第3章圖像變換253.4二維離散傅里葉變換第3章圖像變換123二維DFTMN圖像正變換核反變換核第3章圖像變換26二維DFTMN圖像正變換核反變換核第3章圖像變換124二維DFTF(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)幅度譜（頻率譜）

相位譜功率譜（譜密度

)第3章圖像變換27二維DFTF(u,v)=R(u,v)第3章圖像變換125傅里葉級(jí)數(shù)清楚地表明了信號(hào)由哪些頻率分量組成及其所占的比重，因而有利于對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析與處理。傅里葉變換是可分離和正交變換中的一個(gè)特例。對(duì)圖像的傅里葉變換：將圖像從圖像空間轉(zhuǎn)換到頻率空間，從而可利用傅里葉頻譜特性進(jìn)行圖像處理。第3章圖像變換28傅里葉級(jí)數(shù)清楚地表明了信號(hào)由哪些頻率分量第3章圖像變換126Matlab實(shí)現(xiàn)fft函數(shù)一維DFTfft2函數(shù)二維DFTfftn函數(shù)N維DFTifft函數(shù)一維IDFTifft2函數(shù)二維IDFTifftn函數(shù)N維IDFT

快速傅里葉變換函數(shù)第3章圖像變換29Matlab實(shí)現(xiàn)fft函數(shù)第3章圖像變換127Matlab實(shí)現(xiàn)

例簡(jiǎn)單圖像傅里葉變換譜對(duì)數(shù)傅里葉變換譜傅里葉變換中心譜第3章圖像變換30Matlab實(shí)現(xiàn)例簡(jiǎn)單圖像傅里葉變第3章圖像變換128d=zeros(32,32);d(13:20,13:20)=1;figure(1);imshow(d,’notruesize’);D=fft2(d);figure(2);imshow(abs(D),[-15],’notruesize’);%imshow(log(abs(D)),[-15],’notruesize’);%DF=fftshift(D);%imshow(log(abs(DF)),[-15],’notruesize’);第3章圖像變換31d=zeros(32,32);第3章圖像變換129在圖(b)中u方向譜的零點(diǎn)分隔恰好是v方向零點(diǎn)分隔的兩倍。這卻相反地符合圖像中1：2的矩形尺寸比例。

圖(a)顯示了在512×512像素尺寸的黑色背景上疊加一個(gè)20×40像素尺寸的白色矩形。

第3章圖像變換32在圖(b)中u方向譜的零點(diǎn)分隔恰好是v方第3章圖像變換130Matlab實(shí)現(xiàn)

例風(fēng)景圖像傅里葉變換中心譜第3章圖像變換33Matlab實(shí)現(xiàn)例風(fēng)景圖像傅里葉變第3章圖像變換131第3章圖像變換34第3章圖像變換132第3章圖像變換35第3章圖像變換133第3章圖像變換36第3章圖像變換134圖像的高頻項(xiàng)衰減的很快，在頻域不清楚第3章圖像變換37圖像的高頻項(xiàng)衰減的很快，在頻域不清楚第3章圖像變換135第3章圖像變換38第3章圖像變換136二維離散傅里葉變換是可分離變換中的一個(gè)特例。具有可分離變換核的二維變換的重要特點(diǎn)就是可以分成兩個(gè)步驟計(jì)算，每個(gè)步驟用一個(gè)一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。離散余弦變換沃爾什變換哈達(dá)嗎變換第3章圖像變換39二維離散傅里葉變換是可分離變換中的一個(gè)特例第3章圖像變換1373.5離散余弦變換

第3章圖像變換403.5離散余弦變換第3章圖像變換138原圖余弦變換將大部分信息濾掉重構(gòu)圖像第3章圖像變換41原圖余弦變換將大部分信息濾掉重構(gòu)圖像第3章圖像變換139

余弦變換是傅里葉變換的一種特殊情況。在傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，如果被展開(kāi)的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，那么，其傅里葉級(jí)數(shù)中只包含余弦項(xiàng)，再將其離散化由此可導(dǎo)出余弦變換，或稱(chēng)之為離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，DCT）。

第3章圖像變換42余弦變換是傅里葉變換的一種特殊情況。在傅第3章圖像變換140一維DCT第3章圖像變換43一維DCT第3章圖像變換141二維DCT由于二維離散余弦變換的可分離性，二維DCT可以用一維DCT來(lái)實(shí)現(xiàn)

第3章圖像變換44二維DCT由于二維離散余弦變換的可分離性，第3章圖像變換142Matlab實(shí)現(xiàn)RGB=imread('image2.jpg');%裝入真彩圖像figure(1);imshow(RGB);%顯示彩色圖像GRAY=rgb2gray(RGB);%將真彩圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像figure(2);imshow(GRAY);%顯示灰度圖像DCT=dct2(GRAY);%進(jìn)行余弦變換figure(3);imshow(log(abs(DCT)),[]);%顯示余弦變換例第3章圖像變換45Matlab實(shí)現(xiàn)RGB=imread('i第3章圖像變換143Matlab實(shí)現(xiàn)

a原圖像b余弦變換例圖b左上角對(duì)應(yīng)低頻分量，圖a中的大部分能量在低頻部分。第3章圖像變換46Matlab實(shí)現(xiàn)a原圖像第3章圖像變換144兩圖給出離散余弦變換的一個(gè)示例，其中左圖是一幅原始圖象，右圖是對(duì)左圖的離散余弦變換結(jié)果（變換幅值）。右圖左上角對(duì)應(yīng)低頻分量，由圖可見(jiàn)，左圖中的大部分能量在低頻部分。

第3章圖像變換47兩圖給出離散余弦變換的一個(gè)示例，其中左圖是第3章圖像變換145應(yīng)用離散余弦變換在圖像壓縮中具有廣泛的應(yīng)用例如，在JPEG圖像壓縮算法中，首先將輸入圖像劃分為88的方塊，然后對(duì)每一個(gè)方塊執(zhí)行二維離散余弦變換，最后將變換得到的量化的DCT系數(shù)進(jìn)行編碼和傳送，形成壓縮后的圖像格式。在接收端，將量化的DCT系數(shù)進(jìn)行解碼，并對(duì)每個(gè)88方塊進(jìn)行二維IDCT，最后將操作完成后的塊組合成一幅完整的圖像。

第3章圖像變換48應(yīng)用離散余弦變換在圖像壓縮中具有廣第3章圖像變換1463.6沃爾什和哈達(dá)瑪變換

第3章圖像變換493.6沃爾什和哈達(dá)瑪變換第3章圖像變換147離散沃爾什變換沃爾什變換具有某種能量集中。而且原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此沃爾什變換可以壓縮圖像信息。且變換比傅立葉變換快。沃爾什函數(shù)是1923年由美國(guó)數(shù)學(xué)家沃爾什(Walsh)提出的。由于沃爾什變換核矩陣中只有+1和-1兩種元素，因而在計(jì)算沃爾什變換過(guò)程中只有加減運(yùn)算而沒(méi)有乘法運(yùn)算，從而大大提高了運(yùn)算速度。這一點(diǎn)對(duì)圖像處理來(lái)說(shuō)至關(guān)重要，特別是在實(shí)時(shí)處理大量數(shù)據(jù)時(shí)，沃爾什變換更加顯示出其優(yōu)越性。第3章圖像變換50離散沃爾什變換沃爾什變換具有某種能量集中第3章圖像變換1481-D沃爾什變換1-D的沃爾什正變換和反變換只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng)1/N第3章圖像變換511-D沃爾什變換第3章圖像變換149N值N=2p=1N=4p=2N=8p=3x值01012301234567x二進(jìn)制0100011011000001010011100101110111b0(x)01010101010101b1(x)001100110011b2(x)00001111第3章圖像變換52N值N=2N=4N=8x值01012301第3章圖像變換150N=2,4,8時(shí)的沃爾什變換核NN=2p=1N=4p=2N=8p=3xu010123012345670++++++++++++++1+-++--++++----2+-+-++--++--3+--+++----++4+-+-+-+-5+-+--+-+6+--++--+7+--+-++-第3章圖像變換53N=2,4,8時(shí)的沃爾什變換核NN=2N=第3章圖像變換151例：求N=4時(shí)沃爾什變換。第3章圖像變換54例：求N=4時(shí)沃爾什變換。第3章圖像變換152二維離散沃爾什變換是一維離散沃爾什變換的推廣（略）第3章圖像變換55二維離散沃爾什變換是一維離散沃爾什變換的推第3章圖像變換153第3章圖像變換56第3章圖像變換154哈達(dá)瑪變換本質(zhì)上是一種特殊排序的沃爾什變換；其與沃爾什變換的區(qū)別是變換核矩陣行的次序不同；哈達(dá)瑪變換最大優(yōu)點(diǎn)在于變換核矩陣具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系，即高階的變換矩陣可以用低階轉(zhuǎn)換矩陣構(gòu)成。（略）第3章圖像變換57哈達(dá)瑪變換本質(zhì)上是一種特殊排序的沃爾什變換第3章圖像變換1553.7霍特林變換

第3章圖像變換583.7霍特林變換第3章圖像變換156第3章圖像變換59第3章圖像變換157霍特林變換霍特林（Hotelling）變換是一種基于圖像統(tǒng)計(jì)特性的變換霍特林變換可直接用于對(duì)數(shù)字圖像的變換它在連續(xù)域?qū)?yīng)的變換是KL（Karhunen-Loeve）變換霍特林變換：特征值變換、主分量變換、離散KL變換第3章圖像變換60霍特林變換霍特林（Hotelling第3章圖像變換158這種變換用于圖像壓縮、濾波和特征抽取時(shí)在均方誤差意義下是最優(yōu)的。但在實(shí)際應(yīng)用中往往不能獲得真正協(xié)方差矩陣，所以不一定有最優(yōu)效果。它的運(yùn)算較復(fù)雜且沒(méi)有統(tǒng)一的快速算法。第3章圖像變換61這種變換用于圖像壓縮、濾波和特征抽取時(shí)在均第3章圖像變換1593.8Radon變換

第3章圖像變換623.8Radon變換第3章圖像變換160Radon變換Radon變換是計(jì)算圖像在某一指定角度射線(xiàn)方向上投影的變換方法二維函數(shù)的投影就是其在指定方向上的線(xiàn)積分在垂直方向上的二維線(xiàn)積分就是在x軸上的投影在水平方向上的二維線(xiàn)積分就是在y軸上的投影第3章圖像變換63Radon變換Radon變換是計(jì)算圖像在第3章圖像變換161Radon變換第3章圖像變換64Radon變換第3章圖像變換162Radon變換第3章圖像變換65Radon變換第3章圖像變換163Matlab實(shí)現(xiàn)[R,xp]=radon(I,theta)計(jì)算圖像在指定角度上的radon變換I表示需要變換的圖像Theta表示變換的角度R的各行返回theta中各方向上的radon變換值xp表示向量沿軸相應(yīng)的坐標(biāo)軸IR=iradon(R,theta)radon逆變換函數(shù)radon逆變換可以根據(jù)投影數(shù)據(jù)重建圖像,在X射線(xiàn)斷層攝影分析中常常使用第3章圖像變換66Matlab實(shí)現(xiàn)[R,xp]=rad第3章圖像變換164Matlab實(shí)現(xiàn)0°方向上的Radon變換原圖像45°方向上的Radon變換第3章圖像變換67Matlab實(shí)現(xiàn)0°方向上的Radon變第3章圖像變換165第3章圖像變換68第3章圖像變換166Matlab實(shí)現(xiàn)

原圖像連續(xù)角度的Radon變換第3章圖像變換69Matlab實(shí)現(xiàn)原圖像連續(xù)角度的R第3章圖像變換167第3章圖像變換70第3章圖像變換168目標(biāo)識(shí)別第3章圖像變換71目標(biāo)識(shí)別第3章圖像變換169小結(jié)第3章圖像變換72小結(jié)第3章圖像變換170謝謝第3章圖像變換73第3章圖像變換171離散哈達(dá)瑪變換一維離散哈達(dá)瑪變換

一維離散哈達(dá)瑪反變換

第3章圖像變換74離散哈達(dá)瑪變換一維離散哈達(dá)瑪變換一維離第3章圖像變換172離散哈達(dá)瑪變換第3章圖像變換75離散哈達(dá)瑪變換第3章圖像變換173離散哈達(dá)瑪變換二維離散哈達(dá)瑪變換

二維離散哈達(dá)瑪反變換

第3章圖像變換76離散哈達(dá)瑪變換二維離散哈達(dá)瑪變換二維離第3章圖像變換174一維FFT重新安排計(jì)算次序設(shè)N=2n，經(jīng)過(guò)n步計(jì)算后，其結(jié)果為fn(k)=F(l)其中k