隨機事件的概率

隨機事件的概率在第二次世界大戰(zhàn)中，美國曾經(jīng)宣布：一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用超過10個師的兵力．這句話有一個非同尋常的來歷．1943年以前，在大西洋上英美運輸船隊常常受到德國潛艇的襲擊，當(dāng)時，英美兩國限于實力，無力增派更多的護航艦，一時間，德軍的“潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額．

1名數(shù)學(xué)家＝10個師為此，有位美國海軍將領(lǐng)專門去請教了幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運用概率論分析后得出，艦隊與敵潛艇相遇是一個隨機事件，從數(shù)學(xué)角度來看這一問題，它具有一定的規(guī)律性．一定數(shù)量的船（為100艘）編隊規(guī)模越小，編次就越多（為每次20艘，就要有5個編次），編次越多，與敵人相遇的概率就越大．

美國海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令艦隊在指定海域集合，再集體通過危險海域，然后各自駛向預(yù)定港口.結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊遭襲被擊沉的概率由原來的25％降為1％，大大減少了損失，保證了物資的及時供應(yīng)．在自然界和實際生活中，我們會遇到各種各樣的現(xiàn)象．如果從結(jié)果能否預(yù)知的角度來看，可以分為兩大類：

另一類現(xiàn)象的結(jié)果是無法預(yù)知的，即在一定的條件下，出現(xiàn)那種結(jié)果是無法預(yù)先確定的，這類現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象．

一類現(xiàn)象的結(jié)果總是確定的，即在一定的條件下，它所出現(xiàn)的結(jié)果是可以預(yù)知的，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象；下面各事件的發(fā)生與否，各有什么特點？（1）導(dǎo)體通電時發(fā)熱；（6）在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化．（5）拋一枚硬幣，正面朝上；（4）在常溫下，鐵熔化；（3）拋一石塊，下落；（2）李強射擊一次，中靶；

必然事件：在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫做必然事件.比如：“（1）導(dǎo)體通電時發(fā)熱”，“（3）拋一石塊，下落”都是必然事件．一.必然事件、不可能事件、隨機事件

不可能事件：在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫做不可能事件.

比如：“（4）在常溫下，鐵能熔化”，“（6）在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”，都是不可能事件．

隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做隨機事件.比如“（2）李強射擊一次，中靶”，“（5）擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”都是隨機事件．

注意：隨機事件要搞清楚什么是隨機事件的條件和結(jié)果。

事件的結(jié)果是相應(yīng)于“一定條件而言的。因此，要弄清某一隨機事件必須明確何為事件發(fā)生的條件，何為在此條件下產(chǎn)生的結(jié)果。

例題分析例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是隨機事件？（2）沒有空氣，動物也能生存下去；（5）某一天內(nèi)電話收到的呼叫次數(shù)為0；

（6）一個袋內(nèi)裝有性狀大小相同的一個白球和一個黑球，從中任意摸出1個球則為白球．（1）若都是實數(shù)，則；（3）在標準大氣壓下，水在溫度時沸騰；（4）直線過定點；二.概率的定義及其理解

隨機事件及其概率

要了解隨機事件發(fā)生的可能性大小，最直接的方法就是試驗。實例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性

例如，歷史上曾有人做過拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗，結(jié)果如下表：拋擲次數(shù)()正面向上次數(shù)（頻數(shù)）頻率（）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120500530000149840.499672088361240.5011隨機事件及其概率

當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時，出現(xiàn)正面的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數(shù)0.5，在它左右擺動．

隨機事件及其概率1.頻數(shù)，頻率的定義：

在相同條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=nA/n為事件A出現(xiàn)的頻率。

2.頻率的取值范圍是什么？

概率的定義

在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A

發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A

的概率．隨機事件及其概率0.9510.9540.940.970.920.9優(yōu)等品頻率19029544701949245優(yōu)等品數(shù)2000100050020010050抽取球數(shù)某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果表：當(dāng)抽查的球數(shù)很多時，抽到優(yōu)等品的頻率接近于常數(shù)0.95，在它附近擺動。（1）頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率。（2）頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定。（3）概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗無關(guān)。

概率與頻率的關(guān)系：注意以下幾點：

（1）求一個事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗；

（3）概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；（2）只有當(dāng)頻率在某個常數(shù)附近擺動時，這個常數(shù)才叫做事件的概率；（4）概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小；（5）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0．因此．

[讀教材·填要點]1．概率在相同條件下，大量重復(fù)進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個

附近擺動，即隨機事件A發(fā)生的頻率具有

性．這時，我們把這個常數(shù)叫作隨機事件A的概率，記為P(A)．常數(shù)穩(wěn)定2．頻率與概率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的

，但頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機事件發(fā)生的

大小．在實際問題中，某些隨機事件的概率往往難以確切得到，常常通過做大量的重復(fù)試驗，用隨機事件發(fā)生的

作為它的概率的估計值．頻繁程度可能性的頻率3．隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但是隨機性中含有規(guī)律性．認識了這種隨機性中的規(guī)律性，就能使我們比較準確地預(yù)測隨機事件發(fā)生的可能性．概率只是度量事件發(fā)生的可能性的

，不能確定是否發(fā)生．

4．任何事件的概率是區(qū)間[0,1]上的一個確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的

大小．小概率(接近于0)事件不是不發(fā)生，而是很少發(fā)生，大概率(接近于1)事件不是一定發(fā)生，而是經(jīng)常發(fā)生．大小可能性0.750.800.750.780.700.75這位運動員投籃一次進球的概率P≈0.76.[自主解答]把一顆均勻的骰子擲6次相當(dāng)于做6次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都是隨機的，所以做6次試驗的結(jié)果也是隨機的．這就是說，每擲一次總是隨機地出現(xiàn)一個點數(shù)，可以是1點，2點，也可以是其他點數(shù)，不一定出現(xiàn)6點．所以擲一顆骰子得到6點的概率是16，并不意味著把它擲6次能得到1次6點．隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，而概率恰是其規(guī)律在數(shù)量上的反映，概率是客觀存在的，它與試驗次數(shù)沒有關(guān)系．

擲一枚硬幣，出現(xiàn)“正面朝上”的概率為0.5，是指一枚硬幣擲兩次恰出現(xiàn)1次“正面朝上”嗎？如果不是，應(yīng)如何理解？思考：提示：不是.擲一枚硬幣，出現(xiàn)“正面朝上”的概率為0.5，是指出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”的機會相等.一枚硬幣擲兩次恰出現(xiàn)1次“正面朝上”的可能性是0.5.思考：有四個鬮，其中兩個分別代表兩件獎品，四個人按順序依次抓鬮來決定這兩件獎品的歸屬.先抓的人中獎概率一定大嗎？為此，北京市某學(xué)校高一（5）班的學(xué)生做了如下模擬活動：口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，白球代表獎品，每4人一組，按順序依次從中摸出一個球并記錄結(jié)果.每組重復(fù)試驗20次.匯總了8組學(xué)生的數(shù)據(jù)得到的結(jié)果如下：第一個人摸到白球第二個人摸到白球第三個人摸到白球第四個人摸到白球出現(xiàn)的次數(shù)78838079出現(xiàn)的頻率0.487500.518750.500000.49375你認為每個人摸到白球的機會相等嗎？思考：提示：相等，都約等于0.5.摸獎的次序?qū)χ歇劼蕸]有影響.在一場乒乓球比賽前，必須要決定由誰先發(fā)球，并保證具有公平性，你知道裁判員常用什么方法確定發(fā)球權(quán)嗎？其公平性是如何體現(xiàn)出來的？思考：裁判員拿出一個抽簽器，它是－個像大硬幣似的均勻塑料圓板，一面是紅圈，一面是綠圈，然后隨意指定一名運動員，要他猜上拋的抽簽器落到球臺上時，是紅圈那面朝上還是綠圈那面朝上.如果他猜對了，就由他先發(fā)球，否則，由另一方先發(fā)球.兩方取得發(fā)球權(quán)的概率都是0.5.【規(guī)律總結(jié)】概率和日常生活有著密切的聯(lián)系，對于生活中的隨機事件，我們可以利用概率知識作出合理地判斷與決策.例如，“明天的降水概率為70％”，在明天出門時我們會選擇帶上雨傘；“買1張體育彩票中特等獎的概率約為”,我們在買體育彩票時就應(yīng)抱著一種平常的心態(tài)，不要沉溺于中特等獎的夢想之中.1.在給病人動手術(shù)之前，外科醫(yī)生會告知病人或家屬一些情況，其中有一項是說這種手術(shù)的成功率大約是99%，下列解釋正確的是()A.100個手術(shù)有99個手術(shù)成功，有1個手術(shù)失敗B.這個手術(shù)一定成功C.99%的醫(yī)生能做這個手術(shù)，另外1%的醫(yī)生不能做這個手術(shù)D.這個手術(shù)成功的可能性是99%D2.從一批準備出廠的電視機中隨機抽取10臺進行質(zhì)量檢查，其中有1臺是次品.若用C表示抽到次品這一事件，則對C這一事件發(fā)生的說法正確的是()A.概率為B.頻率為C.概率大于D.每抽10臺電視機，必有1臺次品B3.在生活中，我們有時要用抽簽的方法來決定一件事情.例如，5張票中有1張獎票，5個人按順序從中各抽1張以決定誰得到其中的獎票，那么，先抽或是后抽（后抽的人不知道先抽的人抽出的結(jié)果）對各人來說公平嗎？也就是說，各人抽到獎票的概率相等嗎？解：公平，不妨把問題轉(zhuǎn)化為排序問題，即把5張票隨機地排列在位置1，2，3，4，5上，對于這張獎票來說，由于5張票是隨機排列的，因此它的位置有5種可能，故它排在任一位置上的概率都是.5個人按排定的順序去抽，比如甲排在第1位上，那么他抽得獎票