〔江蘇專用〕2022版高考數(shù)學二輪復習專題六概率、統(tǒng)計、復數(shù)、算法、推理與證明第2講統(tǒng)計學案文蘇教版PAGE23-第2講統(tǒng)計[2022考向導航]考點掃描三年考情考向預測2022202220221．抽樣方法第3題統(tǒng)計這一講的內容在江蘇高考中以填空題的形式來考查，主要考查抽樣方法、總體分布的估計、總體特征數(shù)的估計．對抽樣方法、頻率分布直方圖的識圖與運用和總體估計的考查是重點．2．統(tǒng)計與數(shù)據(jù)處理第5題第3題1．隨機抽樣(1)簡單隨機抽樣特點為從總體中逐個抽取，適用范圍：總體中的個體數(shù)較少．(2)系統(tǒng)抽樣特點是將總體均分成幾局部，按事先確定的規(guī)那么在各局部中抽取，適用范圍：總體中的個體數(shù)較多．(3)分層抽樣特點是將總體分成幾層，分層進行抽取，適用范圍：總體由差異明顯的幾局部組成．2．常用的統(tǒng)計圖表(1)頻率分布直方圖①小矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率；②各小矩形的面積之和等于1；③小矩形的高＝eq\f(頻率,組距)，所有小矩形的高的和為eq\f(1,組距)．(2)莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好．3．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小矩形底邊中點的橫坐標中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分成左右兩邊面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和(2)方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．標準差：s＝eq\r(\f(1,n)[〔x1－\o(x,\s\up6(－))〕2＋〔x2－\o(x,\s\up6(－))〕2＋…＋〔xn－\o(x,\s\up6(－))〕2])．抽樣方法[典型例題](1)(2022·南通市高三調研)為調查某高校學生對“一帶一路〞政策的了解情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取一個容量為500的樣本，其中大一年級抽取200人，大二年級抽取100人．假設其他年級共有學生3000人，那么該校學生總人數(shù)是________．(2)(2022·江蘇名校高三入學摸底)某班有學生45人，現(xiàn)將所有學生按1，2，3，…，45隨機編號，并采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取5名學生參加學習情況問卷調查，抽取的學生的編號分別為3，a，21，b，39，那么a＋b＝________．【解析】(1)設該校學生總人數(shù)為n，那么eq\f(500－200－100,500)＝eq\f(3000,n)，解得n＝7500．(2)由系統(tǒng)抽樣的知識得，抽取的5個編號依次為3，12，21，30，39，所以a＋b＝12＋30＝42．【答案】(1)7500(2)42eq\a\vs4\al()分層抽樣(1)要點：總體分層，按照比例，獨立抽??；(2)適合范圍：總體可以分層，層與層之間有明顯差異，而層內個體差異較小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層在總體中所占比例抽取．系統(tǒng)抽樣(1)要點：個體編號，確定間隔，隨機選一，等距抽?。?2)當eq\f(N,n)(N為總體中個體數(shù)目，n為樣本容量)不是整數(shù)時，先從總體中隨機剔除一些個體；在每一個間隔中，采用簡單隨機抽樣抽取第一個個體．[對點訓練]1．一支田徑隊有男女運發(fā)動98人，其中男運發(fā)動有56人．按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運發(fā)動中抽出一個容量為28的樣本，那么應抽取女運發(fā)動的人數(shù)是________．[解析]依題意，女運發(fā)動有98－56＝42(人)．設應抽取女運發(fā)動x人，根據(jù)分層抽樣特點，得eq\f(x,42)＝eq\f(28,98)，解得x＝12．[答案]122．某公路設計院有工程師6人，技術員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個人參加市里召開的科學技術大會．如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個體；如果參會人數(shù)增加1個，那么在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，那么n＝________．[解析]總體容量為6＋12＋18＝36．當樣本容量是n時，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(36,n)，分層抽樣的比例是eq\f(n,36)，抽取的工程師人數(shù)為eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)，技術員人數(shù)為eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，技工人數(shù)為eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，所以n應是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n＝6，12，18．當樣本容量為(n＋1)時，總體容量是35人，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(35,n＋1)，因為eq\f(35,n＋1)必須是整數(shù)，所以n只能取6．即樣本容量n＝6．[答案]6統(tǒng)計與數(shù)據(jù)處理[典型例題](1)(2022·高考江蘇卷)一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，那么該組數(shù)據(jù)的方差是________．(2)(2022·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(一))某電商聯(lián)盟在“雙11〞狂歡節(jié)促銷活動中，對11月11日9時到14時的銷售額進行統(tǒng)計，得到如下圖的頻率分布直方圖．13時到14時的銷售額為4．5萬元，那么10時到13時的銷售額為________萬元．【解析】(1)數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10的平均數(shù)是eq\f(6＋7＋8＋8＋9＋10,6)＝8，那么方差是eq\f(4＋1＋0＋0＋1＋4,6)＝eq\f(5,3)．(2)設10時到13時的銷售額為x萬元，由題圖可知13時到14時的銷售額與10時到13時的銷售額的比值為eq\f(0．10,0．15＋0．40＋0．25)＝eq\f(1,8)，又13時到14時的銷售額為4．5萬元，所以eq\f(4．5,x)＝eq\f(1,8)，解得x＝36，所以10時到13時的銷售額為36萬元．【答案】(1)0．1(2)36eq\a\vs4\al()注意區(qū)分直方圖與條形圖，條形圖中的縱坐標刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖中的縱坐標刻度為頻率/組距．描述數(shù)據(jù)的數(shù)字特征有平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差等，其中平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)描述其集中趨勢，方差反映各個數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的離散程度．解題時重在理解概念、公式并正確進行計算．[對點訓練]3．(2022·高考江蘇卷)5位裁判給某運發(fā)動打出的分數(shù)的莖葉圖如下圖，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為________．[解析]由莖葉圖可得分數(shù)的平均數(shù)為eq\f(89＋89＋90＋91＋91,5)＝90．[答案]904．(2022·江蘇省高考名校聯(lián)考(二))江蘇省某市阜寧縣遭遇強冰雹和龍卷風雙重災害，多個鄉(xiāng)鎮(zhèn)受災嚴重．小明隨機調查了受災地某小區(qū)的50戶居民的經濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組，作出如下圖的頻率分布直方圖，估計該小區(qū)的經濟損失的平均數(shù)為________元(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)．[解析]由頻率分布直方圖可得該小區(qū)的50戶居民的經濟損失的平均數(shù)為1000×(0．00015×2000)＋3000×(0．00020×2000)＋5000×(0．00009×2000)＋7000×(0．00003×2000)＋9000×(0．00003×2000)＝3360(元)，由樣本估計總體知該小區(qū)的經濟損失的平均數(shù)為3360元．[答案]33601．(2022·江蘇省名校高三入學摸底卷)一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5m的方差為2，那么相對應的另一組數(shù)據(jù)2，4，6，8，10m的方差為________．[解析]1，2，3，4，5m的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝2＋m，方差s2＝eq\f(〔－m－1〕2＋m2＋〔1－m〕2＋〔－m＋2〕2＋〔4m－2〕2,5)＝2，而2，4，6，8，10m的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))1＝4＋2m，方差seq\o\al(2,1)＝4×eq\f(〔－m－1〕2＋m2＋〔1－m〕2＋〔－m＋2〕2＋〔4m－2〕2,5)＝4×2＝8．[答案]82．(2022·揚州期末)樣本6，7，8，9，m的平均數(shù)是8，那么標準差是________．[解析]因為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(6＋7＋8＋9＋m,5)＝8，所以m＝10，故s＝eq\r(\f(1,5)〔4＋1＋0＋1＋4〕)＝eq\r(2)．[答案]eq\r(2)3．(2022·高三第二次調研測試)某單位普通職工和行政人員共280人．為了解他們在“學習強國〞APP平臺上的學習情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有職員中抽取容量為56的樣本．從普通職工中抽取的人數(shù)為49，那么該單位行政人員的人數(shù)為______．[解析]根據(jù)題意知，從該單位行政人員中抽取了7人，設該單位行政人員的人數(shù)為n，那么eq\f(56,280)n＝7，解得n＝35．[答案]354．(2022·蘇北四市模擬)如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各3名同學在期末考試中的數(shù)學成績，那么方差較小的那組同學成績的方差為________．[解析]由題意得：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(88＋92＋96,3)＝92，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(90＋91＋95,3)＝92，故seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,3)(16＋0＋16)＝eq\f(32,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,3)(4＋1＋9)＝eq\f(14,3)，故方差較小的那組同學成績的方差為eq\f(14,3)．[答案]eq\f(14,3)5．(2022·江蘇省名校高三入學摸底卷)某中學舉辦了以“美麗中國，我是行動者〞為主題的環(huán)保知識競賽，賽后從參賽者中隨機抽取了100人，將他們的競賽成績(單位：分)分為6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．并得到如下圖的頻率分布直方圖，其中“競賽成績不低于70分〞的人數(shù)為______．[解析]由題意知a＝(1－0．05－0．1－0．2－0．25－0．1)÷10＝0．030，所以“競賽成績不低于70分〞的頻率為0．3＋0．25＋0．1＝0．65，所以“競賽成績不低于70分〞的人數(shù)為100×0．65＝65．[答案]656．(2022·江蘇省名校高三入學摸底卷)?幸福賬單?在南通地區(qū)的選拔規(guī)那么如下：每位參賽選手的才藝展示由7位評委打分(總分100分)，去掉一個最低分和一個最高分，取其余5位評委打分的平均數(shù)作為該選手的成績．某選手的得分情況如莖葉圖所示，那么該選手的成績?yōu)開_______．[解析]由題意可知該選手的成績是80、83、85、87、90這5個數(shù)的平均數(shù)，即eq\f(80＋83＋85＋87＋90,5)＝85．[答案]857．根據(jù)某固定測速點測得的某時段內過往的100輛機動車的行駛速度(單位：km/h)繪制的頻率分布直方圖如下圖．該路段限速標志牌提示機動車輛正常行駛速度為60km/h～120km/h，那么該時段內非正常行駛的機動車輛數(shù)為______________________________________．[解析]從頻率分布直方圖可知，非正常行駛的機動車輛頻率為(0．0025＋0．0050)×20＝0．150，故所求車輛數(shù)為0．150×100＝15．[答案]158．某校有甲、乙、丙3個高三文科班，其中甲班有47人，乙班有51人，丙班有49人．現(xiàn)分析3個班的某一次數(shù)學考試成績，計算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是90分，丙班的平均成績是87分，那么該校這3個高三文科班的數(shù)學平均成績是________分．[解析]由題意知，3個高三文科班的數(shù)學平均成績eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(90×47＋90×51＋87×49,47＋51＋49)＝89．[答案]899．如下圖的莖葉圖記錄了一組數(shù)據(jù)，關于這組數(shù)據(jù)，其中說法正確的序號是________．①眾數(shù)是9；②平均數(shù)是10；③中位數(shù)是9或10；④標準差是3．4．[解析]由莖葉圖知，該組數(shù)據(jù)為7，8，9，9，9，10，11，12，12，13，所以眾數(shù)為9，①正確；中位數(shù)是eq\f(9＋10,2)＝9．5，③錯；平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(7＋8＋9＋9＋9＋10＋11＋12＋12＋13)＝10，②正確；方差是s2＝eq\f(1,10)[(7－10)2＋(8－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝3．4，標準差s＝eq\r(3．4)，④錯．[答案]①②10．網絡上有一種“QQ農場游戲〞，這種游戲通過虛擬軟件模擬種植與收獲的過程．為了了解本班學生對此游戲的態(tài)度，高三(6)班方案在全班60人中展開調查，根據(jù)調查結果，班主任方案采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取假設干名學生進行座談，為此先對60名學生進行編號01，02，03，…，60，抽取的學生中最小的兩個編號為03，09，那么抽取的學生中最大的編號為________．[解析]由最小的兩個編號為03，09可知，抽樣間距為6，因此抽取人數(shù)的比例為eq\f(1,6)，即抽取10名同學，其編號構成首項為3，公差為6的等差數(shù)列，故最大編號為3＋(10－1)×6＝57．[答案]5711．(2022·南京、鹽城模擬)一組數(shù)據(jù)：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7構成公差為d的等差數(shù)列，且這組數(shù)據(jù)的方差等于1，那么公差d等于________．[解析]這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7,7)＝eq\f(7a4,7)＝a4，又因為這組數(shù)據(jù)的方差等于1，所以eq\f(1,7)[(a1－a4)2＋(a2－a4)2＋(a3－a4)2＋(a4－a4)2＋(a5－a4)2＋(a6－a4)2＋(a7－a4)2]＝eq\f(〔3d〕2＋〔2d〕2＋d2＋0＋d2＋〔2d〕2＋〔3d〕2,7)＝1，即4d2＝1，解得d＝±eq\f(1,2)．[答案]±eq\f(1,2)12．小波一星期的總開支分布如圖1所示，一星期的食品開支如圖2所示，那么小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為________．[解析]由題圖1得到小波一星期的總開支，由題圖2得到小波一星期的食品開支，從而借助題圖2計算出雞蛋開支占總開支的百分比．由題圖2知，小波一星期的食品開支為30＋40＋100＋80＋50＝300元，由題圖1知，小波一星期的總開支為eq\f(300,30%)＝1000元，那么小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為eq\f(30,1000)×100%＝3%．[答案]3%13．“中國人均讀書4．3本(包括網絡文學和教科書)，比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書最少的國家．〞這個論斷被各種媒體反復引用．出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計結果無疑是令人為難的．某小區(qū)為了提高小區(qū)內人員的讀書興趣，準備舉辦讀書活動，并進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站．由于不同年齡段的人看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內看書人員進行年齡調查，隨機抽取了40名讀書者進行調查，將他們的年齡(單位：歲)分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如下圖的頻率分布直方圖．(1)求在這40名讀書者中年齡分布在[40，70)的人數(shù)；(2)求這40名讀書者的年齡的平均數(shù)和中位數(shù)．[解](1)由頻率分布直方圖知年齡在[40，70)的頻率為(0．020＋0．030＋0．025)×10＝0．75，故這40名讀書者中年齡分布在[40，70)的人數(shù)為40×0．75＝30．(2)這40名讀書者年齡的平均數(shù)為25×0．05＋35×0．10＋45×0．20＋55×0．30＋65×0．25＋75×0．10＝54．設中位數(shù)為x，那么0．005×10＋0．010×10＋0．020×10＋0．030×(x－50)＝0．5，解得x＝55，故這40名讀書者年齡的中位數(shù)為55．14．(2022·高考全國卷