第3章運算方法和運算部件3.1數(shù)據(jù)的表示方法和轉(zhuǎn)換3.2帶符號的二進制數(shù)據(jù)在計算機中的表示方法及加減運算3.3二進制乘法運算3.4二進制除法運算3.5浮點數(shù)的運算方法3.6運算部件3.7數(shù)據(jù)校驗碼返回3.1數(shù)據(jù)的表示方法和轉(zhuǎn)換3.1.1數(shù)值型數(shù)據(jù)的表示和轉(zhuǎn)換十進制系統(tǒng)

x={……x2x1x0.x-1x-2x-3…..}x=xi·10i，

xi=(0,…,9)二進制系統(tǒng)x=xi·2i，xi=(0,1)二十進制之間的轉(zhuǎn)換二進制→十進制：按多項展開(包括八、十六→十)(例3.1)十進制→二進制：基數(shù)乘(小數(shù)部分)／除(整數(shù)部分)法(包括十→八、十六)(例3.7-例3.9)二進制八進制、十六進制之間的轉(zhuǎn)換查表法（見表3.1）3.1.2十進制數(shù)的編碼與運算BCD碼：以二進制編碼的十進制碼。1.有權(quán)碼:表示一位十進制數(shù)的二進制碼的每一位有確定的權(quán)。最常用的BCD碼是8421碼；其它還有2421碼,5211碼,4311碼等。2.無權(quán)碼:表示一個十進制數(shù)位的二進制碼的每一位沒有確定的權(quán)。常用的有余3碼，格雷碼等。8421碼的加法修正:相加之和大于9,或有進位時,再加6。余3碼的加法修正:不產(chǎn)生進位時減3;產(chǎn)生進位時加3。十進制數(shù)的二進制編碼

（Binarycodeddecimal)十進制數(shù)8421碼2421碼5211碼4311碼 余3碼Gray0 0000 0000 0000 0000 001100001 0001 0001 0001 0001010000012 0010 0010 0011 0011010100113 0011 0011 0101 0100011000104 0100 0100 0111 0101011101105 0101 1011 1000 0111100011106 0110 1100 1001 1011100110107 0111 1101 1100 1100101010008 1000 1110 1110 1110101111009 1001 1111 1111 1111110001003.2帶符號的二進制數(shù)據(jù)在計算機中的表示方法及加減運算機器數(shù)：在計算機中表示的帶符號的二進制數(shù)。有三種表示方式：原碼、反碼、補碼。計算機中定點數(shù)的表示方法：有定點整數(shù)、定點小數(shù)兩種。符號位小數(shù)點位置小數(shù)點位置小數(shù)點位置是是隱含的，并沒有具體的硬件。原碼表示法原碼表示法也稱為符號—數(shù)值表示法，[X]原=符號位+|X|。符號位用0正數(shù)，符號位用1負(fù)數(shù)，其余位表示數(shù)值。X0≤X<11-X=1+|X|-1<X≤0例:X=+0.1011[X]原=01011

X=-0.1011[X]原=110110有兩個表示形式:[+0]原=

00000[-0]原=

10000缺點：運算（加、減法）復(fù)雜[X]原=反碼表示法反碼（one’scomplement）：

X0≤X<12-2-n+X-1<X≤0即當(dāng)X<=0時，符號位為1，數(shù)值位取反。特點:1.零有兩種形式：

[+0]原=0.0000[-0]原=1.11112.[X+Y]反=[X]反+[Y]反+進位，即運算時，當(dāng)最高位有進位時，要在最低位加1(循環(huán)進位)。[X]反=補碼表示法補碼（two’scomplement）：

X0≤X<1;2+X=2-|X|-1≤X<0;

即X<0時，符號位為1，數(shù)值位取反后再加1。例如：X=+0.1011[X]補=0.1011

X=-0.1011[X]補=1.0101特點:1.數(shù)值0的補碼表示形式是唯一的，即：[+0]補=[-0]補=0.00002.補碼的和等于和的補碼,符號位和數(shù)值位一樣參加運算,不必單獨處理,即[X+Y]補=[X]補+[Y]補

3.補碼相減:[X-Y]補=[X]補+[-Y]補

[Y]補→[-Y]補:符號位連同數(shù)值位一起取反加1(求補)。[X]補=補碼加法器的邏輯圖實現(xiàn)加減法的硬件框圖ALU：具有+1功能的累加器；運算操作：A+B=>AB寄存器求反器累加器(ALU)A寄存器溢出判斷線路+1QFB

整數(shù)的表示形式設(shè)X=XnXn-1…X2X1X0，其中Xn為符號位。(1)原碼X0≤X<2n2n-X=2n+|X|-2n<X≤0(2)反碼X0≤X<2n(2n+1-1)+X-2n<X≤0(3)補碼X0≤X<2n2n+1+X=2n+1-|X|-2n≤X<0[X]原=[X]反=[X]補=3.2.2補碼加法溢出判斷溢出：當(dāng)運算結(jié)果超出機器所能表示的范圍時,稱為溢出。判斷方法1：兩個數(shù)相加，若它們同為正數(shù)或負(fù)數(shù)(同號)，則當(dāng)且僅當(dāng)結(jié)果的符號位變?yōu)橄喾矗ú煌r則為溢出。為溢出。其中，fA、fB為操作數(shù)的符號位，fS為運算結(jié)果的符號位。實現(xiàn)的邏輯電路見圖3.2。補碼加法溢出判斷判斷方法2：OVR=Cn-1Cn其中:Cn-1表示最高數(shù)值位向符號位的進位值，Cn表示符號位的進位。(即Cn-1=Cn時，正常;Cn-1≠Cn時，溢出。)實現(xiàn)的邏輯電路見圖3.3。判斷方法3：

采用2位符號位，00表示正數(shù)，11表示負(fù)數(shù)，符號位一起參與運算；則結(jié)果符號位為00表示結(jié)果為正，為11表示結(jié)果為負(fù)；01表示“上溢”，10表示“下溢”。即溢出條件:fs1fs2=1，實現(xiàn)的邏輯電路見圖3.4。（d）（-7）+（-6）

100110100011=溢出（b）（-4）+（+4）

110001000000=0（c）（+5）+（+4）

010101001001=溢出（a）（-7）+（+5）

100101011110=-2計算機中的運算過程舉例（假設(shè)機器字長4位，最高1位為符號位）：補碼加法的例子采用2位符號位的運算例子采用多符號位的補碼叫“變形補碼”。如果采用雙符號位，則運算時用雙符號位，存儲時僅保留一個符號位。（d）（-7）+（-6）

110011101010011=溢出(下溢)（b）（-4）+（+4）

111000010000000=0（c）（+5）+（+4）

001010010001001=溢出(上溢)（a）（-7）+（+5）

110010010111110=-2移碼在多數(shù)通用機中，浮點數(shù)的尾數(shù)用原碼或補碼表示，階碼用補碼或移碼表示。移碼：[X]移=2n+X-2n≤X<2n移碼和補碼的符號位相反,數(shù)值位相同，也就是說，把[X]補的符號位取反，即得[X]移。移碼的特點：(1)最高位為符號位，1表示正，0表示負(fù)。(2)0有唯一的移碼，即[+0]移=[-0]移=1000…0。移碼的加、減法在計算機中，移碼(階碼)只執(zhí)行加減運算，且需要對結(jié)果進行修正,修正量為2n,即結(jié)果的符號位取反,得到結(jié)果的移碼。(1)[X]移±[Y]移后,符號取反才是[X±Y]移。(2)或把[Y]移改成[Y]補,即[X+Y]移=[X]移+[Y]補,[X-Y]移=[X]移+[-Y]補（d）（-7）+（-6）

0001101011011=溢出（b）（-4）+（+4）

010001001000=0（c）（+5）+（+4）

1101010010001=溢出（a）（-7）+（+5）

000101010110=-2計算機中的運算過程（假設(shè)機器字長4位，其中1位表示符號位）舉例：3.2.3定點數(shù)和浮點數(shù)在計算機中的數(shù)據(jù)有定點數(shù)和浮點數(shù)兩種。定點數(shù)：指小數(shù)點固定在某個位置上的數(shù)據(jù)，一般有定點小數(shù)和定點整數(shù)兩種。浮點數(shù)：指小數(shù)點位置可浮動的數(shù)據(jù)。通常以下式表示：N=M?RE

其中，N是浮點數(shù)，M為尾數(shù)，E為階碼(指數(shù))，R為階的基數(shù)(底)。數(shù)的符號位在M中表示；數(shù)的大小在E中表示。浮點數(shù)在計算機內(nèi)表示的格式:一旦基數(shù)R確定，對任何浮點數(shù)都相同，因此在機器中不需要存儲R。MsEM計算機中浮點數(shù)的表示浮點數(shù)可以表示成多種形式：0.11026=>1.1025=>

0.000110

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……為了保證數(shù)據(jù)精度、簡化浮點數(shù)的操作，需要對其進行規(guī)格化，規(guī)格化后的浮點數(shù)具有下列形式：±0.1bbb…bb×R±E即：|M|>=1/2（R=2）一般情況：|M|>=1/R尾數(shù)用補碼表示的浮點數(shù)規(guī)格化判斷方法:尾數(shù)的符號位與尾數(shù)最高數(shù)值位不同,為規(guī)格化;相同為非規(guī)格化。IEEE754國際標(biāo)準(zhǔn)IEEE754標(biāo)準(zhǔn)定義了32位的單精度和64位的雙精度兩種格式的浮點數(shù)。1.單精度浮點數(shù)(32位)：階碼8位，尾數(shù)24位。2.雙精度浮點數(shù)(64位)：階碼11位，尾數(shù)53位。標(biāo)準(zhǔn)還規(guī)定：階碼采用移碼，尾數(shù)采用原碼。規(guī)格化原碼尾數(shù)的整數(shù)部分恒為1，在尾數(shù)中不出現(xiàn)，計算時自動添加上去。符號位階碼8位尾數(shù)23位01893101111263階碼11位尾數(shù)52位IEEE754格式參數(shù)

參數(shù)單精度雙精度

字寬(位數(shù)) 32 64 指數(shù)寬(位數(shù)) 8 11 指數(shù)偏移 127 1023 最大指數(shù) 127 1023 最小指數(shù) -126 -1022 數(shù)的范圍 10-38,10+38 10-308,10+308

有效尾數(shù) 23 52 指數(shù)數(shù)目 254 2046 分?jǐn)?shù)數(shù)目 223 252 值的數(shù)目 1.98*231 1.99*263幾點說明指數(shù)值范圍1~254（單精度）和1~2046（雙精度），表示了一個規(guī)格化的非零浮點數(shù)。指數(shù)是偏移的，故真正的指數(shù)范圍為-126~+127和-1022~+1023；指數(shù)全0，尾數(shù)全0，表示0；指數(shù)全1，尾數(shù)全0，表示正無窮或負(fù)無窮；指數(shù)全1與非0尾數(shù)一起給出NaN（notanumber)，表示非數(shù)值。計算機中浮點數(shù)的舉例若R=2（階碼用移碼表示，尾數(shù)用補碼表示）

0.11010001210100=01001010011010001000000000000000-0.11010001210100

=110010100001011110000000000000000.110100012-10100=00110110011010001000000000000000-0.110100012-10100

=101101100001011110000000000000000189