河南省洛陽市理工學(xué)院附屬中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)中，滿足“f（x+y）=f（x）f（y）”的單調(diào)遞增函數(shù)是（）A．f（x）=x3 B．f（x）=lgx C． D．f（x）=3x參考答案：D【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)的值．【專題】函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；推理和證明．【分析】可先設(shè)f（x）為指數(shù)函數(shù)，并給出證明，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的要求，得出D選項符合題意．【解答】解：指數(shù)函數(shù)滿足條件“f（x+y）=f（x）f（y）”，驗證如下：設(shè)f（x）=ax，則f（x+y）=ax+y，而f（x）f（y）=ax?ay=ax+y，所以，f（x+y）=f（x）f（y），再根據(jù)題意，要使f（x）單調(diào)遞增，只需滿足a＞1即可，參考各選項可知，f（x）=3x，即為指數(shù)函數(shù)，又為增函數(shù)，故答案為：D．【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及同底指數(shù)冪的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2.若點在角的終邊上，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C因為點在角的終邊上，所以點在角的終邊上，則；故選C.3.函數(shù)為偶函數(shù)，且在[0,+∞)單調(diào)遞增，則的解集為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴二次函數(shù)的對稱軸為軸，∴，且，即．再根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞增，可得．令，求得，或，故由，可得，或得，或，故的解集為，故選C．

4.函數(shù)的最小正周期是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B

解析：5.若函數(shù)的圖象過兩點和，則(

)A．

B．C．

D．參考答案：A略6.已知f(x)是偶函數(shù)，它在[0，＋∞)上是減函數(shù)，若f(lgx)>f(1)，則x的取值范圍是()A．(，1)

B．(0，)∪(1，＋∞)C．(，10)

D．(0,1)∪(10，＋∞)參考答案：C7.已知，則的值是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B【知識點】恒等變換綜合解：

故答案為：B8.已知，且，則等于（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先根據(jù)已知條件求得值，然后求得的值，由此求得題目所求表達(dá)式的值.【詳解】依題意，由及，解得，故，故選B.【點睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè)函數(shù),則（）A． B．3 C． D．參考答案：D

10.已知，則f(x)的解析式為

（

）A．

B.C．

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.cos（﹣420°）的值等于．參考答案：【考點】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可．【解答】解：cos（﹣420°）=cos420°=cos60．故答案為：12.設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為_________.參考答案：π【詳解】由在區(qū)間上具有單調(diào)性，且知，函數(shù)的對稱中心為，由知函數(shù)的對稱軸為直線，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，所以，，即，所以，解得，故答案為.考點：函數(shù)的對稱性、周期性，屬于中檔題.13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，60°角終邊上一點P的坐標(biāo)為(1,m)，則實數(shù)m的值為

。參考答案：角終邊上一點的坐標(biāo)為,tan60°=故答案為

14.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B=60°，b=，則a+c的最大值為_________．參考答案：15.碗里有花生餡湯圓2個、豆沙餡湯圓3個、芝麻餡湯圓4個，從中隨機(jī)舀取一個品嘗，不是豆沙餡的概率為

．參考答案：。

16.函數(shù)的定義域是__________________.參考答案：略17.函數(shù)的定義域為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，==，（i）若?=4，?=﹣1，求?的值；（ii）若P為AD上任一點，且?≥?恒成立，求證：2AC=BC．參考答案：【考點】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】（i）建立坐標(biāo)系，設(shè)C（a，0），A（m，n），求出各向量的坐標(biāo)，根據(jù)條件列出方程組解出a2和m2+n2，從而可得?的值；（ii）設(shè)P（λm，λn），根據(jù)?≥?恒成立得出關(guān)于λ的不等式恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出△≤0，從而得出m，n和a的關(guān)系，帶入距離公式化簡即可得出結(jié)論．【解答】解：（i）∵==，∴E，F(xiàn)為AD的四等分點．以BC為x軸，以D為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B（﹣a，0），C（a，0），A（m，n），則E（，），F(xiàn)（，），∴=（m+a，n），=（m﹣a，n），=（，），=（，），=（，），=（，），∵?=4，?=﹣1，∴，解得m2+n2=，a2=．∴?=﹣a2+=（m2+n2）﹣a2=．（ii）∵P為AD上任一點，設(shè)P（λm，λn），則=（（1﹣λ）m，（1﹣λ）n），=（a﹣λm，﹣λn），=（，），=（a﹣，﹣），∴=（1﹣λ）m（a﹣λm）﹣（1﹣λ）λn2=（1﹣λ）（ma﹣λm2﹣λn2），?=﹣=﹣﹣．∵?≥?恒成立，∴（﹣λ）ma+（λ2﹣λ+）（m2+n2）≥0恒成立，即（m2+n2）λ2﹣（m2+n2+ma）λ+（m2+n2）+ma≥0恒成立，∴△=（m2+n2+ma）2﹣4（m2+n2）[（m2+n2）+ma]≤0，即（m2+n2）2﹣ma（m2+n2）+m2a2≤0，∴[（m2+n2）﹣ma]2≤0，∴（m2+n2）=ma，即m2﹣2ma=﹣n2，∴AC====a，又BC=2a，∴2AC=BC．19.(本小題滿分12分)（2014,2015山東卷改編）已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為.（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前2項和.參考答案：（I）(II)（I）設(shè)數(shù)列的公差為，令得，所以.------------2分令得，所以.--------4分解得，所以-------6分（II）由題意知，------7分所以

------------9分10分----------------------------------------12分【考點定位】的關(guān)系，等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列求和20.（本小題滿分12分）某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出。當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛。租出的車每輛每月需要維護(hù)費150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費50元。（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？參考答案：21.函數(shù)的定義域為，且滿足對于定義域內(nèi)任意的都有等式(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)判斷的奇偶性并證明；(Ⅲ)若，且在上是增函數(shù)，解關(guān)于的不等式.參考答案：解：(Ⅰ)∵對于定義域內(nèi)任意的都有等式∴令

(Ⅱ)令

再令

∵函數(shù)的