第三章直線與方程3．1直線的傾斜角與斜率3．1．1傾斜角與斜率1．理解直線的傾斜角與斜率的概念．(重點)2．掌握傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系．(難點、易錯點)3．掌握過兩點的直線的斜率公式．(重點)一、傾斜角與斜率1．傾斜角與斜率的概念傾斜角斜率前提條件直線l與x軸______傾斜角不是90°定義取

作為基準(zhǔn)，x軸

與直線l

方向之間所成的角直線l傾斜角的________表示或記法αk＝tanα相交x軸正向向上正切值2.傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系由上表可知直線l的傾斜角α的取值范圍是

，斜率k的取值范圍是 ．90°k＝0k＞0[0°，180°)(－∞，＋∞)二、過兩點的直線的斜率公式直線過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝_______(x1≠x2)．1．是不是所有直線都有傾斜角？是不是所有直線都有斜率？提示：平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有一個確定的傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率，當(dāng)直線的傾斜角為90°時，直線的斜率不存在．2．過兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2時直線的傾斜角和斜率怎樣？提示：當(dāng)x1＝x2時，直線P1P2與x軸垂直，傾斜角α＝90°，其斜率不存在.

理解直線傾斜角應(yīng)注意的幾點：(1)清楚定義中含有的三個條件：①直線向上方向；②x軸的正方向；③小于平角的正角．(2)從運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的最小正角．直線的傾斜角

(3)傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}．(4)傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述并表現(xiàn)了直線對于x軸正方向的傾斜程度．(5)平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等．(6)確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，二者缺一不可．

一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°)，則其傾斜角為A．α

B．180°－αC．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α

解析：如圖，當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時，傾斜角為90°＋α；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時，傾斜角為90°－α.故選D.答案：D【題后總結(jié)】求直線的傾斜角主要是根據(jù)定義來求，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角．有時要根據(jù)情況討論．討論的分類情況主要有①0°角；②銳角；③90°角；④鈍角．1．一條直線l與x軸相交，其向上的方向與x軸的負(fù)方向所成的角為α，則l的傾斜角為(

)A．α B．180°－αC．90°＋α D．90°＋α或90°－α解析：如圖：由圖可知：當(dāng)α為銳角時，l的傾斜角為180°－α；當(dāng)α為鈍角時，l的傾斜角為180°－α；當(dāng)α為90°角時，l的傾斜角為90°.答案：B直線的斜率反映了直線相對于x軸正向的傾斜程度，當(dāng)傾斜角0°≤α<90°時，斜率k≥0，傾斜角越大，斜率越大；當(dāng)90°<α<180°時，斜率k<0，傾斜角越大，斜率也越大．特別提醒：當(dāng)直線的傾斜角為90°時，直線的斜率不存在，并不是該直線不存在，此時，直線垂直于x軸．直線的斜率

如圖所示，直線l1的傾斜角α1＝30°，直線l1⊥l2，求l1、l2的斜率．

【題后總結(jié)】針對這個類型的題目，可通過先用平面幾何知識找出各條直線的傾斜角，然后利用斜率定義k＝tanα即可求得．1.斜率表明直線相對于x軸的正方向的傾斜程度，可以用直線上任意兩點的坐標(biāo)來表示，比使用幾何的方法求出傾斜角再求斜率的方法方便，今后我們求直線的斜率(前提是斜率存在)主要利用斜率公式；2．斜率是個比值，斜率公式與兩點的順序無關(guān)，即兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時調(diào)換，也就是說，如果分子是y2－y1，分母必須是x2－x1；反過來，如果分子是y1－y2，分母必須是x1－x2.直線的斜率公式

求證：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三點共線．【思路點撥】

【題后總結(jié)】用斜率公式可解決三點共線問題：1.對直線的傾斜角與斜率之間關(guān)系的認(rèn)識：直線的傾斜角與斜率之間是形與數(shù)的關(guān)系，傾斜角是一個角，斜率是一個數(shù)，二者都能反映直線的傾斜程度．在求解直線的傾斜角的問題時要結(jié)合圖形，找到直線的傾斜角，再借助幾何圖形的性質(zhì)求解．直線的傾斜角與斜率的綜合應(yīng)用2．直線的傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系如下：當(dāng)α＝90°時，斜率不存在；當(dāng)α≠90°時，斜率與傾斜角是一一對應(yīng)關(guān)系，k＝tanα.3．直線的斜率k隨傾斜角α增大時的變化情況如下：(1)當(dāng)0°≤α＜90°時，隨α的增大，k在[0，＋∞)范圍內(nèi)增大；(2)當(dāng)90°＜α＜180°時，隨α的增大，k在(－∞，0)范圍內(nèi)增大．

(12分)過點M(0，－3)的直線l與以點A(3,0)，B(－4,1)為端點的線段AB有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍．

【題后總結(jié)】(1)直線l過點M，斜率變化時，可以理解為直線l繞定點M旋轉(zhuǎn)，使直線l與線段AB的公共點P從端點A運動到端點B，直線l的傾斜角就由最小值α1變到最大值α2.這是數(shù)形結(jié)合的思想方法．(2)當(dāng)直線繞定點旋轉(zhuǎn)時，若傾斜角為銳角，逆時針旋轉(zhuǎn)，傾斜角越來越大，斜率越來越大；順時針旋轉(zhuǎn)，傾斜角越來越小，斜率越來越小．若傾斜角為鈍角，也具有同樣的規(guī)律．但傾斜角是銳角或鈍角不確定時，逆時針旋轉(zhuǎn)，傾斜角越來越大，但斜率并不一定隨傾斜角的增大而增大．4