12.3角的平分線性質(zhì)

（第二課時(shí)）例1.如圖12-3-20，已知PB、PC分別是△ABC的外角平分線，且相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P在∠A的平分線上．典型例題精析

證明：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PG⊥AC于點(diǎn)G，PH⊥BC于點(diǎn)H．∵點(diǎn)P在∠EBC的平分線上，PE⊥AB，PH⊥BC,∴PE=PH．同理PG=PH，∴PE=PG，∴點(diǎn)P在∠A的平分線上．1．如圖12-3-21，∠AOB=70°，QC⊥OA于點(diǎn)C，QD⊥OB于點(diǎn)D.若QC=QD，則∠AOQ=

．35°變式練習(xí)2．如圖12-3-22，在Rt△ABC中，∠B=90°,

∠A=40°,MN⊥AC且MB=MN，則∠BCM=

．25°3．如圖12-3-23，PB⊥AB，PC⊥AC， 且PB=PC，D是AP上的一點(diǎn)．求證：∠BDP=∠CDP．證明：∵PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，∴∠PAB=∠PAC.∵∠APB+∠PAB=90°,∠APC+∠PAC=90°,∴∠APB=∠APC.在△PDB和△PDC中，PB=PC，∠APB=∠APC，PD=PD，∴△PDB≌△PDC(SAS)，∴∠PDB=∠PDC．例2.“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，如圖12-3-24①：

(1)若∠BAD=∠CAD，且BD⊥AB于點(diǎn)B，DC⊥AC于點(diǎn)C，則BD=CD；

解：如圖12-3-24②：(1)作出△ABC兩內(nèi)角的平分線，其交點(diǎn)為O1；(2)若BD⊥AB于點(diǎn)B，DC⊥AC于點(diǎn)C，且BD=CD，則∠BAD=∠CAD． 試?yán)蒙鲜鲋R(shí)，解決下面的問(wèn)題： 三條公路兩兩相交于A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來(lái)嗎？(2)分別作出△ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為O2，O3，O4．綜上,滿足條件的修建點(diǎn)有四處，即O1，O2，O3，O4．4．在三角形內(nèi)，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是

()A．三條中線的交點(diǎn)B．三條高的交點(diǎn)C．三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)D．不能確定變式練習(xí)C5．△ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)分別為6cm，4cm，4cm，P為三條角平分線的交點(diǎn)，則△ABP，△BCP，△ACP的面積比等于()A．1∶1∶1 B．2∶2∶3C．2∶3∶2 D．3∶2∶2D6.如圖12-3-25，在△ABC中，∠B＝90°,AB＝7,BC＝24,AC＝25.△ABC內(nèi)是否有一點(diǎn)到各邊的距離相等？如果有，請(qǐng)作出這一點(diǎn)，并說(shuō)明理由，求出這點(diǎn)到各邊的距離.解：有.過(guò)點(diǎn)A作∠BAC的平分線，再過(guò)點(diǎn)B作∠ABC的平分線，它們的交點(diǎn)P即為符合要求的點(diǎn).理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P分別向△ABC的三邊作垂線段PE、PF、PD，垂足分別為E、F、D.∵AP平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB，∴PD＝PE.∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PF⊥BC，∴PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.連接CP，設(shè)PD＝PE＝PF＝x.∵S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC,即AB·BC＝AB·x+BC·x+AC·x,∴7×24=(7+24+25)x,解得x=3,即這點(diǎn)到各邊的距離為3.1．如圖12-3-26，在CD上求作一點(diǎn)P，使它到OA、OB的距離相等，則P點(diǎn)是()A．線段CD的中點(diǎn) B．過(guò)點(diǎn)O作CD的垂線與CD的交點(diǎn)C．線段CD的三等分點(diǎn) D．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)精練D2．如圖12-3-27，已知點(diǎn)P到OM、ON、AB的距離恰好都相等，則點(diǎn)P的位置：①在∠MON的平分線上；②在∠BAN的平分線上；③在∠ABM的平分線上；④P為∠MON、∠BAN、∠ABM的平分線的交點(diǎn)．上述論述中正確的有()A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)D3．如圖12-3-28，AB=AC，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥ AB于點(diǎn)F，BE、CF相交于點(diǎn)D.則有下列結(jié)論： ①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.其中結(jié)論正確的是()A．①

B．②

C．①②

D．①②③D4．如圖12-3-29，在△ABC中，PR=PS，PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，AQ=PQ,則三個(gè)結(jié)論：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△QSP中

()A．全部正確 B．僅①和②正確C．僅①正確 D．僅①和③正確B5．如圖12-3-30，l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨運(yùn)中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有

處．46．如圖12-3-31，已知DB⊥AE于點(diǎn)B，DC⊥AF于點(diǎn)C，且DB=DC，∠BAC=40°，ADG=130°，則∠DGF的度數(shù)為

．150°7.如圖12-3-32，DE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BE=CF,BD=CD,求證：AD平分∠BAC.證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即AD平分∠BAC.8．如圖12-3-33，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．

(1)點(diǎn)E在∠ABC的平分線上嗎？解：(1)過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB,垂足為F．∵AE平分∠BAD，EF⊥AB，ED⊥AD，∴ED=EF．∵點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，∴DE=EC，∴EF=EC．又∵AD∥BC,∴EC⊥BC．∵EF=EC,EC⊥BC,EF⊥AB,∴點(diǎn)E在∠ABC的平分線上.(2)∵∠1=∠2,∠AFE=∠D=90°,∴∠3=∠4,即EA平分∠FED．又∵AD⊥DE,AF⊥FE,∴AD=AF．連接BE,同理可得BF=BC,∴AD+BC=AF+BF=AB．(2)求AD＋BC與AB的大小關(guān)系．9．如圖12-3-34，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D，連接AD.下列結(jié)論中不正確的是()A．∠BAC=70° B．∠DOC=90°C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°能力提升演練B10．如圖12-3-35，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且到三邊的距離相等，∠A=50°，則∠BOC的度數(shù)為

．115°11．如圖12-3-36，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線BP、CP交于點(diǎn)P，PE⊥AC于點(diǎn)E.若△ABC的周長(zhǎng)為11,PE＝2,S△BPC=3,則S△ABC=

.512.△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD與∠CAE是直角.(1)求證：△ACD≌△AEB；拓展探究訓(xùn)練(1)證明：∵∠DAB=∠EAC=90°,∴∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE中，AD=AB,∠DAC=∠BAE,AC=AE,∴△ACD≌△AEB(SAS).