第三章圓錐曲線與方程3.1橢圓3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),F1為橢圓的左焦點(diǎn),則線段A.圓 B.橢圓C.線段 D.直線2.如果方程x24-m+y2m-3=1A.(3,4) B.72,4 C.3,72 D.72,43.(多選題)已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn),且PA+PB=2a(a≥0),下列說(shuō)法中正確的是()A.當(dāng)a=2時(shí),點(diǎn)P的軌跡不存在B.當(dāng)a=4時(shí),點(diǎn)P的軌跡是橢圓,且焦距為3C.當(dāng)a=4時(shí),點(diǎn)P的軌跡是橢圓,且焦距為6D.當(dāng)a=3時(shí),點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓4.(多選題)已知P為橢圓C上一點(diǎn),F1,F2為橢圓的焦點(diǎn),且F1F2=23,若PF1+PF2=2F1F2,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是()A.x245+y248C.x29+y2125.橢圓x212+y23=1的左焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,A.±34 B.±22 C.±36.已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,其上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為8,焦距為215,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

7.已知橢圓x29+y225=1上的點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的距離為2,N是MF的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)8.求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在y軸上,焦距是4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,2);(2)c∶a=5∶13,且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.9.已知橢圓M與橢圓N:x216+y212=1有相同的焦點(diǎn),且橢圓M過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓M上,且△PF1F2的面積為1,求點(diǎn)P的坐標(biāo).B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.若α∈0,π2,方程x2sinα+y2cosα=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則α的取值范圍是()A.π4,π2 B.0,πC.0,π4 D.π4,π11.(多選題)過(guò)已知圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)作圓C與已知圓相切,則圓心C的軌跡可以是()A.圓 B.橢圓 C.線段 D.射線12.已知P為橢圓x225+y216=1上的一點(diǎn),M,N分別為圓(x+3)2+y2=1和圓(x-3)2+y2=4上的點(diǎn),13.已知F1,F2是橢圓x29+y27=1的兩個(gè)焦點(diǎn),A為橢圓上一點(diǎn),且∠AF1F2=45°,則△AF14.已知定點(diǎn)A(0,-2),點(diǎn)B在圓C:x2+y2-4y-32=0上運(yùn)動(dòng),C為圓心,線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

15.已知F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P在橢圓上,且△PF1F2的面積為22b2,16.已知點(diǎn)P(6,8)是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn),F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的兩焦點(diǎn)(1)橢圓的方程;(2)sin∠PF1F2的值.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC的頂點(diǎn)A(-3,0)和C(3,0),頂點(diǎn)B在橢圓x225+y216=1上

參考答案第三章圓錐曲線與方程3.1橢圓3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.B設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,由題意,知PO=12MF2,PF1=12MF又MF1+MF2=2a,所以PO+PF1=a>F1O=c,故由橢圓的定義,知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.2.D由方程x24-m+y所以4-m>0,m-33.AC當(dāng)a=2時(shí),2a=4<AB,故點(diǎn)P的軌跡不存在,A正確;當(dāng)a=4時(shí),2a=8>AB,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓,且焦距為AB=6,B錯(cuò)誤,C正確;當(dāng)a=3時(shí),2a=6=AB,故點(diǎn)P的軌跡為線段AB,D錯(cuò)誤.4.BC由已知2c=F1F2=23,所以c=3.因?yàn)?a=PF1+PF2=2F1F2=43,所以a=23.所以b2=a2-c2=9.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x212+y29=1或x5.C∵線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上且O是線段F1F2的中點(diǎn),∴PF2⊥x軸,∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3,∵點(diǎn)P在橢圓上,∴3212+y23=1,即y2=36.y216+x2=1由已知2a=8,2c=215,所以a=4,c=15,所以b2=a2-c2=16-15=又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+x2=7.4設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為E,則MF+ME=10,又MF=2,∴ME=8.又ON為△MEF的中位線,∴ON=12ME=48.解(1)由焦距是4可得c=2,又焦點(diǎn)在y軸上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2).由橢圓的定義知2a=32+(2+2所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+(2)由題意知2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144.因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2169+y2144=9.解(1)由題意,知橢圓M的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),設(shè)橢圓M的方程為x2a2+則a化簡(jiǎn)并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-165(舍去),a2=故橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),設(shè)P(x0,y0),則△PF1F2的面積為12×4×|y0|=得y0=±12又x025+y02=1,所以點(diǎn)P有4個(gè),它們的坐標(biāo)分別為152,12,-152,12,152,-12,-152,10.A易知sinα≠0,cosα≠0,方程x2sinα+y2cosα=1可化為x21sin因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以1cosα>1sinα>0,即sinα又α∈0,π2,所以π4<α<π211.AB如圖,設(shè)已知圓的圓心為A,半徑為R,圓內(nèi)的定點(diǎn)為B,動(dòng)圓的半徑為r.若點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合,由于兩圓相內(nèi)切,則AC=R-r,由于r=BC,∴AC=R-BC,即CA+CB=R.∴動(dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離和為常數(shù)R.∵B為圓內(nèi)的定點(diǎn),∴AB<R.∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為橢圓.若A,B重合為一點(diǎn),則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以R為直徑的圓.12.B由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2分別是兩圓的圓心,且PF1+PF2=10,從而PM+PN的最小值為PF1+PF2-1-2=7.13.72如圖,由x29+y27=1,知a2=9,b2所以a=3,b=7,c=2.所以F1F2=22.設(shè)AF1=x,則AF2=6-x.因?yàn)椤螦F1F2=45°,所以(6-x)2=x2+8-42x·22所以x=72所以S△AF14.y29+x25=1∴PA+PC=PB+PC=r=6>AC=4,∴點(diǎn)P的軌跡是以A,C為焦點(diǎn)的橢圓,其中c=2,a=3,∴b=5,∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y29+15.解依題意可得P整理得PF1·PF2=2b∵△PF1F2的面積為22b2∴12×2b21+cos∠F1PF2∴1+cos∠F1PF2=2sin∠F1PF2,又sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1,∴cos∠F1PF2=13(cos∠F1PF2=-1舍去)16.解(1)因?yàn)镻F1=(-c-6,-8),PF2=(c-6,-8),所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),所以2a=PF1+PF2=(6+10)2+所以a=65,b2=a2-c2=180-10