2023屆湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)高三第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡

指定位置上，并在相應(yīng)位置填涂考生號.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用23鉛筆把答題卡對應(yīng)題目選項(xiàng)的

答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答

在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題

目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合尸={x|xNLxeN},Q=[X\2X<8},則PCI0=()

A.{x|1<x<4}B.{x|l<r<3}C.{1,2}D.{1,2,

3}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z—T=2i,|z|=2,復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則[=()

Z

A1+V3ioV3—ir-1+Gi八百+i

A.--------------t>.-------------U.-----------------U.-------------

2424

3.若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)lx1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集，且

事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示()

口41B)

A.事件/發(fā)生的概率B.事件8發(fā)生的概率

C.事件5不發(fā)生條件下事件4發(fā)生的概率D.事件/、3同時(shí)發(fā)生的概率

4.已知實(shí)數(shù)見〃，函數(shù)/(x)=x2+wx+〃，滿足/(2>/(3)40,則蘇+2加〃的

最大值為（）

16818116

A.—B.C.D.

3TT

31

5.在數(shù)列｛。,｝中，已知，且%一4%+2+-,則以下結(jié)論成立的是()

A.a6<1B.%>1C.>1D.%>1

6.橢圓三+匚=1上的點(diǎn)到圓+3_6)2=1上的點(diǎn)的距離的最大值是（)

2516

A.11B.V74C.575D.9

7.恰有一個(gè)實(shí)數(shù)X使得/一切c-l=0成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

3近笥

A.(-00,正)B.r、JC.D.

卜修

8.已知四面體。一/8C中，AC=BC=AD=BD=T,則。-Z8C體積的最大值為

()

A.逑3V22百

B.C.D.正

27~8~~27~1?

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分.

9.已知函數(shù)/（x）=|x|+|xr-COSX，則下列說法正確的是（）

A.f（x）是偶函數(shù)B.7（x）在（0,+oo）上單調(diào)遞減

C./?。┦侵芷诤瘮?shù)D.D》）"l恒成立

10.［多選題］已知拋物線F=；歹的焦點(diǎn)為知（玉,必），N（X2，%）是拋物線上兩點(diǎn)，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

B.若直線MN過點(diǎn)、F,則x,x=--

216

若礪=力標(biāo),則的最小值為:

C.

D.若|用用+|橋|=彳3，則線段MN的中點(diǎn)尸到x軸的距離為三5

28

11.如圖，在棱長為2的正方體/8C。-/EGA中，。為正方體的中心，/為。A的中

點(diǎn)，/為側(cè)面正方形44QQ內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足87〃平面BC|M,則()

A.若P為正方體表面上一點(diǎn)，則滿足A。/》的面積為一的點(diǎn)有12個(gè)

2

B.動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一條線段

C.三棱錐F-BC、M的體積是隨點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)而變化的

D.若過4M,G三點(diǎn)作正方體的截面。，。為截面。上一點(diǎn)，則線段4。長度的取值

范圍為半，2夜

12.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則

兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓

C：<+，=l(a>b>0)的離心率為*,耳、用分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在

橢圓上，直線/:bx+ay-/=0,則()

A.直線/與蒙日圓相切

B.。的蒙日圓的方程為=2/

3

D.若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH的面積的最大值為8b2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

—\A2—4/

13.已知(2。++1)=1,則2a+6+-/,~1的最大值為

7J4a2+1—揚(yáng)+1

此時(shí)a+b=

14.六名考生坐在兩側(cè)各有一條通道的同一排座位上應(yīng)考，考生答完試卷的先后次序不

定，且每人答完試卷后立即離開座位走出教室.則其中至少有一人交卷時(shí)為到達(dá)通道而打擾

其他尚在考試的同學(xué)的概率為.

15.如圖，△。4月，”①國,△44名是全等的等腰直角三角形(04=拒，

與1=1,2,3)處為直角頂點(diǎn))，且。，4，4，4四點(diǎn)共線.若點(diǎn)片，鳥，鳥分別是邊

4片，A2B2,A3B3上的動(dòng)點(diǎn)(包含端點(diǎn))，則0B}?西=,甌-0P,的取值

16.有一個(gè)棱長為6的正四面體，其中有一半徑為的球自由運(yùn)動(dòng)，正四面體內(nèi)未被球

4

掃過的體積為_____________

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知AZBC的外心為O,M,N為線段上的兩點(diǎn)，且。恰為中點(diǎn).

(1)證明:

s

(2)若|工。|=/,\OM|=1,求黃”的最大值.

、匕ABC

18.如圖①，在平面五邊形力8COE中，48C。是梯形，AD//BC,

AD=2BC=2插,AB=￡，/4BC=90"，ANOE是等邊三角形.現(xiàn)將沿

折起，連接EB、EC得如圖②的幾何體.

(1)若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，求證：CW〃平面/8E；

(2)若EC=3,在棱E8上是否存在點(diǎn)E,使得二面角E—/0—尸的余弦值為述？

3

FF

若存在，求——的值；若不存在，請說明理由.

EB

(3、

19.已知數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為S”,q=2,Sn+｝=S?+(/7+l)-an+2.

I")

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a=an+n,求數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和小

20.微信小程序“黨史知識競賽”中的“答題競賽”版塊有個(gè)“雙人競賽”欄目，可滿足兩人通過

回答多個(gè)問題的形式進(jìn)行競賽.甲，乙兩單位在聯(lián)合開展黨史學(xué)習(xí)教育特色實(shí)踐活動(dòng)中通過

此欄目進(jìn)行比賽，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個(gè)單位派出一人代表其所在單位答題，兩

單位都全部答對或者都沒有全部答對則均記0分；一單位全部答對而另一單位沒有全部答

對，則全部答對的單位記1分，沒有全部答對的單位記-1分.設(shè)每輪比賽中甲單位全部答對

42

的概率為《，乙單位全部答對的概率為甲，乙兩單位答題相互獨(dú)立，且每輪比賽互不

影響.

(1)經(jīng)過1輪比賽，設(shè)甲單位的記分為X,求X的分布列和期望；

(2)若比賽采取3輪制，試計(jì)算第3輪比賽后甲單位累計(jì)得分低于乙單位累計(jì)得分的概

率.

21.如圖，已知圓+/=*點(diǎn)8(1,0),以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓O,點(diǎn)A的

集合記為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

3

(2)已知直線/:x=4,0(1,-),過點(diǎn)8的直線4與。交于兩點(diǎn)，與直線/交于點(diǎn)

k-k

K,記的斜率分別為勺，&&，問：7k3皆是否為定值？若是，給出證

明，并求出定值；若不是，說明理由.

22.已知函數(shù)/（x）=e*—2ax+b在x=0處的切線經(jīng)過點(diǎn)（1,2）.

（1）若函數(shù)/（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

X11

（2）若函數(shù)/（X）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)再,》2（不<》2）,且工2>5,求證：—>-------.

XfdClX-y

)

2023屆湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)高三第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡

指定位置上，并在相應(yīng)位置填涂考生號.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用23鉛筆把答題卡對應(yīng)題目選項(xiàng)的

答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答

在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題

目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合尸={x|xNl,xeN},Q={x\2x<S］,則PCl0=()

A.{x|1<x<4}B.{x|l<r<3}C.{1,2}D.{1,2,

3}

【答案】D

【解析】

【分析】先化簡集合。，再去求pn。即可解決.

［詳解］0=國2"8}={小43}

則尸cQ={x|xNl,xeN}c{x|x?3}={1,2,3}

故選：D

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z—T=2i,目=2,復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則［=()

Z

A1+V3iRA/3—ir—1+V3inVJ+i

2424

【答案】B

【解析】

2b=2

【分析】設(shè)z=a+bi(aeR,beR),由題可得</+〃=4,即求.

<7>0,6>0

【詳解】設(shè)z=tz+bi(awR,bwR),則三=〃_例，

由復(fù)數(shù)z滿足z-N=2i,同=2,復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,

2b=2

則=4,解得。=6力=1,

a>0,b>0

,1_1_V3-i

.?丁正一丁.

故選：B.

3.若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)bl的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集，且

事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示()

A.事件/發(fā)生的概率B.事件8發(fā)生的概率

C.事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率D.事件4、8同時(shí)發(fā)生的概率

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圖示，表示出涂色部分的面積，利用條件概率的概率公式整理化簡，即可求

得答案.

【詳解】由題意可得，如圖所示的涂色部分的面積為P(43)P(8)+[1—P(8)]P(川歷

=P(AB)+P(B)P(AIB)=P(AB)+P(AB)=P(A),

故選：A

4.已知實(shí)數(shù)"，〃，函數(shù)/")=尤2+〃優(yōu)+〃，滿足〃2)./(3)W0,則/+2m〃的

最大值為()

1681人8116

A.—B.—C.—D.—

3535

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)知乙是/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)且芭€[2,3],吃€]<,應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求得

x,+x2=-m,g=n,進(jìn)而代換目標(biāo)式得到以玉為參數(shù)、的為自變量的二次函數(shù)，由

二次函數(shù)的性質(zhì)可得“2+2〃Z〃4盧二，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可求最大

2x,-1

值.

【詳解】令占用是/(X)的兩個(gè)零點(diǎn),由題設(shè)若玉e[2,3],x2€R,

由根與系數(shù)關(guān)系有：Xj+x2=-m,XjX2=n,

22

所以加+2小〃=(Xj+x2)—2(M+x2)(X1X2)=(1—2xj)^2+2x](1—x])x2+x；=h(x2),

2

由1—2%<0且/€R，即〃(w)=解a；?]=%1-2噂-)2,

(1-2xJ4(1-2再)

c、2cn、2/4(I—2x,)x?—4x?(I-Xi)-X14

所以(l-2xj)x2+2x1(l-x1)x2+%W~~~~7=77,

4(1-zxj)2xl-1

4X3(2X-1)-2X42X3(3X-2)

令g(x)，則g'(x)=在xe[2,3]上g'(x)>0,

2x-l(2x—(2x-l)2

所以g(x)在xe[2,3]上遞增,則g(x)e

綜上，g(X)max=M，此時(shí)X=3,

Q1

所以x1=3時(shí)，〃/+2m〃的最大值y.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)/(x)的零點(diǎn)并注意％e[2,3],X2€R，由根與系數(shù)關(guān)系用零點(diǎn)表

示機(jī)、〃，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為以巧為自變量的二次函數(shù)形式，根據(jù)其開口方向及其最值得到不等

關(guān)系，最后構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求不等式中關(guān)于陽表達(dá)式的值域.

5.在數(shù)列｛為｝中，己知,且“用=石工，+]，則以下結(jié)論成立的是()

A.4<1B.%>1C.%>11).49>1

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)遞推公式可得腎吟=-3?若，得出｛4｝的通項(xiàng)公式，從而驗(yàn)證得出答

案.

31a+2iM+1i勺一1

【詳解】?！觥钢?廣小,則“+I?岸，-二

若｛??｝中存在某項(xiàng)小，使得%=1，則可得a“=1這與條件中生力1相矛盾.

所以斗Hl,將上面兩式相除可得」\=-3.\

所以數(shù)列4色二\是公比為-3的等比數(shù)列.

則"!="?(—3)7,設(shè)生斗=/e(3,9),則%=1+(:〃一2

a?-la2-la2-l/x(-3)-1

22

所以&=1+詔產(chǎn)1=1+同,

22

a=l+------4一=1-----<1

7?X(-3)7-2-135-/+1

22

tZo=1H-------7-^----------=1H—7----->1

rx(-3)8-2-l361-1

22

Qq=1H=1Z<1

fx(—3戶_137/+1

故選：C

6.橢圓宗5=1上的點(diǎn)到圓f+3-6)2=1上的點(diǎn)的距離的最大值是()

A.11B.774C.575D.9

【答案】A

【解析】

->2

【分析】題意轉(zhuǎn)化為橢圓1+5=1上的點(diǎn)到圓的圓心距離的最大值加上1,利用參數(shù)

法，即可求得結(jié)論.

【詳解】依題意得所求即為橢圓W+上的點(diǎn)到圓的圓心距離的最大值加上1,

2516

設(shè)橢圓會(huì)+能=1上的點(diǎn)為(5cosa,4sina),

則橢圓片+^=1上的點(diǎn)到圓的圓心距離為

2516

『+(4sina-61=J25cos2a+16sin2a-48sina+36，

=J-9sin2a-48sina+6」

=J-9（sina+g）+125

...sina=-l時(shí)，橢圓寸+匕=1上的點(diǎn)到圓的圓心距離的最大值為10,

2516

二橢圓（+看=1上的點(diǎn)到圓f+s—6）2=1上的點(diǎn)的距離的最大值為11,

故選：A.

7.恰有一個(gè)實(shí)數(shù)“使得/―女-1=0成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

【答案】B

【解析】

【分析】首先分析x=0不是方程的根，故將其轉(zhuǎn)化為。=--！，繼而轉(zhuǎn)化為丁=。與

X

f（x）=x2--的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，對函數(shù)/（X）求導(dǎo)研究其單調(diào)性即可.

X

【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，-1=0不成立，

所以x=0不是方程的根，

故對原方程轉(zhuǎn)化為a=f--，

X

故轉(zhuǎn)化為歹=。與/（x）=V-,僅有一個(gè)交點(diǎn)，

X

構(gòu)造?。?2、+吳號

當(dāng)二^<x<0或x>0時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)時(shí)，/'(x)<0,

故函數(shù)/（x）在單調(diào)遞減，在十,0和（0,+。）單調(diào)遞增,

當(dāng)了->-8時(shí)，/(x)fE,Xf+8時(shí)，/(X)f+O0,

且xf0一時(shí)，x->o+時(shí)，/'(x)f-oo,

故要使得歹=。與“X)僅有一個(gè)交點(diǎn),

即。的取值范圍是-8,

()

A4正R3V2「26n百

2782718

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)M為8的中點(diǎn)，連接NM8M設(shè)四面體/力CD的高為〃，利用等體積法表示

出四面體的體積，利用三個(gè)正數(shù)的均值不等式即可求得答案.

【詳解】設(shè)M為CZ)的中點(diǎn)，連接NM,8M

設(shè)四面體488的高為〃，則〃4ZA/,

由于NC=8C=NO=8/)=1,故&ACD卬BCD,

jr

則ZACD=/BCD，設(shè)Z.ACD=/BCD=a,ae(O,-),

則AM=BM-BCsina-sina.CD=2CM=2BCcosa=2cosa,

所以KBC=VA-DBC-\s^BCDh<\cDBM-AM

36

1.21二-----；----------------~/1J/2cos2a+sin2a+sin?a—

=-cos?sin-a=—產(chǎn)72cosa-sma?sin~a?---------------------------------)

33后372V3

2百

=----,

27

當(dāng)且僅當(dāng)平面48與平面BCD垂直且sine=JIcosa即a=arctan2時(shí)取等號，

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分.

9.已知函數(shù)/(x)=|x|+|#-cosx，則下列說法正確的是()

A./(x)是偶函數(shù)B.〃x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減

C./(x)是周期函數(shù)D./(x)>-1恒成立

【答案】AD

【解析】

【分析】判定“X)的奇偶性判斷選項(xiàng)A；判定"X)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)B；判定/(x)的周期

性判斷選項(xiàng)C；求得“X)的最小值判斷選項(xiàng)D.

【詳解】/(x)的定義域?yàn)镽

]_?

f(-x)=|-xI+I-xp-cos(-x)=|x|+|x|2-COSX=f(x),

則/(x)為偶函數(shù).故選項(xiàng)A判斷正確；

X〉0時(shí)，f(x)-x+y/x-COSX

/'(x)=1+正+sinX20恒成立，則/(X)為(0，+8)上增函數(shù).

2x

故選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；

又“X)為偶函數(shù)，則"X)為(-8,0)上減函數(shù)

又/(0)=0+0-cos0=-1,則/(X)的最小值為-1.故選項(xiàng)D判斷正確；

故選：AD

10」多選題]己知拋物線的焦點(diǎn)為尸，〃(西,凹)，N(X2,乃)是拋物線上兩點(diǎn)，

則下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（g,0

B.若直線MN過點(diǎn)、F,則X|W=

16

c.若標(biāo)=幾而，貝的最小值為:

3S

D.若蝕陽+|N曰=[,則線段MN的中點(diǎn)尸到x軸的距離為?

28

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式求出焦點(diǎn)可判斷A；由拋物線的性質(zhì)可判斷B、C；

利用拋物線的焦半徑公式可判斷D.

【詳解】易知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

,1

根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，物V過焦點(diǎn)產(chǎn)時(shí)，花々=-p2=—一，選項(xiàng)B正確;

16

若訴=4而，則腦V過點(diǎn)尸，則|阿|的最小值即拋物線通徑的長,

為2p,即:，選項(xiàng)C正確,

拋物線的焦點(diǎn)為fo,：],準(zhǔn)線方程為y=一）,

2koy8

過點(diǎn)M,N,P分別作準(zhǔn)線的垂線MM',NN',0P垂足分別為M',N',P',

所以1MM[="AW|=|NF|.

所以+|AW[=阿+|NF|=|,

所以線段m

所以線段MN的中點(diǎn)尸到x軸的距離為歸-13

———，選項(xiàng)D正確.

488

故選：BCD

11.如圖，在棱長為2的正方體/8CO-44G。中，。為正方體的中心，仞為。。的中

點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)面正方形44。。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足用尸〃平面8GM,則（）

A.若P為正方體表面上一點(diǎn)，則滿足AOPZ的面積為三的點(diǎn)有12個(gè)

2

B.動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一條線段

C.三棱錐尸-6G”的體積是隨點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的

D.若過4M,G三點(diǎn)作正方體的截面。，。為截面。上一點(diǎn)，則線段4。長度的取值

范圍為平,2血

【答案】BD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A：設(shè)O'為底面正方形力88的中心，根據(jù)AOO'4的面積為

-AO'OO'=-＞由此可判斷選項(xiàng)A；

22

選項(xiàng)B：分別取工4，4。的中點(diǎn)”，G,連接與G,GH,HB],AD,-證明平面

BfiH//平面BC、M,從而得到點(diǎn)F的軌跡為線段GH.

選項(xiàng)C：根據(jù)選項(xiàng)B可得出G4〃平面8GM,從而得到點(diǎn)尸到平面8GM的距離為定

值，再結(jié)合ABGM的面積也為定值，從而可得到三棱錐b-8GM的體積為定值.

選項(xiàng)D：設(shè)N為8片的中點(diǎn)，從而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得到截面。即為面

AMC.N,

從而線段4。長度的最大值為線段4G的長，最小值為四棱錐4—AMC】N以4為頂點(diǎn)

的高.

【詳解】對于A：設(shè)O'為底面正方形的中心，連接/。，AO',OO',則

AOr=—AC=y/2,OO'=—AA,=1,

221

所以A。。'4的面積為』ZO'.OO'=Lx拒xl=Y2,

222

所以在底面ABCD上點(diǎn)P與點(diǎn)O'必重合，

同理正方形的中心，正方形的中心都滿足題意.

又當(dāng)點(diǎn)尸為正方體各條棱的中點(diǎn)時(shí)也滿足的面積為也，故A不正確；

2

對于B：如圖①，分別取44，42的中點(diǎn)，，G,連接8。，GH,HB[,AD].

因?yàn)锽]H//CM,GH//5C,,u平面BUG,G^u平面6弓加，G〃u平面

BHG,。18<=面8。]/,BC\cC[M=C],所以平面4G〃〃平面8。A1,

圖①

而8/〃平面8cM,所以B/u平面4G77,所以點(diǎn)尸的軌跡為線段G4,故B正

確；

對于C：由選項(xiàng)B可知，點(diǎn)廠的軌跡為線段G",因?yàn)镚"〃平面8G",則點(diǎn)F到平面

的距離為定值，

同時(shí)△80"的面積也為定值，則三棱錐/一3。1用的體積為定值，故C不正確；

對于D：如圖②，設(shè)平面。與平面44由內(nèi)交于/N,N在BB】上.

因?yàn)榻孛鍽c平面=，平面力44。〃平面88CC，所以/M〃GN.

同理可證4N〃G〃，所以截面為平行四邊形，所以點(diǎn)N為8瓦的中點(diǎn).

在四棱錐4一ZM￡N中，側(cè)棱4￡最長，且4￡=2后.

設(shè)棱錐4-4MGN的高為〃，

因?yàn)?所以四邊形/"GN為菱形，

所以A/MG的邊4G上的高為面對角線的一半，即為J5,又AC\=2應(yīng),

貝IJSMWG=gx2行xVI=#,VCi_AA>M"G=；x；x2x2x2=g,

所以匕?-wc=—5A,wc-h==Vc解得h-冬色.

A^-AMLy3△J2WC1333

綜上，可知4。長度的取值范圍是故D正確.

故選：BD.

12.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則

兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓

。：與+點(diǎn)=1（。>6>0）的離心率為白，"、B分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在

橢圓上，直線/：云+心-。2=0,則（）

A.直線/與蒙日圓相切

B.。的蒙日圓的方程為V+V=2/

3

D.若矩形A/NG"的四條邊均與C相切，則矩形MNG”的面積的最大值為8/

【答案】AC

【解析】

【分析】分析可得出/=2b?,求出蒙日圓的方程，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用直線與圓

的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用橢圓的定義和點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C選項(xiàng)的正誤;

分析可知矩形MNG”的四個(gè)頂點(diǎn)都在蒙日圓上，利用基本不等式可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，兩切線的方程分別為x=±。、y=+b,

所以，點(diǎn)（±a,±b）在蒙日圓上，故蒙日圓的方程為

因?yàn)?=后=尸=61孝可得心班

22-

對于A選項(xiàng)，蒙日圓圓心到直線/的距離為"=a^=+b==4r4;2--+-/r,

yja2+b2

所以，直線/與蒙日圓相切，A對；

3

對于B選項(xiàng)，。的蒙日圓的方程為/+/=/+/=5。2,B錯(cuò)；

對于C選項(xiàng)，由橢圓的定義可得M聞+ME卜2。=2標(biāo)，則|4月|=2四—以用，

所以，d—?g|=d+M片］—2標(biāo),

因?yàn)閏=^^a=b，直線/的方程為x+—3b=0,

4b473,

點(diǎn)耳（-仇0）到直線/的距離為/-T==-------b

G3

（473-672）6

所以，d—|/聞=1+|〃耳|—2。2才—2回

3

當(dāng)且僅當(dāng)/片時(shí)，等號成立，C對；

對于D選項(xiàng)，若矩形A/NG4的四條邊均與C相切，則矩形MNG”的四個(gè)頂點(diǎn)都在蒙日

圓上，

所以，\MNf+\MHf=（273/））2=12/>2,

所以，矩形MNGH的面積為S=|加碼|朋”|/"叫=6后，D錯(cuò).

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

—\A2—4Q2

13.已知++1）=1,則2。+b+/,,的最大值為

7，4/+1_揚(yáng)+1

，此時(shí)a+b=.

【答案】①.-2②.0

【解析】

b2-4a211

【分析】將2a+b+化為--------『=,由條件利

J4a2+1-J/+12a+\4a~+16+揚(yáng)+1

用均值不等式可得出答案.

【詳解】

(b2-4a2

b2-4a2

2a+b+2a+b+

22

+1-J/+1(A/4<72+1-y/b+1)(d4a2+1+y/b+1)

{b'-4a2)("/+1+“2+1)

2a+b+

4a2-b2

、2a+"Y+lb+y/b2+\)、2a+J4a2+1b+y/b2+1

11

?2a+y/4a2+1b+y/b2+1

當(dāng)且僅當(dāng)

(2a+J4a2+i)(b+J/+1)=1

/,+病W=1時(shí)等號成立.

由J4a2+1>14a。=2\a\>2a>則2a+“a?+1>0，

所以2a+J4a2+1=1，解得a=°

由6+西+1=1，可得Z>=0故a+%=0

故答案為：-2:0

14.六名考生坐在兩側(cè)各有一條通道的同一排座位上應(yīng)考，考生答完試卷的先后次序不

定，且每人答完試卷后立即離開座位走出教室.則其中至少有一人交卷時(shí)為到達(dá)通道而打擾

其他尚在考試的同學(xué)的概率為.

43

【答案】上

【解析】

【詳解】要不打擾其他尚在考試的同學(xué)，必須每次坐其兩旁的同學(xué)先離開，即每次有兩種選

擇，于是，共有25種可能.故所求概率為1-二=二.

6!45

15.如圖，△?！ò伲?4員是全等的等腰直角三角形=拒，

^A}A2B2,

耳1=1,2,3）處為直角頂點(diǎn)），且。，4,4，4四點(diǎn)共線.若點(diǎn)4，P”月分別是邊

4瓦，,4員上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則函?西=，的取值

A2B2OB2-OP,

【答案】①.6（2）.[10,12]

【解析】

【分析】如圖：以。為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐

標(biāo)，進(jìn)而可得直線瓦，員的方程，設(shè)出月的坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)的

4A2B2,44，6，

范圍以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】如圖：以。為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則。（0,0）,4（2,0），4（4,0）,4（6,0），4（1,1）,%（3,1），5,（5,1）,

直線44的方程為:y=-x+2,設(shè)片（玉,2-玉），Kx,e[l,2],

直線4層的方程為：y=-x+4,設(shè)巴（工2,4-%）,且看€[3,4],

直線4層的方程為：y=-x+6,設(shè)6（x3,6-七），且遍引5,6],

所以西=（1,1）,西=（對6-覆），OBx-OPi=xi+6-x3=6,

OB2=（3,1）,OP2=（X2,4-X2）,所以。易,。4=3々+4-馬=4+2%G[10,12],

故答案為：6；[10,12].

16.有一個(gè)棱長為6的正四面體，其中有一半徑為逅的球自由運(yùn)動(dòng)，正四面體內(nèi)未被球

4

掃過的體積為_____________

【答案】9員圣。W-書

【解析】

【分析】先考慮球運(yùn)動(dòng)到四個(gè)頂點(diǎn)位置時(shí)，由棱錐的體積減去球的體積求出此部分的體

積；再考慮球沿著4方向運(yùn)動(dòng)且始終與二面角8-P4-C相切時(shí)，得到未被球掃過空間

均為相同的柱體，求出柱體的體積，即可求得正四面體內(nèi)未被球掃過的體積.

如圖設(shè)正四面體尸-N8C,當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到與平面尸4§、平面PNC、平面P8C相切時(shí)，可

得此時(shí)球無法繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)切點(diǎn)分別為瓦則此時(shí)球面與正四面體頂點(diǎn)P之間的部分球無法掃過，同理可得

正四面體頂點(diǎn)A,B,C均有相同的空間未被球掃過，

作與平面/3C平行且與此時(shí)球相切的平面4片G，易得棱錐尸-44G為正四面體，設(shè)

棱長為。，作PG平面44G于G,

則正四面體尸一48cl的體積=；x；ax曰“X曰4=*蘇，表面積

S=4x—ax—a=V3a2，

22

設(shè)球半徑為廠，則%皿=L5乂尸，即旦逅,解得。=3,作

"131234

3

EHLPA,易得，為中點(diǎn)，則。〃=一，

2

設(shè)4個(gè)頂點(diǎn)處未被球掃過空間的體積為匕，球的體積為匕,，可得

當(dāng)球沿著P/方向運(yùn)動(dòng)且始終與二面角8-P/-C相切時(shí)，設(shè)球與平面尸48、平面PZC

的切點(diǎn)始終為瓦/，

過E,b的大圓與PN交于由垂徑定理知又OE,OFLPA,易得

ME,MFVPA,則NEA加即為二面角B-PA-C的平面角，

易得未被球掃過的部分為柱體，且柱體的底面為扇形。及'與四邊形/之間的部分，

設(shè)尸/中點(diǎn)為N,連接BN,CN,

易得BNA.PA,CN上PA,則/8NC即為二面角6-R4—C的平面角，又

BN=CN=3也，

1

由余弦定理得cosNBNC=O")+?")*=1，則ZBNC=cos-：，則

2x3j3x3j333

,1

cosZEMF=2cos2NEMO—1=—,

3

則cos/EA/O=逅，tanZEMO=--則=二昱，設(shè)扇形。瓦'與四邊

322

形A/￡Ob之間部分面積為§,

扇形OEF面積為S,/.EOF=7i-Z.EMF=兀--1

OEFcosg-,則

一ce_V3V6if..nfV6?3723(n

Si=SMEOF-SOEF=^-X_^__2X|；r_C0S3JX^-4~二

＜81613；

333

由上知尸〃=±,又4=6,則柱體的高為6—士―士=3,正四面體尸-Z8C的六條棱

222

未被球掃過空間均為相同的柱體，

設(shè)這部分體積為匕，則

r/_3/3(,(n1.,2772272-cos-11,則正四面體內(nèi)未被

81613)4883

球掃過的體積為匕+匕=9后+二cos/-"+27萬

12838

故答案為：9-72+—cos-1--+7t.

838

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將正四面體內(nèi)未被球掃過的空間分為兩部分，第一部分為球運(yùn)動(dòng)

到四個(gè)頂點(diǎn)位置時(shí)，球面與正四面體頂點(diǎn)之間的部分：第二部分為當(dāng)球沿著尸/方向運(yùn)動(dòng)

且始終與二面角8-尸/-。相切時(shí)，球面與二面角之間的柱體部分，再由幾何體的體積公

式求解即