二輪大題專練30—圓錐曲線（探索性問題2）1．已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于、兩點，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點是橢圓上的動點，且直線，與直線分別交于、兩點，是否存在點，使得以為直徑的圓經(jīng)過點？若存在，求出點的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（Ⅰ）由題意可得，，即，又，解得，，即有橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)，可得，即有，由題意可得，，設(shè)，，由，，共線可得，，即為，可得，由，，共線可得，，即為，可得．假設(shè)存在點，使得以為直徑的圓經(jīng)過點．可得，即有，即．即有，化為，解得或8，由，，不重合，以及，可得不存在．2．已知橢圓，短軸端點到其右焦點的距離為，為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，，是橢圓上的三個點，判斷四邊形能否為矩形？并說明理由．解：（1）橢圓，短軸端點到其右焦點的距離為，由題意，得，，橢圓的方程為．（2）設(shè)直線，，，，，的中點，，，，直線代入拋物線方程可得，△，，．①由條件，得，即，整理得，將（1）式代入得，②又，，且同時也是的中點，，，在橢圓上，，即，代入整理可得，③由②③解得，，驗證知△，四邊形可以為矩形．3．在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點．（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）曲線在點，處的切線相交于點，，分別交軸于點，兩點．是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．解：（Ⅰ）若，則，設(shè)，，，，所以，，聯(lián)立，得，所以，，所以，因為，所以，解得．（Ⅱ）由，得，所以，所以直線的方程為，即，又，代入上式，得，同理可得直線的方程為，設(shè)，，則，且，所以，在直線上，即，又因為直線方程為，即，所以，，即點在直線上，由切線，方程得，，，，所以，，所以，所以．4．已知橢圓的左右焦點分別為，點．為橢圓上的一動點，△面積的最大值為．過點的直線被橢圓截得的線段為，當(dāng)軸時，．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓上任取兩點，，以，為鄰邊作平行四邊形．若，則是否為定值？若是，求出定值；如不是，請說明理由．解：（1）由題意：△的最大面積，．又，聯(lián)立方程可解得，，所以橢圓的方程為：．（2）設(shè)，，，，由平行四邊形法則，所以，．所以．又因為，即，即．又因為點，在橢圓上，則，，可得①，②，①②可得即，又，所以，即．又①②可得，可得．所以．5．已知橢圓經(jīng)過點，且其右焦點與拋物線的焦點重合，過點且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，線段上是否存在點，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；（3）過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，試證明：直線過定點．（1）解：橢圓右焦點與拋物線的焦點重合，，又橢圓經(jīng)過點，，解得，橢圓的方程為：．（2）解：設(shè)直線的方程為：，，代入，得：，△恒成立．設(shè)，，，，線段的中點為，，則，，由，得：，直線為直線的垂直平分線，直線的方程為：，令得：點的橫坐標(biāo)，，，．線段上存在點，使得，其中．（3）證明：設(shè)直線的方程為：，，代入，得：，過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，由△，得：，設(shè)，，，，，，則，，則直線的方程為，令得：．直線過定點．6．已知拋物線的焦點是橢圓的右焦點，且兩曲線有公共點，．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左、右頂點分別為，，若過點且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點，已知直線與相交于點，試判斷點是否在一定直線上？若在，請求出定直線的方程；若不在，請說明理由．解：（1）由題意可得，解得，可得拋物線的焦點為，即橢圓的右焦點為，則，，解得，，可得橢圓的方程為；（2）由題意知與軸不垂直，設(shè)的方程為，，，，．由得，可得△，設(shè)，，，，，，，，兩兩不等，則，，，由，，三點共線，有①由，，三點共線，有②①與②兩式相除得．解得（舍去）或，所以點在定直線上．7．已知橢圓的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點，斜率為的直線不過點，且與橢圓交于，兩點，；為坐標(biāo)原點）．直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，說明理由．解：（1）由題意可得，解得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，整理得，則，，因為，所以，所以，所以，即，整理得，即，則直線的方程為，故直線過定點．8．在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過，，三點的圓的圓心為，點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為．過定點作直線與拋物線相交于，兩點．求拋物線的方程；若點是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，求面積的最小值；（Ⅲ）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．解：拋物線的焦點，圓心在線段的垂直平分線上．因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，即．因此拋物線的方程為．依題意得：點的坐標(biāo)為，可設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，直線方程與聯(lián)立，消去得，所以由韋達定理得，．由圖可得：，當(dāng)，