高斯定理摘要：高斯定理是電磁學(xué)的一條重要定理，它不僅在靜電場中有重要的應(yīng)用，而且也是麥克斯韋電磁場理論中的一個重要方程。本文比較詳細(xì)的介紹了高斯定理，并提供了數(shù)學(xué)法、直接證明法等方法證明它，總結(jié)出應(yīng)用高斯定理應(yīng)注意的幾個問題，從中可以發(fā)現(xiàn)高斯定理在解決電磁學(xué)相關(guān)問題時的方便之處。最后把高斯定理推廣到萬有引力場中去。關(guān)鍵詞：高斯定理；應(yīng)用；萬有引力場GaussiantheoremAbstract:Gaussiantheoremisanimportanttheoremofelectromagnetism.Itnotonlyhasimportantapplicationinelectrostaticfield,butalsoisanimportantequationinMaxwellelectromagneticfieldtheory.ThisthesisintroducestheGaussiantheoremindetailandprovesitbyusingmanymethodssuchasthemathematicalmethodandthedirectproofmethodetc.ItalsointroducestheseveralproblemsthatweshouldpayattentiontowhenweapplyanduseGaussiantheorem.ItcanbefoundconvenientwhenweusetheGaussiantheoremtosolvetheproblemsrelatedtotheelectromagnetism.ThelastpartofthisthesisistointroducetheGaussTheoremtotheGravitationalField.Keywords:Gaussiantheorem;Application;Gravitationalfield目錄1高斯定理的表述 11.1數(shù)學(xué)上的高斯公式 11.2靜電場的高斯定理 11.3磁場的高斯定理 22.1.1靜電場的高斯定理 22.1.2磁場的高斯定理 42.2高斯定理的直接證明 52.3高斯定理的另一種證明 63高斯定理的應(yīng)用 84將高斯定理推廣到萬有引力場中 114.1靜電場和萬有引力場中有關(guān)量的類比 114.2萬有引力場中的引力場強(qiáng)度矢量 114.3萬有引力場中的高斯定理 125結(jié)束語 12參考文獻(xiàn) 14謝辭 15引言高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理學(xué)研究方面，應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)用高斯定理求曲面積分、靜電場、非靜電場或磁場非常方便，特別是求電場強(qiáng)度或者磁感應(yīng)強(qiáng)度。雖然有時候應(yīng)用高斯定理求解電磁學(xué)問題很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的運用高斯定理解決電磁學(xué)問題，我們首先應(yīng)對高斯定理有一定的了解。1高斯定理的表述1.1數(shù)學(xué)上的高斯公式設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面所圍成，若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，則1－1其中的方向為外發(fā)向。1－1式稱為高斯公式[1]。1.2靜電場的高斯定理一半徑為的球面包圍一位于球心的點電荷，在這個球面上，場強(qiáng)的方向處處垂直于球面，且的大小相等,都是。通過這個球面的電通量為其中是球面積分，等于。從此例中可以看出，通過球面的電通量只與其中的電量有關(guān)，與高斯面的半徑無關(guān)。若將球面變?yōu)槿我忾]合曲面，由電場線的連續(xù)性可知，通過該閉合曲面的電通量認(rèn)為。若閉合曲面內(nèi)是負(fù)電荷，則的方向處處與面元取相反，可計算穿過面的電通量為。若電荷在閉合曲面之外，它的電場線就會穿入又穿出面，通過面的電通量為零[2]。如果閉合面內(nèi)有若干個電荷，由場強(qiáng)疊加原理可知，通過面的電通量為此式表明，在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意一閉合曲面的電通量，等于包圍在該面內(nèi)的所有電荷的代數(shù)和的分之一，這就是真空中的高斯定理。通常把閉合曲面稱為高斯面，對于連續(xù)分布的電荷，電荷體密度為，則上式可以表述為1.3磁場的高斯定理由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進(jìn)入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內(nèi)部出來，否則這條磁力線就不會閉合了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進(jìn)入曲面的磁通量為負(fù)，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為零。這個規(guī)律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。用式子表示：與靜電場中的高斯定理相比較，兩者有著本質(zhì)上的區(qū)別。在靜電場中，由于自然界中存在著獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，只要閉合面內(nèi)有凈余的正或者負(fù)電荷，穿過閉合面的電通量就不等于零，即靜電場是有源場；而在磁場中，由于自然界中沒有單獨的磁極存在，極和極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零，即磁場是無源場[2]。2高斯定理的證明2.1高斯定理的數(shù)學(xué)證明2.1.1靜電場的高斯定理靜電場中高斯定理的證明主要分以下四種情況：(a)點電荷在球面中心，點電荷的電場強(qiáng)度為球面的電通量為2－1(b)點電荷在任意閉曲面外，閉曲面的通量為2－2根據(jù)高斯公式2－3并考慮到在內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，故2－2式可以用高斯公式計算。將2－2式代入2－3式得(c)點電荷在任意閉曲面內(nèi)在任意閉曲面內(nèi)以點電荷為球心作一輔助球面，其法向朝內(nèi)，根據(jù)2－1式可知點電荷在閉曲面的電通量為零，即：2－4其中式2－4中和大小相等，法向相反。(d)點電荷系在閉曲面內(nèi)外設(shè)閉曲面內(nèi)的點電荷為；閉曲面外的點電荷為根據(jù)上述討論可得這就是靜電場中的高斯定理[3]。2.1.2磁場的高斯定理磁場中高斯定理的證明主要分以下四種情況：(a)電流元在球面中心由磁通量的定義和畢奧—薩法爾定律為了方便，把簡寫為，則可得電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度對球面的磁通量為因為，所以(b)電流元在任意閉曲面外電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度對閉曲面的磁通量為因為，并設(shè)，則代入原式得根據(jù)高斯公式同理可得(c)電流元在任意閉曲面內(nèi)以此類推，在閉曲面內(nèi)，以電流元為球心作一輔助球面，因為所以(d)電流元在閉曲面上由上述易知，所有的電流元在閉曲面上的磁通量也為零，即這正是磁場的高斯定理[4]。2.2高斯定理的直接證明圖1如圖1所示，電荷量為的帶電體中任一點處的電荷密度為,則由電場強(qiáng)度定義知該帶電體在空間點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為2－5式中為原點位矢，為原點到場點的位矢。將對任意閉合曲面求面積分，即得2－6由2－5式可得由于算符是對的微分算符，與無關(guān)，故2－7式中最后一步用到了函數(shù)的篩選性，將式2－7代入式2－5中得：(1)當(dāng)電荷包含在閉合曲面內(nèi)時，則(2)當(dāng)電荷的不包含在閉合曲面內(nèi)時，則由此高斯定理得證。2.3高斯定理的另一種證明圖2如圖2所示，設(shè)有一電量為孤立的正點電荷，現(xiàn)以點電荷所在處為球心，任意為半徑作一球面為高斯面，球面上任意點的場強(qiáng)為方向沿徑向離開球心，和球面上該點的法線正方向相同。通過該閉合曲面的電通量為與半徑無關(guān)。這一結(jié)果根據(jù)電通量的定義表明,電量為的正點荷發(fā)出條電場線,由于電通量與半徑無關(guān),說明電場線是不間斷的；若為負(fù)電荷,則表明有條電場線匯集到這個負(fù)點電荷上,同樣這些電場線也是不間斷的。由于電場線是不間斷的,面外電荷不影響閉合曲面的電通量?，F(xiàn)在我們設(shè)想這個點電荷不位于球心而位于球面內(nèi)任意點處,那么據(jù)以上分析同樣得穿過這個閉合球面的電通量亦為。現(xiàn)在我們進(jìn)一步設(shè)想,電量為的點電荷不是位于球面內(nèi)而是位于任意的閉合曲面內(nèi),則同樣得到結(jié)論,通過這個閉合曲面的電通量。若一閉合曲面內(nèi)包含個點電荷,其中個是正的,個是負(fù)的。設(shè)個正點電荷所帶的總電量為,則這個點電荷發(fā)出條不間斷的電場線；個負(fù)點電荷所帶的總量為，則這個負(fù)點電荷匯集條不間斷的電場線，據(jù)電通量的定義,發(fā)出的即穿出閉合曲面為正,匯集的即進(jìn)人閉合曲面的為負(fù),所以通過閉合曲面的電通量為即這里有可能出現(xiàn)面內(nèi)一些正電荷發(fā)出的電場線沒有穿出閉合曲面而直接匯集到負(fù)電荷上，也就是說，負(fù)電荷匯集的電場線不是由閉合曲面外來的，而是由閉合曲面內(nèi)來的，這并不影響我們的結(jié)論。因此就一般情況而言，若任一閉合曲面內(nèi)包圍的凈余電荷為，則穿過這個閉合曲面的電通量為由此，高斯定理得證[5]。3高斯定理的應(yīng)用高斯定理的一個重要應(yīng)用，是用來計算帶電體周圍電場的電場強(qiáng)度。雖然高斯定理的適用范圍很廣，但用它求帶電體的電場分布時有很大的局限性，只對那些電荷分布高度對稱的帶電體，才能使用高斯定理求場強(qiáng)。在選擇高斯面時，應(yīng)注意：eq\o\ac(○,1)場強(qiáng)是面積元處的，隨的不同，也不同；eq\o\ac(○,2)場強(qiáng)是全部帶電體系中（無論在高斯面內(nèi)還是在高斯面外）所有電荷產(chǎn)生的總場強(qiáng)，而只是對高斯面內(nèi)的電荷求和，這是因為高斯面外的電荷對總通量沒有貢獻(xiàn)，但不是對場強(qiáng)沒有貢獻(xiàn)；eq\o\ac(○,3)高斯面內(nèi)所包圍的電荷等于零時，不一定等于零，只說明通過高斯面的電通量等于零；eq\o\ac(○,4)高斯定理雖由庫侖定律引申而來，但它的適用范圍廣，而不論對靜止電荷還是運動電荷都適用，但應(yīng)用時，必須在電場具有某種對稱性時（球、軸、面對稱），才有可能；eq\o\ac(○,5)在應(yīng)用高斯定理時，除應(yīng)注意到場強(qiáng)具有對稱性外，對高斯面的選取還應(yīng)注意到：所選高斯面應(yīng)平行電場線或垂直電場線；當(dāng)高斯面法向與電場線平行時，高斯面上的場強(qiáng)的大小應(yīng)處處相等，這樣可提出積分號外，積分被簡化為對面元的取和。利用高斯定理求場強(qiáng)的一般步驟：（1）進(jìn)行對稱性分析，即由電荷分布的對稱性，分析電場分布的對稱性，判斷能否用高斯定理來求電場強(qiáng)度的分布（常見的對稱性有球?qū)ΨQ性、軸對稱性、面對稱性等），這是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點；（2）根據(jù)場強(qiáng)分布的特點，作適當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：①待求場?qiáng)的場點應(yīng)在此高斯面上，②穿過該高斯面的電通量容易計算；一般地，高斯面各面元的法線矢量與平行或垂直，與平行時，的大小要求處處相等，使得能提到積分號外面；（3）計算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場強(qiáng)。應(yīng)該指出，在某些情況下（對稱），應(yīng)用高斯定理是比較簡單的，但一般情況下，以點電荷場強(qiáng)公式和疊加原理以相互補(bǔ)充，還有其它的方法，應(yīng)根據(jù)具體情況選用。利用高斯定理，可簡捷地求得具有對稱性的帶電體場源（如球型、圓柱形、無限長和無限大平板型等）的空間場強(qiáng)分布。計算的關(guān)鍵在于選取合適的閉合曲面——高斯面。高斯定理的應(yīng)用舉例例一：求無限長均勻帶電直線的電場分布，已知線上線電荷密度為。圖3解法一：（利用庫侖定律求解）如圖3所示，我們選擇電荷元為長度上所帶電量，即，在點產(chǎn)生的元場強(qiáng)的大小為計算該積分，首先必須統(tǒng)一積分變量。為便于計算，將變量和統(tǒng)一用表達(dá)。由圖3可知，，，由又可以得，代入及后，可得對于每一個正軸上的長度，一定存在另一個對稱的負(fù)軸上的，這兩個長度上的電荷元在點產(chǎn)生的場強(qiáng)分量相互抵消，因此求總場強(qiáng)時我們只需對積分。注意，積分限為和，則有圖4解法二：（利用高斯定理求解）帶電直線的電場分布具有軸對稱性，考慮離直線距離為的一點處的場強(qiáng)（如圖4所示）。由于空間各向同性而帶電直線為無限長，且均勻帶電，所以電場分布具有軸對稱性，因而點的電場方向唯一的可能是垂直于帶電直線而沿徑向，并且和點在同一圓柱面（以帶電直線為軸）上的各點的場強(qiáng)大小也都相等，而且方向都沿徑向。作一個通過點，以帶電直線為軸，高為的圓筒形封閉面為高斯面，通過面的電通量為在面的上、下底面（和）上，場強(qiáng)方向與底面平行，因此，上式等號右側(cè)后面兩項等于零。而在側(cè)面（）上各點的方向與各該點的法線方向相同，所以有此封閉面內(nèi)包圍的電荷由高斯定理得由此得由上所述，解法一與解法二的結(jié)果相同，由解法一和解法二比較可知，當(dāng)條件允許時，利用高斯定理計算場強(qiáng)分布要簡便得多。4將高斯定理推廣到萬有引力場中4.1靜電場和萬有引力場中有關(guān)量的類比靜電學(xué)中的庫侖定律：4－1牛頓萬有引力定律：4－2以上4－1、4－2兩式在數(shù)學(xué)形式上完全等同。比較兩式可得如下結(jié)論：eq\o\ac(○,1)電學(xué)中相當(dāng)于力學(xué)中的，為了記憶的方便，我們記為（下同）于是有4－3上式中eq\o\ac(○,2)電學(xué)中電荷相當(dāng)于力學(xué)中的質(zhì)量，于是有4－44.2萬有引力場中的引力場強(qiáng)度矢量靜電場中點電荷在電場中受到的電場力為4－5經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點在引力場中受到的重力為4－6和電場強(qiáng)度類似，在萬有引力場中定義一個引力場強(qiáng)度矢量（以下簡稱引力場強(qiáng)），則4－7且規(guī)定：試探質(zhì)點在引力場中某點受到的力與其質(zhì)量之比定義為引力場中該點的引力場強(qiáng)4－8如果已知引力場中某點的引力場強(qiáng)，則質(zhì)點在該處受到的引力可由下式給出4－94.3萬有引力場中的高斯定理一般說來，引力場中的某點的是該點位置的矢量函數(shù)，對于多個質(zhì)點產(chǎn)生的引力場，引力場強(qiáng)滿足疊加原理。有了萬