/127/127/專題27圓錐曲線點差法必刷100題任務一:善良模式(基礎)1-30題一、單選題1．已知雙曲線被直線截得的弦AB，弦的中點為M（4，2），則直線AB的斜率為（）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】設，，，，利用點差法計算可得．【詳解】解：設交點坐標分別為，，，，則，，，兩式相減可得，即，所以，即直線的斜率為；故選：A．2．若點為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點差法求出直線的斜率，進而得到方程，注意檢驗是否符合題意即可.【詳解】設，則，，兩式做差可得，即，又因為是的中點，則，因此，即，所以，因此直線的方程為，即，經(jīng)檢驗，符合題意，故弦所在直線的方程為.故選：B.3．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點，直線與直線的交點恰好為線段的中點，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)離心率可得，利用點差法即可求解.【詳解】由題意可得，整理可得．設，，則，兩式相減可得．因為直線與直線的交點恰好為線段的中點，所以，則直線的斜率．故選：C4．若直線l與橢圓交于點A、B，線段AB中點P為（1，2），則直線l的斜率為（）A． B． C．6 D．－6【答案】B【分析】設A，B分別為，代入橢圓方程，相減后利用中點坐標公式可得直線斜率．【詳解】設A，B分別為，，，相減得，即，又中點是P（1，2），，，，，故選：B．5．過點的直線交拋物線于兩點，當點恰好為的中點時，直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點差法求得直線的斜率，進而可求出直線的方程，注意檢驗判別式是否大于0.【詳解】設，所以，兩式相減得，，因為點為的中點，所以，所以，故直線的斜率為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，所以，，故斜率為符合題意，因此直線的方程為，故選：D.6．以橢圓內一點為中點的弦所在的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先設直線與橢圓的兩個交點，，再利用點差法求直線的斜率，最后求解直線方程.【詳解】設過點的直線交橢圓于，兩點，則，兩式相減得，因為，，，兩邊同時除以得，得，所以直線方程為，即.故選：B7．已知橢圓()的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)中點坐標公式、橢圓離心率公式，結合點差法進行求解即可.【詳解】解：設，，則的中點坐標為，由題意可得，，將，的坐標的代入橢圓的方程：，作差可得，所以，又因為離心率，，所以，所以，即直線的斜率為，故選：A.8．已知直線l被雙曲線C：﹣y2=1所截得的弦的中點坐標為(1，2)，則直線l的方程（）A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0【答案】C【分析】運用代入法、點差法求出直線l的斜率，最后利用直線的點斜式方程進行求解即可.【詳解】解：設P，Q的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，∵線段PQ的中點為(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∵，∴﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，整理得，即直線l的斜率為，故直線l的方程為y﹣2=(x﹣1)，即x﹣8y+15=0，故選：C.9．已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，可得，，將兩點的坐標分別代入橢圓方程，兩式相減可求出===，進而可求出的值.【詳解】設，則，，則，兩式相減得：，∴===，又==，∴，聯(lián)立，得.∴橢圓方程為.故選：D．10．已知橢圓，點為右焦點，為上頂點，平行于的直線交橢圓于，兩點且線段的中點為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得直線的斜率，然后使用點差法進行計算，最后根據(jù)離心率的公式計算即可.【詳解】設，直線的斜率為則所以，由線段的中點為所以所以，又，所以，又所以，∴，故選：A.11．在拋物線中，以為中點的弦所在直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先設弦的兩端點的坐標分別為，，代入拋物線方程，兩式作差，求出弦所在直線的斜率，進而可求出直線方程.【詳解】設以為中點的弦的兩端點的坐標分別為，，由題意可得，，兩式作差可得，，所以因此所求直線的方程為，整理得.故選：C.12．已知斜率為的直線與雙曲線交于，兩點，若，的中點為，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點差法，設，代入雙曲線方程后作差，得，利用直線的斜率和線段的中點坐標求得的值.【詳解】設，，兩式相減得，即，兩邊同時除以得，由條件可知，，，，解得：，所以雙曲線的漸近線方程是，即.故選：B13．直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若為線段中點，，則橢圓的標準方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知求得，得到M的橫坐標為,進而求得M的縱坐標，然后得出OM的斜率，由,得到，即可判定結論.【詳解】易得直線l的與x軸的交點橫坐標為,∴橢圓的半焦距,又∵，∴M的橫坐標為,代入直線方程得到M的縱坐標為，∴OM的斜率,由于直線l的斜率,,,,∴,∴,∴,逐項檢驗，即可判定只有C符合，故選：C.14．已知曲線，過點且被點平分的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，根據(jù)點差法求，進而求出方程并檢驗即可.【詳解】解：設，故，兩式做差得：，所以，又因為，所以，故弦所在的直線方程為，即：.聯(lián)立方程得：，，故滿足條件.故選：A.15．過點作斜率為的直線與橢圓：()相交于?兩點，若是線段的中點，則橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由點差法運算可得，再由離心率公式即可得解.【詳解】設，則，，所以，作差得，所以，即，所以該橢圓的離心率.故選：A.16．過橢圓的右焦點的直線與交于，兩點，若線段的中點的坐標為，則的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設以及中點坐標，利用“點差法”得到之間的關系，從而得到之間的關系，結合即可求解出橢圓的方程.【詳解】設，則的中點，所以，又，所以，即，而，，所以，又，所以，所以橢圓方程為：.故選：A.17．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，直線（為坐標原點）的斜率為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設，，的中點，將，代入橢圓方程再相減得到，從而得到，即可得到答案.【詳解】設，，的中點，則，.因為，兩點在橢圓上，所以，.兩式相減得：，，，，即，解得.故選：B18．過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，，若是線段的中點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由條件可得，，由，得到，然后得出即可.【詳解】設，由條件可得，因為，所以將，代入可得，所以故選：A第II卷（非選擇題）二、填空題19．已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為___________．【答案】【分析】設，，采用“點差法”，得，再根據(jù)直線過點，和AB的中點坐標，得，結合橢圓中a，b，c的關系，可求得，，即可得E的方程.【詳解】由題意，設，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得﹐又的中點為，所以，代入上式可得，，又，所以，又，解得，所以橢圓的方程為．故答案為：20．橢圓離心率為，直線與橢圓交于，兩點，且中點為，為原點，則直線的斜率是_______．【答案】【分析】設，，利用點差法即可求出直線的斜率；【詳解】解：因為橢圓離心率為，所以，所以設，，所以，，因為，在橢圓上，所以，兩式作差得，即，即，即，所以故答案為：21．已知為拋物線的一條長度為8的弦，當弦的中點離軸最近時，直線的斜率為___________.【答案】【分析】利用拋物線的定義，找到直線中點的縱坐標，以及最短距離時點也在直線上，再次利用直線的兩點表示出斜率，即可解出的坐標，求出的斜率．【詳解】由題意得拋物線的準線方程為：，過作于，過作于，設弦的中點為，過作于，則，設拋物線的焦點為，則，即(當且僅當，，三點共線時等號成立)，所以，解得，即弦的中點到軸的最短距離為：，所以點的縱坐標為，，，，，，∴所以直線的斜率，∴，此時，當弦的中點離軸最近時，直線的斜率為，故答案為：.22．直線與橢圓交于，，線段的中點為，設直線的斜率為，直線的斜率為，則______．【答案】【分析】設點，代入橢圓的方程，利用點差法，結合線段的中點的坐標，即可得到答案.【詳解】設，中點，則，把點代入橢圓的方程，整理得，兩式相減得，整理得，即.23．已知橢圓，過點（4，0）的直線交橢圓于兩點.若中點坐標為（2，﹣1），則橢圓的離心率為_______【答案】【分析】設，代入橢圓方程，兩式作差，利用離心率公式即可求解.【詳解】設，則，①，②①②可得，因為中點坐標為（2，﹣1），則，，所以，所以，因為，所以，所以.故答案為：24．設、是拋物線上不同的兩點，線段的垂直平分線為，若，則______.【答案】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線方程可得出直線的斜率，由此利用點差法可得出關于的等式，進而可求得實數(shù)的值.【詳解】由題知，，，兩式相減得，所以，由題知，所以，所以.故答案為：.25．已知直線與橢圓相交于，兩點，若中點的橫坐標恰好為，則橢圓的離心率為______.【答案】【分析】設，，代入橢圓方程得，，兩式作差，利用中點坐標和斜率公式可得，再根據(jù)離心率公式可得結果.【詳解】設，，代入橢圓方程得，，兩式作差得，整理得，因為，所以，又因為，所以，所以，所以.故答案為：.26．在直角坐標系中，是圓的弦，是中點，若，都存在非零斜率，，則.類比于圓，在直角坐標系中，是橢圓的弦，是中點，若，都存在非零斜率，，則________.【答案】【分析】利用橢圓中的點差法進行求解即可，也就是設出橢圓弦的兩個端點的坐標，代入橢圓標準方程中，兩個方程相減，根據(jù)斜率公式和中點坐標公式進行求解即可.【詳解】設，所以有.由是中點，所以點的橫坐標為：，縱坐標為：，因此直線的斜率為：；是橢圓上的點，因此有得：，因此有.故答案為：三、解答題27．已知橢圓：過點，長軸長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作直線與橢圓交于，兩點，當為線段中點時，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）橢圓基本量計算.（2）點差法求斜率即可.（1）因為橢圓的長軸長為，所以，得，又橢圓過點，所以，得.所以橢圓的標準方程為:.（2）直線的斜率不存在時，過點，直線的方程為：此時線段中點為，不合題意.所以直線的斜率必存在，設其為，，，因為為的中點，則，所以，將、坐標代入橢圓的標準方程為得，，兩式相減得：，整理得：，所以，，所以.所以直線的方程為，即.因為點在橢圓內部，所以直線必與橢圓相交于兩點，此直線即為所求.28．已知橢圓C的焦點為，，過的直線與橢圓C交于A，B兩點.若的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓中以為中點的弦所在直線方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知得，解得，又，可得，進而可得答案．（2）根據(jù)題意得中點弦的斜率存在，，，，，則，，兩式作差，化簡可得斜率，即可得出答案．【詳解】解：（1）由已知得，則，又由，可得，所以橢圓方程為．（2）根據(jù)題意得中點弦的斜率存在，且在橢圓內，設，，，，所以，，兩式作差，得，所以，所以，所以，所以中點弦的方程為，所求的直線方程．29．設橢圓過點，離心率為（1）求C的方程；（2）求過點且以M點為中點的弦的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出=4，再根據(jù)，代入即可求解.（2）利用點差法可求得直線的斜率，根據(jù)點斜式方程即可得出結果.【詳解】（1）將代入C的方程得，∴=4，又得，即，∴，∴C的方程為．（2）設直線與C的交點為A，B，代入橢圓方程得，作差化簡可得，即，又，則，以M點為中點的弦的方程:,即：.30．已知橢圓的離心率為，點是橢圓上的兩個點，點是線段的中點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意得，根據(jù)a，b，c的關系，可求得a的值，即可得答案；（2）解法一：由題意得AB的斜率存在，設為k，可得直線AB的方程，與橢圓聯(lián)立，可得關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理，可得的表達式，根據(jù)的中點為，可得k的值，代入弦長公式，即可得答案；解法二：利用點差法，可求得直線AB的斜率k，進而可得直線AB的方程，與橢圓聯(lián)立，可得關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理，可得的值，代入弦長公式，即可得答案.【詳解】（1）由條件知，，，所以，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）解法一：當直線斜率不存在時，線段的中點在軸上，不符合題意，故可設直線的方程為，并設，聯(lián)立方程消去，得，，由點是線段的中點知，，所以，解得，代入得，所以.解法二：當直線斜率不存在時，線段的中點在軸上，不符合題意，設，其中，代入橢圓方程，，兩式相減得，由點是線段的中點知，，直線斜率為，直線方程為，聯(lián)立方程，消去，得，所以，所以.任務二:中立模式(中檔)1-40題一、單選題1．已知橢圓C：上存在兩點M，N關于直線對稱，且線段MN中點的縱坐標為，則的值是（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】設出，的坐標，代入橢圓方程，作差后結合已知直線的斜率及中點的坐標列式求解．【詳解】解：設，，則，，兩式相減，得，即，，關于直線對稱，，又線段中點的縱坐標為，線段中點的橫坐標為，所以，解得．故選：A．2．設直線與雙曲線兩條漸近線分別交于點，，若點滿足，則該雙曲線的漸近線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設,的中點為，用點差法可得，由可得結合點在直線上，可得出的關系，從而可得答案.【詳解】由雙曲線得到漸近線的方程為即雙曲線的兩條漸近線合并為設,的中點為，則，兩式相減可得，即……………①又點在直線上，則………②由,則，則……………③聯(lián)立②，③可得，將代入①可得所以漸近線的方程為故選：A3．已知橢圓：上有三點，，，線段，，的中點分別為，，，為坐標原點，直線，，的斜率都存在，分別記為，，，且，直線，，的斜率都存在，分別記為，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用點差法，設，，代入橢圓方程化簡可得，即，同理求出，，結合即可求解【詳解】設，，代入橢圓方程可得，兩式相減，可得，即，故，即，即，同理可得：，．由，得，故．故選：B．4．斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，交雙曲線于兩點，為雙曲線的右焦點且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點差法代入計算得，然后結合，可得，設直線的傾斜角為，則可得，從而得，即可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】設的中點為，設，則，得，則，設直線的傾斜角為，又，所以，可得，所以直線的傾斜角為，則的斜率為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：5．已知橢圓：的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點差法，設，，，則，，兩式相減，化簡可得，設，過作軸，垂足為，從而結合已知條件可得，將其代入橢圓方程化簡可求得結果【詳解】設，，，由題意得，，兩式相減，得，因為為線段的中點，且直線的傾斜角為，所以．設，則，過作軸，垂足為，則，，由題易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．故選：B6．直線l與拋物線相交于A，B兩點，線段AB的中點為M，點P是y軸左側一點，若線段PA，PB的中點都在拋物線上，則（）A．PM與y軸垂直 B．PM的中點在拋物線上C．PM必過原點 D．PA與PB垂直【答案】A【分析】設,得出線段PA，PB的中點坐標，代入拋物線方程，得到，從而得到答案.【詳解】設則線段PA，PB的中點坐標分別為線段PA，PB的中點都在拋物線上.則，即所以是方程的兩個實數(shù)根所以，所以,即PM與y軸垂直故選：A7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于，兩點，且，，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設出點的坐標，利用點差法可得，再根據(jù)可得，即可由此求出斜率.【詳解】設，在橢圓上，則，兩式相減可得，，是中點，則，代入上式，則，即，又，則，即，所以，可得，所以，所以直線的斜率為.故選：C.8．已知橢圓（）的右焦點為，過點的直線交橢圓于A，兩點，若線段的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用中點坐標公式和點差法可求得的值，結合可得出、的值，即得橢圓的方程.【詳解】設點、，則的中點為，則，可得.若直線軸，則線段的中點在軸上，不合題意；故直線的斜率存在，且，直線的斜率為，由于A、兩點都在橢圓上，則，兩式作差得，所以，因為在直線AB上，故，所以，又，故所以，解得，因此，橢圓的標準方程為.故選：A.9．拋物線上有一動弦，中點為，且弦的長為3，則點的縱坐標的最小值為（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得到，利用根與系數(shù)的關系，再利用中點坐標公式和基本不等式即可得到答案【詳解】解：設直線的方程為，由，得，由題意可得，即，設，則，因為，所以，中點的縱坐標為當且僅當，即時取等號，所以點的縱坐標的最小值為，故選：A10．過點作直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且使得A是的中點，直線l方程為（）A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在【答案】D【分析】設出點P，Q的坐標，利用“點差法”求出直線l的斜率并求出其方程，再將直線l與雙曲線方程聯(lián)立驗證即可得解.【詳解】設點，因點是的中點，則，從而有，兩式相減得：，即，于是得直線l的斜率為，直線l的方程為：，即，由消去y并整理得：，此時，即方程組無解，所以直線l不存在.故選：D11．以原點為對稱中心的橢圓焦點分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點分別為，，若，，則直線的斜率為()A． B． C． D．【答案】A【分析】分類討論直線的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線與曲線方程，再根據(jù)，求解.【詳解】設橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設直線的方程為.聯(lián)立得，故，；聯(lián)立得，則，.因為，所以，所以.又，所以，所以，所以，.故選：A.12．過橢圓的右焦點并垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為，橢圓上不同的兩點，滿足條件：成等差數(shù)列，則弦的中垂線在軸上的截距的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用焦半徑公式得，設中點，利用點差法可求得，進而求得弦的中垂線方程，求得其在軸上的截距，利用在橢圓“內”，可求得結果.【詳解】因為成等差數(shù)列，，利用焦半徑公式得：，，代入可得設中點，橢圓上不同的兩點，，兩式作差可得，，所以弦的中垂線的方程為：，當時，，此即的中垂線在軸上的截距，在橢圓“內”，，得，．故選：C．13．已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題設，利用為的重心，求出線段的中點為，將B代入直線方程得，再利用點差法可得，結合，可求出，進而求出離心率.【詳解】由題設，則線段的中點為，由三角形重心的性質知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點，則，又為橢圓上兩點，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.14．已知圓在橢圓的內部，點為上一動點.過作圓的一條切線，交于另一點，切點為，當為的中點時，直線的斜率為，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】當點為中點時，由點差法可得，再由與圓相切可得，可解出；設為的左頂點，連接，則，根據(jù)正切的二倍角公式可解得，即得出，將和代入得，然后解出離心率.【詳解】設，，，則，.將，的坐標分別代入的方程，得，兩式相減，得，所以，即.當為的中點時，，則，故.如圖，設為的左頂點，連接，則，所以，整理得，解得或（舍去），則，所以，所以，故的離心率.故選：C.15．已知雙曲線：，若存在斜率為1的直線與的左?右兩支分別交于點，，且線段的中點在圓：上，則的離心率的最小值為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)點差法化簡后可得，利用中點在圓上，代入根據(jù)方程有解，利用判別式建立不等關系，化簡即可求出離心率的取值范圍.【詳解】設，則①，②①②得化簡得，因為直線斜率為1，所以，設為中點，則③，其中，，因為在圓上，則④③代入④可得，方程有解可得，即，解得,即，所以，故選：B16．過拋物線的焦點F的直線l（不平行于y軸）交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點M，若，則線段FM的長度為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先設點，點，則，再把的中點坐標和斜率表示出來，進一步可以求出線段AB的中垂線的方程，只需令，則的橫坐標，故可計算出線段FM的長度為.【詳解】設，，由拋物線性質可知.，由題可知.，即設線段AB的中垂線的斜率為，則.所以AB的中垂線方程為：令，則的橫坐標則所以線段FM的長度為2.故選：B.17．已知拋物線C1：和圓C2：(x-6)2+(y-1)2=1，過圓C2上一點P作圓的切線MN交拋物線C，于M，N兩點，若點P為MN的中點，則切線MN的斜率k>1時的直線方程為（）A．4x-3y-22=0 B．4x-3y-16=0 C．2x-y-11+5=0 D．4x-3y-26=0【答案】D【分析】設點和直線MN的方程為：，其中，則，聯(lián)立并結合韋達定理可得，，利用直線MN與圓C2相切，則有，再根據(jù)直線C2P與直線MN垂直，則，消去n化簡可得，降次整理可得，令，利用導數(shù)求出單調性可證明在無解，故可得，代入可求n，從而可求直線MN的方程.【詳解】畫出曲線圖像如下圖：由題意知，切線MN的斜率k存在且不為0，設點，設直線MN的方程為：，其中，則，聯(lián)立，可得，則有，，，根據(jù)中點坐標公式可得，，，又直線MN與圓C2相切，則有，即①，依題意，直線C2P與直線MN垂直，則，整理得②，將②代入①并整理得，，降次化簡可得，③，令，則，因為，所以，即在單調遞減，則在上恒成立，即在無解，從而③式的解只有一個，，代入②式可得，，所以，直線MN的方程為：，整理得，4x-3y-26=0.故選：D.18．已知圓與橢圓相交于兩點，若是圓的直徑，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得點關于圓心對稱，先用點差法將直線AB的斜率求出來，即可得AB的方程，然后再由即可求出橢圓的方程.【詳解】依題意，點關于圓心對稱，且.設，，則，，兩式相減并結合，得.易知，不與軸垂直，則，所以的斜率，因此直線方程為，代入橢圓方程得：，所以，.于是.由，得，解得.所以橢圓的方程為，故選：A.19．已知拋物線，直線交拋物線于兩點，是的中點，過作軸的垂線交拋物線于點，且，若，則k為（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】設,,根據(jù)向量運算可得，聯(lián)立直線與拋物線方程，由根與系數(shù)的關系即可求解k.【詳解】設，則，由，，，，①即，由得，當，即時，代入①得：即，解得或（舍去），故選：B20．已知橢圓上存在兩點關于直線對稱，且線段中點的縱坐標為，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】點關于直線對稱，則線段中點在直線上，求出中點坐標，與直線垂直，根據(jù)中點關系和斜率關系即可求解.【詳解】設，點關于直線對稱，且線段中點在直線上，縱坐標為，所以橫坐標為，，在橢圓上：，，兩式相減得：解得：.故選：B第II卷（非選擇題）二、填空題21．已知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B，D兩點，且BD的中點為，則C的離心率是______．【答案】2【分析】設，代入雙曲線方程，利用點差法，可求得，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】設，則，兩式作差可得：，即，因為為BD中點，所以，又直線BD斜率為1，所以，代入可得，，所以C的離心率.故答案為：222．已知橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程為______.【答案】【分析】設這條弦的兩個端點分別為、，由中點坐標公式得，利用點差法可求得直線的斜率，再由點斜式可得出這條弦所在直線的方程.【詳解】解：已知橢圓的弦被點平分，設這條弦的兩個端點分別為、，則，得，由于點、均在橢圓上，則，兩式相減得，可得，即，所以直線的斜率為，因此，這條弦所在直線的方程為，即.故答案為：.23．已知橢圓離心率，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點（A在第一象限），過A作x軸垂線交橢圓于點C，過A作直線AP垂直AB交橢圓于點P，連接BP交AC于點Q，則____【答案】/【分析】首先求得，然后由求得點的縱坐標，從而求得.【詳解】.設，則，設，兩式相減并化簡得，即，，由，可得，則，即，解得，.故答案為：24．已知橢圓：上存在，兩點關于直線對稱，且線段的中點在拋物線上，則實數(shù)的值為___________.【答案】或/0或【分析】由題意，設：，的中點，聯(lián)立直線AB方程和橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式，可得，代入拋物線方程可求t，從而即可得m的值．【詳解】解：因為所在的直線與直線垂直，所以設：，的中點，聯(lián)立，得，設，，則有，所以，，得，將代入拋物線方程中得，所以或，所以或，因為點在直線上，所以得或，故答案為：或.25．已知橢圓：的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是___________.【答案】【分析】利用點差法，代入為線段的中點，可求得，進而得，即可求得離心率．【詳解】設，，，在橢圓上，所以，，兩式相減，得，又為線段的中點，所以，即，即，所以.故答案為：26．已知直線與橢圓交于A、B兩點，與圓交于C、D兩點．若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是_____________．【答案】【分析】求得直線恒過定點，該定點剛好為圓心，則CD為直徑，又由條件可知圓心也為AB的中點，設A、B點的坐標，并運用點差法和直線的斜率公式、中點坐標公式，即可得到所求離心率的取值范圍.【詳解】直線，即為，可得直線恒過定點，圓的圓心為，半徑為1，且C，D為直徑的端點，由，可得的中點為，設，，則，，兩式相減可得，由，，可得，由，即有，則橢圓的離心率．27．橢圓內，過點且被該點平分的弦所在的直線方程為______．【答案】【分析】設出坐標，根據(jù)點在橢圓上利用點差法求解出的值，再利用直線的點斜式方程可求解出直線方程.【詳解】設直線與橢圓的兩個交點為，因為在橢圓上，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以的方程為：，即，故答案為：.28．已知圓：與橢圓：相交于、兩點，若是圓的直徑，則橢圓的方程為________.【答案】【分析】先設交點，，利用點差法求出直線的斜率，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用弦長構建關系求出參數(shù)b即可.【詳解】橢圓：，即，焦點在軸上，由題意可知為中點，設、，則，作差可得，即即，又，則，故直線方程為：，聯(lián)立得：，即，即，設，，則，，又，，即，即，，則，橢圓的方程為：.故答案為：.29．已知為橢圓的右焦點.直線與橢圓C相交于A，B兩點，A，B的中點為P，且直線OP的斜率，則橢圓C的方程為_______________.【答案】【分析】設，A，B的中點為，則由題意知，，由A，B是橢圓上不重合的兩點，則，兩式相減可得，即，再結合，即可求得橢圓C的方程.【詳解】設，A，B的中點為，則由題意知，由A，B是橢圓上不重合的兩點，則，兩式相減得，整理可得，即，即，又，解得：所以橢圓C的方程為故答案為：30．已知曲線：，點，在曲線上，且以為直徑的圓的方程是．則______．【答案】【分析】由題知，圓的圓心坐標，由點差法可得直線的斜率為1，設，，則有，又圓的直徑為2，聯(lián)立直線與曲線方程，由韋達定理表示，解方程即可得.【詳解】因為是圓的直徑，必過圓心點，設所在直線方程為：設、點坐標分別為，，都在上，故兩式相減，可得：（因為是的中點），即．聯(lián)立直線與的方程：又，即，即，又因為，則有即，∴．故答案為：31．已知拋物線E：y2＝4x，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）為拋物線上的三個動點，其中x1＜x2＜x3且y2＜0，若ABC的重心恰為拋物線E的焦點，且AB、AC、BC三邊中點到拋物線E的準線的距離成等差數(shù)列，則直線AC的斜率為_____.【答案】2【分析】如圖所示，求出，根據(jù)是ABC的重心，得到根據(jù)AB、AC、BC三邊中點到拋物線E的準線的距離成等差數(shù)列求出再利用點差法求出直線的斜率.【詳解】如圖所示，設是拋物線的焦點，，由題得，所以，即，同理因為是ABC的重心，所以因為AB、AC、BC三邊中點到拋物線E的準線的距離成等差數(shù)列，所以，所以.由題得.所以因為，，所以直線AC的斜率為2.故答案為：232．已知橢圓，作傾斜角為的直線交橢圓C于A、B兩點，線段的中點M，O為坐標原點，與的夾角為，且，則____________【答案】【分析】設，首先由點差法可得，設直線的傾斜角為，則或，然后結合條件可建立方程求解.【詳解】設，則，，兩式相減，得．兩點直線的傾斜角為，，，即，設直線的傾斜角為，則或所以，因為，所以，解得，即故答案為：33．已知拋物線的準線方程為，在拋物線上存在兩點關于直線對稱，且為坐標原點，則的值為__________.【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的簡單幾何性質求出拋物線的方程，再根據(jù)點差法求出的中點坐標，從而得出的坐標，然后由向量的模的坐標計算公式即可求解．【詳解】拋物線的準線方程為，可知拋物線的方程為：．設點，的中點為，則兩式相減可得，，，所以，解得，可得，則，可得.故答案為：．34．已知橢圓C：的一個頂點為，離心率，直線交橢圓于M，N兩點，如果△BMN的重心恰好為橢圓的左焦點F，則直線方程為___________【答案】【分析】利用橢圓的離心率以及經(jīng)過的點，求出，得到橢圓方程，設出，利用重心坐標結合平方差法，轉化求解直線的斜率，然后求解直線方程．【詳解】解：由題意得，又，解得．橢圓的方程為．橢圓左焦點的坐標為，設線段的中點為，，由三角形重心的性質知，從而，，，解得，，所以點的坐標為．設，，，，則，，且，以上兩式相減得，，故直線的方程為，即．故答案為：．35．已知拋物線上一點到焦點的距離為3，過焦點的直線與拋物線相交于、兩點，點到直線的距離為，當取得最大值時，的面積等于__________．【答案】54【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式得到拋物線方程；根據(jù)拋物線性質可知當時，最大，從而可求得的方程；聯(lián)立直線和拋物線方程，根據(jù)弦長公式求解出，進而得到所求面積.【詳解】根據(jù)到焦點距離為可得：，解得則拋物線的方程為，則點的坐標為，當時，點到直線距離最大直線的斜率則直線的方程為聯(lián)立得，本題正確結果：三、解答題36．已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線與拋物線C交于A，B兩點，且的中點的縱坐標為2．（1）求C的方程（2）已知，若P在線段上，是拋物線C的兩條切線，切點為H，G，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設點，由中點坐標得，再由直線AB的斜率得，將A、B兩點代入拋物線方程中計算可求得得拋物線的方程；（2）設，且，設點，，求得切線PH、PG的方程，再由點P在切線PG、PH上得出直線GH的方程，與拋物線聯(lián)立，求得弦長，以及點P到直線GH的距離，表示的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質可求得三角形面積的最大值.【詳解】解：（1）設點，則，所以，又因為直線AB的斜率為1，所以，將A、B兩點代入拋物線方程中得：，將上述兩式相減得，，即，所以，即，所以，因此，拋物線的方程為；（2）因為，P在線段上，所以設，且，設點，，則切線PH、PG的斜率定存在，設直線PH的方程為，與拋物線聯(lián)立消y得：，所以，即，解得，所以切線PH的方程為，即，同理得切線PG的方程為，又點P在切線PG、PH上，所以，所以直線GH的方程為，即，直線GH的方程與拋物線聯(lián)立，整理得，所以，又點P到直線GH的距離為，所以的面積為，因為，所以，，所以，所以面積的最大值為．37．已知橢圓：，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為.（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時直線斜率；若不能，說明理由.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設，由，利用點差法求解；（2）根據(jù)四邊形為平行四邊形，設，得到，從而有，然后利用（1）的結論求解,【詳解】（1）設，則，兩式相減得：，所以；（2）若四邊形為平行四邊形，設，則，所以，由（1）知：，整理得：，由，解得，所以直線斜率.38．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，AB為橢圓的一條弦，直線y=kx（k>0）經(jīng)過弦AB的中點M，與橢圓C交于P，Q兩點，設直線AB的斜率為，點P的坐標為（1，）（1）求橢圓C的方程；（2）求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意可列方程組，解之即得；（2）利用“點差法”即證.【詳解】（1）由題意知解得故橢圓的方程為.（2）證明：設，，，由于A，B為橢圓C上的點，所以，，兩式相減得，所以.又，故，為定值.39．已知，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段中點為.（1）若，點在橢圓上，分別為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍；（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時直線的斜率；若不能，請說明理由.【答案】（1）；（2）能，.【分析】（1）求得焦點坐標，設，運用向量數(shù)量積的坐標表示，結合橢圓的范圍，可得所求范圍；（2）設A，B的坐標分別為運用中點坐標公式和點差法，直線的斜率公式，結合平行四邊形的性質，即可得到所求斜率.【詳解】（1）當時，橢圓，橢圓的兩個焦點.設，則，即，所以，所以因為，所以所以的范圍是.（2）設A，B的坐標分別為可得.則，兩式相減可得，即.又設，直線，即直線的方程為，從而代入橢圓方程可得，.由與聯(lián)立得.若四邊形OAPB為平行四邊形，那么M也是OP的中點，所以，即，整理可得，解得.經(jīng)檢驗滿足題意，所以當時，四邊形OAPB為平行四邊形.40．已知橢圓，試確定m的取值范圍，使得圓E上存在不同的兩點關于直線對稱.【答案】.【分析】設、是橢圓E上關于直線的兩個對稱點，結合題意利用點差法求解即可【詳解】設、是橢圓E上關于直線的兩個對稱點，則應有：①-②并把③代入得..⑥聯(lián)立④⑥得代入⑤得，解得.任務三:邪惡模式(困難)1-30題一、解答題1．已知的兩個頂點坐標分別為，該三角形的內切圓與邊分別相切于P，Q，S三點，且，設的頂點A的軌跡為曲線E．（1）求E的方程；（2）直線交E于R，V兩點．在線段上任取一點T，過T作直線與E交于M，N兩點，并使得T是線段的中點，試比較與的大小并加以證明．【答案】（1）（2）大小關系不確定；證明見解析【分析】（1）由題可得，可得軌跡為橢圓，即可求出方程；（2）設，代入橢圓，相減可得斜率關系，利用弦長公式求出，再求出可比較.（1）由內切圓的性質得，所以曲線E是以B，C為焦點，4為長軸長的橢圓，且A，B，C不共線，則，，故E的方程為．（2）當T不為坐標原點時，設，則兩式相減得，即，所以，設，聯(lián)立方程組整理得，．因為T是線段的中點，所以．聯(lián)立方程組解得．聯(lián)立方程組解得，所以，故．當T為坐標原點時，由對稱性知，與的大小關系不確定．2．已知橢圓的左?右焦點分別為，，且橢圓過點，離心率，為坐標原點，過且不平行于坐標軸的動直線與有兩個交點，，線段的中點為.（1）求的標準方程；（2）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值；（3）軸上是否存在點，使得為等邊三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【分析】（1）由橢圓所過點及離心率，列方程組，再求解即得；（2）設出點A，B坐標并列出它們滿足的關系，利用點差法即可作答；（3）設直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，借助韋達定理求得，，再結合為等邊三角形的條件即可作答.【詳解】（1）顯然，半焦距c有，即，則，所以橢圓的標準方程為；（2）設，，，，由(1)知，，兩式相減得，即，而弦的中點，則有，所以；（3）假定存在符合要求的點P，由(1)知，設直線的方程為，由得：，則，，于是得，從而得點，，因為等邊三角形，即有，，因此，，，從而得，整理得，無解，所以在y軸上不存在點，使得為等邊三角形.3．已知點，不垂直于x軸的直線l與橢圓相交于兩點．（1）若M為線段的中點，證明：；（2）設C的左焦點為F，若M在的角平分線所在直線上，且l被圓截得的弦長為，求l的方程．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）將代入橢圓的方程，兩式相減由兩點間斜率公式以及中點坐標公式即可求證.（2）當直線l的斜率為時，不符合題意；當直線l的斜率不為時，設直線：，與橢圓方程聯(lián)立，消元利用韋達定理得出，，利用以及斜率公式即可得出的值，再由直線被圓截得的弦長求出得值，即可求解.【詳解】（1）由可得，因為是兩點的中點，所以，因為兩點在橢圓上，所以，兩式相減可得：，所以，因為是兩點的中點，所以點在橢圓的內部，所以，解得：，所以.（2）當直線l的斜率為時，l被圓截得的弦長為不符合題意；當直線l的斜率不為時，設直線：，得，則即，，，因為，則軸，因為平分，所以，即，可得，整理得：，所以，因為所以，所以直線：，因為直線被圓截得的弦長為，圓的半徑，所以圓心到直線：的距離為，所以解得：，且滿足，所以l的方程為，4．已知點在橢圓上，且點M到C的左?右焦點的距離之和為.（1）求C的方程；（2）設О為坐標原點，若C的弦AB的中點在線段OM(不含端點O，M)上，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將點坐標代入橢圓方程以及雙曲線的定義列方程組，解之即可求解；（2）設，，求AB的中點坐標，由點差法求得直線的斜率和方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和判別式大于，由向量數(shù)量積的坐標表示化簡即可求解.【詳解】（1）由已知得，解得，所以橢圓的方程為.（2）設，，則AB的中點在線段OM上，且，方程：，AB的中點代入方程可得：.又，，兩式相減得，易知，，所以，即.設直線AB的方程為，代入并整理得.由，解得，所以.由根與系數(shù)的關系得，，則，又，所以的取值范圍是.5．已知橢圓：.（1）橢圓是否存在以點為中點的弦？若存在，求出弦所在的直線的方程，若不存在，請說明理由；（2）已知橢圓的左?右頂點分別為，，點是橢圓上的點，若直線，分別與直線交于，兩點，求線段的長度取得最小值時直線的斜率.【答案】（1）存在，直線的方程為；（2）.【分析】（1）先判斷點在橢圓的內部，得橢圓存在以該點為中點的弦，再利用點差法求出直線的斜率，進而得到直線方程；（2）顯然直線的斜率存在，且，設直線的方程為，求得點，點，及點，進而求得，再利用基本不等式求最值.【詳解】（1）因為，所以點在橢圓的內部，則橢圓存在以點為中點的弦.設弦所在的直線與橢圓相交于，，則，兩式相減，得，即.又，，，整理得.所以直線的方程為，即.（2）因為，，三點共線所以可知當線段的長度取得最小值時，直線的斜率顯然存在，且，，設直線的方程為，從而點.聯(lián)立，消整理得，設點，則.所以，從而，所以.又點，則直線的斜率為.由，得，所以.故.又，則，當且僅當，即時等號成立所以當時，線段的長度取得最小值.所以此時直線的斜率為.6．已知斜率為的的直線與橢圓交于點，線段中點為，直線在軸上的截距為橢圓的長軸長的倍.（1）求橢圓的方程；（2）若點都在橢圓上，且都經(jīng)過橢圓的右焦點，設直線的斜率分別為，，線段PQ,MN的中點分別為，判斷直線是否過定點，若過定點.求出該定點，若不過定點，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點，.【分析】（1）利用點差法可得，再由直線的方程為，求出軸上的截距，結合題意即可求解.（2）設直線的方程分別為，分別將直線與橢圓方程聯(lián)立，分別求出，，求出直線方程，化簡整理即可求解.【詳解】本題考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系，考查數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng).（1）設，則，且兩式相減得即，即，所以又直線的方程為，令，得所以，所以橢圓的方程為.（2）由題意得，直線的方程分別為，設，聯(lián)立，得，所以，則同理所以由得，所以直線的方程為整理得，所以直線過定點.7．已知拋物線，過其焦點且斜率為的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為．（1）求拋物線的方程；（2）若點，問x軸上是否存在點，使得過點的任一條直線與拋物線交于點兩點，且點到直線的距離相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在；．【分析】（1）設，利用點差法可得解；（2）由題知為的角平分線，可得，設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，由韋達定理結合得，即對于任意的恒成立，可得答案.【詳解】（1）設，則因為線段的中點的縱坐標為，則，兩式相減得．所以，即拋物線的方程為（2）假設存在這樣的點滿足條件，設為，因為點到直線的距離相等，所以為的角平分線，則，可得，顯然直線的斜率不能為零，故設直線的方程為，由聯(lián)立得，設，則有得即，整理得，即，得，即對于任意的恒成立，所以且此時滿足，所以存在點到直線的距離相等.8．如圖，曲線由兩個橢圓和橢圓組成，當a、b、c成等比數(shù)列時，稱曲線為“貓眼曲線”，若貓眼曲線過點，且a、b、c的公比為.（1）求貓眼曲線的方程；（2）任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦AB的中點為M，交橢圓所得弦CD的中點為N，直線OM、直線ON的斜率分別為、，求證：為與k無關的定值；（3）設、為橢圓上的兩點，直線OP、直線的斜率分別為、，且，求的最大值.【答案】（1）∴，；（2），證明見解析;（3）的最大值為3.【分析】（1）由題意可知：，，代入分別求得a和c的值，即可求得“貓眼曲線”的方程；（2）根據(jù)中點坐標公式，將E，F(xiàn)坐標代入橢圓方程，利用“點差法”求得，同理求得，即可求得的值；（3）根據(jù)題意可得，由P?Q為橢圓上的兩點，推出，解得4，進而推出，則，再由基本不等式推出答案.【詳解】解：（1）由題意知，，，∴，，∴，；證明：（2）設斜率為的直線交橢圓于點，線段中點為，則，，由，可得，因為k存在且，∴，，∴，即，同理，∴；故為與k無關的定值；（3）因為直線?直線的斜率分別為?，且，所以，即，又因為?為橢圓上的兩點，所以，所以，整理得，所以，所以，所以.所以的最大值為3.9．坐標平面內的動圓與圓外切，與圓內切，設動圓的圓心的軌跡是曲線，直線.（1）求曲線的方程；（2）當點在曲線上運動時，它到直線的距離最小？最小值距離是多少？（3）一組平行于直線的直線，當它們與曲線相交時，試判斷這些直線被橢圓所截得的線段的中點是否在同一條直線上，若在同一條直線上，求出該直線的方程；若不在同一條直線上，請說明理由？【答案】（1）；（2）點到直線的距離最小，距離最小為；（3）在同一直線，直線為：.【分析】（1）利用兩個圓外切與內切的性質可得，再利用橢圓的定義即可求得曲線的方程；（2）設與平行的直線的方程為，代入，整理可得，當，直線與曲線相切，此時點到直線的距離最小，利用點到線距離公式求得最小值.（3）設兩個交點為，利用點差法化簡得，即，整理得.【詳解】解：（1）設動圓的半徑為，由題意可知，則，根據(jù)橢圓的定義可知曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓，其中，即所以曲線的方程為：.（2）設與平行的直線的方程為，即，代入，可得，整理得，，當時，此時直線與曲線相切，根據(jù)圖形可知當時，點到直線的距離最小，.（3）這些直線被橢圓所截得的線段的中點在同一條直線上設與平行的直線與曲線的兩交點坐標為，中點，，兩式作差得，整理可得：，即，整理得，即所有弦的中點均在直線上.10．已知點在橢圓：（）上，且點到的左、右焦點的距離之和為.（1）求的方程；（2）設為坐標原點，若的弦的中點在線段（不含端點，）上，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）本小題根據(jù)已知條件直接求出，，再求出橢圓方程即可.（2）本小題先設、兩點，再將轉化為只含的表達式，最后根據(jù)的范圍確定的范圍，即可解題.【詳解】解：（1）∵點在橢圓：（）上，∴，又∵，∴，.∴橢圓的方程：（2）設點、的坐標為，，則中點在線段上，且，則，又，，兩式相減得，易知，，所以，則.設方程為，代入并整理得.由解得，又由，則.由韋達定理得，，故又∵.∴的取值范圍是.11．如圖，橢圓的右焦點為，過焦點，斜率為的直線交橢圓于、兩點（異于長軸端點），是直線上的動點．（1）若直線平分線段，求證：．（2）若直線的斜率，直線、、的斜率成等差數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用點差法可證得結論成立；（2）令，可得直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用直線、、的斜率成等差數(shù)列，可得出關于的等式，然后利用函數(shù)的基本性質可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設、，線段的中點，由題意可得，上述兩式相減得，可得，，，則，因此，；（2）由，令，則直線的方程為，由得，恒成立，由韋達定理得，，因為直線、、的斜率成等差數(shù)列，所以，，，，，即，，，由雙勾函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，當時，，所以，.因此，實數(shù)的取值范圍是.12．在平面直角坐標系中，已知橢圓，直線．（1）若橢圓C的一條準線方程為，且焦距為2，求橢圓C的方程；（2）設橢圓C的左焦點為F，上頂點為A，直線l過點F，且與FA垂直，交橢圓C于M，N（M在x軸上方），若，求橢圓C的離心率；（3）在（1）的條件下，若橢圓C上存在相異兩點P，Q關于直線l對稱，求的取值范圍（用k表示）．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用準線、焦距以及列方程組，解方程組求得的值，進而求得橢圓方程.（2）求得直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，寫出根與系數(shù)關系，結合得到關于的方程，由此求得橢圓的離心率.（3）設，，PQ的中點，利用點差法求得，根據(jù)點在橢圓C的內部列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）設橢圓C的半焦距為c，因為橢圓C的一條準線方程為，且焦距為2，所以，解得，橢圓C的方程為．（2）如圖，因為，，所以，因為直線l過點F，且與FA垂直，所以直線l的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立得，因為l過左焦點F，所以恒成立，設，，則（*），因為，所以，代入（*）得，消去并化簡得，因為，所以，即，因為，所以，解得，所以．（3）如圖，設，，PQ的中點，則，兩式相減并化簡得，即，因為，所以，又，所以，因為點在橢圓C的內部，所以，化簡得．故的取值范圍為．13．在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，左、右頂點分別為、，且線段的長為，為橢圓異于頂點，的點，過點，分別作，，直線，交于點．（1）求橢圓的方程；（2）求證：當在橢圓上運動時，點恒在一定橢圓上；（3）已知直線過點，且與（2）中的橢圓交于不同的兩點，，若為線段的中點，求原點到直線距離的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)離心率為，左、右頂點分別為、，且線段的長為，由求解.（2）設，，根據(jù)，，分別寫出，的直線方程聯(lián)立，求得，代入即可.（3）設，根據(jù)直線過點，且與橢圓交于不同的兩點，，為線段的中點，利用點差法由，得到，然后由，令，利用基本不等式求解.【詳解】（1）因為離心率為，左、右頂點分別為、，且線段的長為，所以解得橢圓的方程是；（2）設，，因為，所以的直線方程為，同理的直線方程為，聯(lián)立方程組，解得，因為點P在橢圓上，所以，所以，即，代入得：，所以當在橢圓上運動時，點恒在一定橢圓上；（3）設，因為直線過點，且與橢圓交于不同的兩點，，為線段的中點，則，兩式相減得：，所以，所以原點到直線距離：，令，因為，所以，所以，當且僅當，即時取得等號，所以原點到直線距離的最小值為．14．在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，為橢圓的一條弦（不經(jīng)過原點），直線經(jīng)過弦的中點，與橢圓交于、兩點，設直線的斜率為.（1）若點的坐標為，求橢圓的方程；（2）求證：為定值；（3）過作軸的垂線，垂足為，若直線和直線傾斜角互補，且的面積為，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設點、，利用點差法可得出，再利用可求得的值；（3）設點，根據(jù)直線和的傾斜角互補和面積公式計算出點的坐標，進而可求得橢圓的方程.【詳解】（1）由已知條件得，解得，因此，橢圓的方程為；（2）設點、，則線段的中點坐標為，，.由題意可得，，，由于點、都在橢圓上，則，兩式作差得，（定值）；（3）設點，則、，，直線與直線的傾斜角互補，，又，且，則，解得.的面積為且，解得，，即點.，解得，因此，橢圓的標準方程為.15．已知橢圓的右焦點為，右準線為.過點作與坐標軸都不垂直的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，為坐標原點，且直線與右準線交于點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求直線的方程；（3）是否存在實數(shù)，使得恒成立？若存在，求實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.【分析】（1）根據(jù)準線的定義得，又由，結合可求得，得橢圓標準方程；（2）由可求得點橫坐標，設直線方程為，代入橢圓方程整理后應用韋達定理得，由可得，得直線方程；（3）設，得，由點差法可得，從而得，則可得點坐標，然后計算可得．【詳解】（1）由已知可得：，解得：橢圓的標準方程為：.（2）由可知：即，可得：，設，直線AB的方程為，聯(lián)立，得：，為線段的中點，則，即，解得：，所以直線的方程為.（3）設，，，，，，由，兩方程相減得，即，∴，即，又，∴，∵，∴，即，，，，，，∴．∴存在滿足題意的，且．16．為坐標原點，橢圓：的離心率為，橢圓的右頂點為.設，是上位于第二象限的兩點，且滿足，是弦的中點，射線與橢圓交于點.（1）求證：直線與直線斜率的乘積為；（2）若，求橢圓的標準方程.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）可求出即橢圓方程為，設，，代入橢圓方程，兩方程相減進行整理可證明；（2）設：，代入，可求出的坐標，從而可求，同理可求，結合和可求出，從而可求橢圓的方程.【詳解】（1）由知，∴方程可表示為，設，，則，兩式相減，即，∴，結論成立；（2）設：，代入，得，，∴，同理設：，則，且，∴，∴，從而橢圓方程為.17．已知是曲線上的動點，且點到的距離比它到x軸的距離大1.直線與直線的交點為.（1）求曲線的軌跡方程；（2）已知是曲線上不同的兩點，線段的垂直垂直平分線交曲線于兩點，若的中點為，則是否存在點，使得四點內接于以點為圓心的圓上；若存在，求出點坐標以及圓的方程；若不存在，說明理由.【答案】(1);(2)存在,,.【分析】(1)由點到的距離比它到軸的距離大1可知,點的軌跡為拋物線,即可求出軌跡方程.(2)設,點差法結合中點,可求出,從而可求直線的方程是,直線的方程是,分別與聯(lián)立,求出交點的坐標,求出到四點距離均相等的點即為圓心,該距離即為半徑,即可求出圓的方程.【詳解】解:(1)因為點到的距離比它到軸的距離大1,則點到的距離與點到直線的距離相等.故點的軌跡為拋物線焦點為,則.即曲線的軌跡方程為.（2）聯(lián)立,解得,故.設,則,根據(jù)點差法,兩式相減整理得.所以直線的方程是直線的斜率為,則直線的方程是聯(lián)立,解得從而有.聯(lián)立,得,則設的中點為,則,從而有故四點共圓且為圓心,故圓的方程是.18．如圖所示，在直角坐標系中，點到拋物線：的準線的距離為.點是上的定點，，是上的兩動點，且線段的中點在直線上.（1）求曲線的方程及點的坐標；（2）記，求弦長（用表示）；并求的最大值.【答案】（1）..（2），的最大值為1.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，求出，即可得出拋物線的方程，便得出點的坐標；（2）由點，得出，利用點差法求出直線的斜率，得出直線的方程為，直線方程與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達定理，利用弦長公式求出弦長，通過基本不等式求得的最大值.【詳解】解：（1）的準線為，∴，∴，∴拋物線的方程為.又點在曲線上，∴.故.（2）由（1）知，點，從而，即點，依題意，直線的斜率存在，且不為0，設直線的斜率為，且，，由，得，故，所以直線的方程為，即.由，消去，整理得，所以，，.從而.∴，當且僅當，即時，上式等號成立，又滿足.∴的最大值為1.19．橢圓將圓的圓周分為四等份，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，且的中點為，線段的垂直平分線為，直線與軸交于點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）先求解A點坐標，代入橢圓方程，結合離心率為，即得解.（2）設，，利用點差法得到，得到直線的方程為，得到，利用在橢圓內部得到范圍，即得解.【詳解】（1）不妨取第一象限的交點為.由橢圓將圓的圓周分為四等份，知.所以.因為點在橢圓上，所以.①因為，所以.②①②聯(lián)立，解得，.所以橢圓的方程為.（2）設，，則兩式相減，得.又因的中點為，所以，.所以直線的斜率.當時，直線的方程，直線即軸，此時.當時，直線的斜率.所以直線的方程為，即.令，則.因為點在橢圓內部，所以.所以，所以.綜上所述，的取值范圍為.20．在平面直角坐標系中，橢圓的離心率，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若點都在橢圓上，且中點在線段(不包括端點)上.①求直線的斜率；②求面積的最大值.【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）根據(jù)題意，由離心率，且點在橢圓上，列出方程，計算的值，則橢圓方程可求；（2）利用“點差法”求出所在直線的斜率，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由弦長公式求得弦長，再由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，代入三角形面積公式，利用基本不等式求得最值.【詳解】（1）離心率，由代入橢圓方程，可得，又解得，，即有橢圓方程為；（2）①設可得，相減可得，由題意可得，即為，可得直線的斜率為；②設直線的方程為，代入橢圓方程可得，，由，解得，，，又到的距離為，即有面積為當且僅當，即時，取得最大值.21．已知橢圓方程為，左右焦點分別為，直線過橢圓右焦點且與橢圓交于A、B兩點，（1）若為橢圓上任一點，求的最大值，（2）求弦AB中點M的軌跡方程，【答案】（1）3；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓方程得出，結合橢圓定義，再根據(jù)基本不等式求得的最大值；（2）設，利用點差法和中點坐標公式，求出，由兩點坐標寫出，結合，求出關于的方程為點M的軌跡方程.【詳解】（1）已知橢圓方程為，焦點在軸上，可得，所以，由橢圓的定義可知，，又因為，則當且僅當時，的最大值為3.（2）設，其中，當直線的斜率存在時，則①-②得：，即，又因為：則有：，解得：.當直線的斜率不存在時，也符合上述方程.綜上得：的軌跡方程為：.22．已知拋物線的焦點為，若在軸上方該拋物線上有一點，滿足直線的傾斜角為，且.（1）求拋物線的方程；（2）若拋物線上另有兩點滿足，求直線方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設拋物線的準線為，與軸的交點為，利用拋物線的定義可以得到，求出的值后可得拋物線的方程.（2）設點，由向量可以得到，再利用點差法可求，從而可得直線的方程.【詳解】（1）設拋物線的準線為，與軸的交點為，過作，垂足為.由可得，由，可知，則，故拋物線的方程為.（2）由（1）可知點A的坐標為，，可設點.由，可得，即，則中點的坐標為，∵，∴，故直線的斜率為，∴直線的方程為，整理為.23．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上.（1）若線段的中點坐標為，求直線的斜率；（2）若三點共線，直線與橢圓交于兩點，求面積的最大值，【答案】（1）；（2）【分析】（1）設，代入橢圓方程相減得到答案.（2）設直線，聯(lián)立方程得到，，得到，計算得到答案.【詳解】（1）設，則，兩式相減，可得，即，解得，即直線的斜率為.（2）顯然直線的斜率不為0，設直線，聯(lián)立消去整理得，顯然，故，故的面積，令，其中，，當且僅當，即時等號成立，即面積的最大值為.24．如圖，設橢圓兩頂點，短軸長為4，焦距為2，過點的直線與橢圓交于兩點．設直線與直線交于點.（1）求橢圓的方程；（2）求線段中點的軌跡方程；（3）求證：點的橫坐標為定值.【答案】（1）；（2）（）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意可得，由此求得橢圓方程。（2）設，利用點差法求出線段中點的軌跡方程。（3）設直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立求得，由此證明點的橫坐標為定值。【詳解】（1）橢圓兩