第22章一元二次方程

。時間：80分鐘■?滿分:100分

選擇題(共10小題,每小題3分，共30分.每小題有四個選項，其中只有一個選項符合題意)

1.下列方程是一元二次方程的是()

A.x2-2x+y=0B.x3-2x+l=0

C.x2-2x+l=0D，4=l

xz

2.方程-3x2=1的一次項系數(shù)是()

A.3B.lC.OD.-1

3.若關于x的一元二次方程(m-3)x2+m2+6x=0的常數(shù)項是9,則m的值為()

A.3B.-3C+3D.9

4.方程4x2-12x=3的根的情況為()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.無法確定

5.若關于x的方程x2+ax+a=0有一個根為-2,則a=()

A.-3B.-2C.4D.-4

6.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個根分別是m+1和2m-4,則的值是()

A.2B.3C+3D+2

7.電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間的息息相關、密不可分的動人故事，一上映就獲得全國人

民的追捧.第一天票房收入約2.5億元，若以后三天內(nèi)票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入約10億

元.設平均每天票房的增長率為x,則方程可列為()

A.2.5(l+x)=10B.2.5(l+x)2=10

C.2.5+2.5(1+x>=10D.2.5+2.5(l+x)+2.5(l+x>=10

8.在一次足球聯(lián)賽中，每兩個代表隊之間都要進行一場比賽，共要比賽45場，共有多少個代表隊參加比賽?設有

x個代表隊參加比賽,則可列方程為()

A.x(x-1)=45B.(x-1)2=45

C.x(x+1)=45D.1x(x-1)=45

9.若xi,X2是方程2x2+4x-3=0的兩個根，則xi+x2-xiX2=()

A.-lB.-iC.-D.l

22

10.己知一元二次方程x2-10x+16=0的兩個根是一個等腰三角形的底邊長和腰長,則這個等腰三角形的周長為

()

A.12B.18c.i2或18D.13或18

二.填空題(共6小題,每小題3分，共18分)

11.用配方法解一元二次方程x2+4x-3=0,配方后的方程為(x+2)2=n，則n的值

為.

12.若a是方程x2+3x-l=0的一個根廁代數(shù)式a2+3a+2020的是.

13」新風向?新定義試題］若定義運算“△”對于任意實數(shù)a,b都有aAb=aJ3a+b則xA2=2中的x=.

14.若點A(m225m+4)在第一象限的角平分線上，則m的值為.

15.一個兩位數(shù)等于其各個數(shù)位的數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字小2,這個兩位數(shù)是.

16.甲、乙兩位同學解同一個關于x的一元二次方程(二次項系數(shù)為1),甲將一次項系數(shù)看錯，解得兩根為4和

8;乙將常數(shù)項看錯，解得兩根為4和10,則正確的方程為.

三.解答題(共6小題，共52分)

17.(共4小題,每小題4分，共16分)用要求的方法解下列方程：

⑴［教材變式P25例3］(直接開平方法)(x+l)2-l=0;

(2)(配方法)|x2_x-|=0;

(3)(公式法)x2-x-l=0;

(4)(因式分解法)(x-1)(x+2)=2(x+2).

18.(5分)已知關于x的一元二次方程為x2-2mx+2m-2=0.

(1)求證:對于任意實數(shù)m,方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程的一個根是0,求m的值及方程的另一個根.

19.(6分)觀察下列一元二次方程：

第1個方程x2+x-2=0的根為1和-2;

第2個方程2x2+x-3=0的根為1和-|;

第3個方程3x2+x-4=0的根為1和-點

(1)第2021個方程是，根為:

(2)直接寫出第n個方程與它的根并驗證根的正確性.

20.(7分)如圖,某城市建設部門計劃在城市廣場的一塊長方形空地上修建一個面積為1500m2的長方形停車

場(圖中陰影部分)，將停車場四周余下的空地修建成同樣寬的通道，已知長方形空地的長為60m,寬為40m.

(1)求通道的寬度；

(2)某公司希望用60萬元承包修建該廣場的工程，城建部門認為金額太高需要降價，通過兩次協(xié)商,最終以48.6

萬元達成一致意見，若兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率.

21.(8分)已知關于x的一元二次方程(a+c)x2-2bx+a-c=0,其中a,b,c分別為△ABC三邊的長.

(1)如果x=l是方程的根，試判斷^ABC的形狀，并說明理由；

(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷^ABC的形狀，并說明理由；

(3)如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.

22.(10分)某批發(fā)商以每副50元的價格購進800副羽毛球拍，第一個月以單價80元銷售，售出了200副;第二

個月如果單價不變,預計仍可售出200副，批發(fā)商為增加銷售量,決定降價銷售(根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元,

可多售出10副,但售價應高于進價).第二個月結束后，批發(fā)商對剩余的羽毛球拍一次性清倉銷售，清倉時單價

為40元.設第二個月單價降低x元.

⑴填表：

時間第一個月第二個月清倉

銷售單價/元8040

銷售量/副200

(2)如果批發(fā)商希望通過銷售這批羽毛球拍獲利9000元,那么第二個月的單價應為多少元?

第22章一元二次方程

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12345678910

CCBACADDBB

11.712.202113.0或3

14.615.2416.x2-14x-32=0

1.C在選項A中，因為方程x2-2x+y=0含有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程;在選項B中，因為方程x3-2x+l=0

的未知數(shù)的最高次數(shù)是3,所以不是一元二次方程;在選項C中，因為方程x2-2x+l=0只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的

最高次數(shù)是2,所以是一元二次方程;在選項D中，方程堤=1是分式方程.故選C.

【知識鏈接】一元二次方程必須滿足三個條件:⑴只有一個未知數(shù);⑵未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(3)方程是整式方程.

2.C把已知方程變形為一元二次方程的一般形式，得3x2+l=0,所以此一元二次方程的一次項系數(shù)是0.

3.B把方程化為一元二次方程的一般形式(m-3)x2+6x+m2=0二?常數(shù)項是9,Am2=9,Am=±3.V二次項系數(shù)

m-3r0,?'.m=-3.故選B.

4.A把原方程化成一般形式為4x2-l2x-3=0,4a=4,b=-l2,c=-3,4A=b2-4ac=(-l2)2-4x4x(-3)=192>0,；?原方程有兩個

不相等的實數(shù)根.

5.C把x=-2代入方程x2+ax+a=0,W-4?2a+a=0,解得a=4.故選C.

6.A原方程可變形為x2=/ab>0),所以x=±E所以原方程的兩根互為相反數(shù)，所以m+l+2m-4=0,解得m=l,所以一

aYa

元二次方程ax2=b(ab>0)的兩根是x=±2,所以/=2.故選A.

7.D由題意知，方程可列為2.5+2.5(l+x)+2.5(l+x)2=10.故選D.

8.D由題意知，有x個代表隊參加比賽,則每個代表隊要進行(x-1)場比賽，故本次聯(lián)賽共要比賽gx(x-l)場，可列方程

為》(x-l)=45.故選D.

9.B,.,xi,X2是方程2x2+4x-3=0的兩個根,...xi+x2=-2,xrX2=-］，xi+X2-X|X2=-2+：=-5.故選B.

10.B解一元二次方程x2-10x+16=0,得XI=2M=8.易知腰長為2不滿足三角形的三邊關系,腰長為8滿足三角形的

三邊關系,所以其周長為8+8+2=18.故選B.

11.7【解析】'/x2+4x-3=0,x2+4x+4=7,(X+2)2=7,n=7.

12.2021【解析】根據(jù)題意，得a?+3a-1=0,從而可得a2+3a=1，所以a2+3a+2020=1+2020=2021.

13.0或3【解析】根據(jù)題意彳導x2-3x+2=2,解得XI=0,X2=3,所以x=0或3.

14.6【解析】；點A(m2-2,5m+4)在第一象限的角平分線上,.m2-2=5m+4,整理得mJ5m-6=0,解得mi=-l,rri2=6.當

m=-l時,m2-2=-l,5m+4=-l,此時點在第三象限,不符合題意;當m=6時,m?-2=34,5m+4=34,此時點A(34,34)在

第一象限的角平分線上，符合題意,；.m的值為6.

15.24【解析】設這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為X,則十位數(shù)字為x-2,這個兩位數(shù)為10(x-2)+x.根據(jù)題意，得

10(x-2)+x=3x(x-2),整理，得3x2-17x+20=0,解得XI=4,X2=|(舍去)，所以10(x-2)+x=24.即這個兩位數(shù)是24.

【提分技法】列方程求解數(shù)字問題的方法

求解數(shù)字問題的關鍵是用代數(shù)式表示出這個多位數(shù)的數(shù)值.設未知數(shù)時，通常采用間接設元法，即設這個多位數(shù)的

某一數(shù)位上的數(shù)字為x,然后將其他數(shù)位上的數(shù)字用含x的代數(shù)式表示出來，最后根據(jù)題中的數(shù)量關系列方程求解.

若一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字是a,個位上的數(shù)字是b,則這個數(shù)可以表示為10a+b;若一個三位數(shù)的百位上的數(shù)字是

a,十位上的數(shù)字是b,個位上的數(shù)字是c,則這個數(shù)可以表示為100a+10b+c.

16.X2-14X-32=0【解析】甲將一次項系數(shù)看錯，解得XI=-4,X2=8,；.(X+4)(X-8)=0,整理得x2-4x-32=0.乙將常數(shù)項看

錯，解得X?=4,X4=10,；.(x-4)(x-10)=0,整理得x2-14x+40=0.故正確的方程為x2-14x-32=0.

一題多解

設正確的方程為x2+mx+n=0,由根與系數(shù)的關系可知xi+x2=-m,xiX2=n」.,甲看錯m,乙看錯

n,n=-4x8=-32,m=-(4+10)=-14,.?.正確的方程為x?-14x-32=0.

17.【參考答案】(1)原方程可化為(x+l)2=l,

開平方，得x+l=±l,(2分)

r.x+i=i或x+i=-i,

原方程的根為XI=0,X2=-2.(4分)

(2)原方程可化為x2-2x-3=0,

配方，得(x-1)2=4,(2分)

x-l=2或x-l=-2,

...原方程的根為X|=3,X2=-1.(4分)

(3)Va=l,b=-l,c=-l,

:.b2-4ac=(-1)2-4x1x(-l)=5,

即原方程的根為X尸詈,X2=g^.(4分)

(4)原方程可變形為(x-l)(x+2)?2(x+2)=0,

方程左邊提公因式，得(x+2)(x-3)=0,(2分)

x+2=0或x-3=0,

原方程的根為X|=-2,X2=3.(4分)

【歸納總結】解一元二次方程的四種方法

若方程能表示成A2=B2的形式，則首選開平方法;若方程變形后一邊為0,另一邊能分解成兩個一次因式的乘積，則適

合用因式分解法;配方法和公式法是解一元二次方程的常規(guī)思路，若二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù)，則用配方法

求解更簡便.

18.【解題思路】(1)若△>(),則方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)把x=0代入原方程即可求出m的值，然后再解方程可

以求出方程的另一個根.

【參考答案】(1)證明:A=(-2m)24(2m-2)=4m2-8m+8=4(m2-2m+2)=4(m-1尸+4.

,無論m為何值次恒成立，

，4(m-l)2+4>0,即A>0,

???對于任意實數(shù)m,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.(3分)

(2)：方程的一個根是0,

/.2m-2=0,m=l,

???原方程為x2?2x=0,解得XI=0,X2=2,

??.m的值為1,方程的另一個根是2.(5分)

19.【參考答案】(1)2021X2+X-2022=01和-翳(3分)

(2)第n個方程是nx2+x-(n+l)=0,

其根為1和上匕(5分)

n

驗證:當x=l時,nx2+x?(n+l)=n+l?n-l=0,

當x=-f時，

nx2+x-（n+l）=n（W）2-W-（n+l）F+2n+i-"Rn=o

（6分）

nnn

20.【參考答案】(1)設通道的寬度為xm.(1分)

依題意，得(60-2x)(40-2x)=l500,

即x2-50x+225=0,

解得XI=5,X2=45(舍去).

答:通道的寬度為5m.(3分)

(2)設每次降價的百分率為y.(4分)

依題意得60(l-y)2=48.6,

解得yi=0.1=10%,y2=1.9(舍去).

答:每次降價的百分率為10%.(7分)

21.【解題思路】(1)把x=l代入原方程,可得到a,b的數(shù)量關系，即可判斷△ABC的形狀;(2)根據(jù)原方程有兩個相等

的實數(shù)根，得到A=0,從而可得到a,b,c之間的數(shù)量關系,再由勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀;(3)由4ABC是等

邊三角形，可得a=b=c,代入原方程整理得到關于x的一元二次方程,解方程即可.

【參考答案】(1)△ABC是等腰三角形.(1分)

理由:：x=l是方程的根，

(a+c)x12-2bxl+a-c=0,a+c-2b+a-c=0,

a-b=0,a=b,

.?.△ABC是等腰三角形.（3分）

(2)AABC是直角三角形.（4分）

理由:；方程有兩個相等的實數(shù)根,

(-2b)2-4(a+c)(a-c)=0,

4b2-4a2+4c2=0,

a2=b2+c2,

」.△ABC是直角三角形.