1-3

解：

流

出

希望液位量

圖一

1-4

（1）非線性系統

（2）非線性時變系統

（3）線性定常系統

（4）線性定常系統

（5）線性時變系統

（6）線性時變系統

2-1解:

k.

―?F⑦

//

無摩擦

圖2-27

顯然，彈簧力為kx（f）,根據牛頓第二運動定律有:

d'x(t)

dr

移項整理，得機械系統的微分方程為:

/nd.%，)+kx(t)=F(r)

dt2

對上述方程中各項求拉氏變換得:

ms2X(s)+kX(s)=F(s)

所以，機械系統的傳遞函數為：

G(s)=*=—T

F(s)ms"+k

2-2解一:

為

S)

圖2-28

由圖易得:

“，⑴+八/陽=〃2。)

at

由上述方程組可得無源網絡的運動方程為：

C(/?,+/?2)^^+?2(r)=C/?2^^+?1(/)

對上述方程中各項求拉氏變換得：

C(/?,+R2)SU2(S)+U2(S)=CR2sq(S)+U\(s)

所以，無源網絡的傳遞函數為：

c⑶=」G)_i+s%

U|(S)1+5。因+/?2)

解二(運算阻抗法或復阻抗法)：

力($)__1+&C6

麗晨+上+凡=1+國+&心

Cs~

2-5解：按照上述方程的順序，從輸出量開始繪制系統的結構圖，其繪制結果如下圖所示:

依次消掉上述方程中的中間變量X1,X2,X3,可得系統傳遞函數為：

C(s)「___________________________G](s)G2($)63(5)64(5)_________________________

~R^)~l+G2(S)G3(S)G6(S)+G3(5)G4(5)G5(5)+G,(s)G2(s)G3(.v)G4(5)[G7(5)-G8(5)]

①將G（s）與G|（s）組成的并聯環(huán)節(jié)和GI（s）與GI（s）組成的并聯環(huán)節(jié)簡化，它們的

等效傳遞函數和簡化結構圖為：

G12（5）=G1（5）+G2（5）

G34（5）=G3（5）-G4（5）

②將G12（5）,G34（.V）組成的反饋回路簡化便求得系統的閉環(huán)傳遞函數為:

C（s）=G|2（5）=G,（5）+G2（5）

/?（5）~1+G）2（5）G34（5）-l+rG,（5）+G2（5）］［G3（5）-G4（5）］

2-7解：

（5）

圖2-30

由上圖可列方程組：

[4S)G](S)-C(5)W2(5)]G2(5)=C(s)

R(s)-H](s)m{=E(s)

G式s)

聯列上述兩個方程，消掉E(s),得傳遞函數為：

C(s)=GOG?。)

1+HI(S)G](S)+“2(S)G2(S)

聯列上述兩個方程，消掉C(s),得傳遞函數為：

E(s)_1+/7,GV)G2(5)

-

7(5)1+/7,(5)GJ(5)+H2(5)G2(5)

2-8解：

圖2-31飛機俯仰角控制系統結構圖

將①反饋回路簡化，其等效傳遞函數和簡化圖為：

0.4

GM酒蒜J，

2s+1

將②反饋回路簡化，其等效傳遞函數和簡化圖為：

]

G,⑸=—啜土

2A1—=-----

1+045s3+45—+5.9s+3.4

(52+0.35+1)(55+3)

②⑸+

將③反饋回路簡化便求得系統的閉環(huán)傳遞函數為:

0.7*(5s+3)

C“G)5s3+4.5s?+5.9s+3.43.55+2.1

a(s)0.7*Ks(5s+3)5/+(4.5+3.5K)Z+(5.9+2.lK)s+3.4

5s3+4.5s“+5.9s+3.4

2-9

3-1解：設系統開環(huán)傳遞函數為G(s),則有

…C(s)

R(s)1+G(s)R(s)—C(5)

因為

r?)=lQ)+f；c(f)=f_0.8e3+0.8

所以

n/、11S+110.80.85s+5

R⑸丁/F；c(5)=7+—=

s+5ss“s+5)

因此

?、5s+5

G(s)=——

s-+s

3-3解：該二階系統的最大超調量:

產與*100%

%

當=5%時，可解上述方程得:

,=0.69

當=5%時，該二階系統的過渡時間為:

34

t、==。=5%)或N『(A=2%)

血a

所以，該二階系統的無阻尼自振角頻率

334

0)=-----=--------=---2--.17或例---=2.9

〃"0.69*2“0.69*2

3-4解:

R(s)+

題3-暇

由上圖可得系統的傳遞函數:

10*(l+Ks)

C(s)s(s+2)10*(Ks+l)

R(s)1+10*(1+^5)1+2*(I+5K)S+10

s(s+2)

所以S,=而，或①“=1+5K

⑴若《“=0.5時，K=0.116(z=8.6)

所以K=0.116時，=0.5

⑵系統單位階躍響應的超調量和過渡過程時間分別為：

也2_2.好+說/

7戶

%=力1一.6乜““/信義100%

3+；ln(z2-2,“4z+硝+lnz-：ln(l-1)

1

—Z-----------7------------------；(A=5%)

(3)加入(1+心)相當于加入了一個比例微分環(huán)節(jié)，將使系統的阻尼比增大，可以有效

地減小原系統的階躍響應的超調量；同時由于微分的作用，使系統階躍響應的速度(即變

化率)提高了，從而縮短了過渡時間：總之，加入(1+Ks)后，系統響應性能得到改善。

3-5解:

題3-溷

由上圖可得該控制系統的傳遞函數：

C(s)_10&_______

R(s)~52+(107+1)5+10^

二階系統的標準形式為：

CG)_*

2

R(s)s+2^wns+w^

所以

成=10-

2g=10T+1

由

品:產后*100%=9.5%

可得

4=0.6

con=7.85

碇=10(4=0.6

由；和rou可得

2Q“=10r+lg,=7.85

%=6.16

2=0.84

3

r--=0.64(A=5%)

血

4

/=——=0.85(A=2%)

a

3-6解：⑴列出勞斯表為：

10

208

/-0.4

5。8

因為勞斯表首列系數符號變號2次,所以系統不穩(wěn)定。

⑵列出勞斯表為：

16

84

5.5

5°4

因為勞斯表首列系數全大于零,所以系統穩(wěn)定。

⑶列出勞斯表為：

4321

s30

0.81

-4.25

s°1

因為勞斯表首列系數符號變號2次，所以系統不穩(wěn)定。

3-7解：系統的閉環(huán)系統傳遞函數：

K($+l)

C(s)_s(2s+l)(Ts+l)_______K(s+1)________

R(s)-1+K(s+1)-s(2s+l)(Ts+1)+K(s+1)

s(2s+l)(Ts+l)

___________K(s+1)_________

~2Ts3+(T+2)s2+(K+\)s+K

列出勞斯表為:

s32TK+l

s2T+2K

i(K+l)(T+2)-2KT

s---------------------------

T+2

(K+l)(T+2)—2KT

T>Q,T+2>Q,>0,K>0,K+l>0(必要條件)

T+2

T>QK>0

丁〈2(K+1)

K-\

(K+l)(T+2)—2KT>0n?

K<3

T一2

考慮到T>0K>0,所以有

1<K口和2<T<22

T-2K-1

3-9解:

由上圖可得閉環(huán)系統傳遞函數：

c(5)____________KK2K3_____________

2

R(s)~(1+KK2K3a)s-KK2K3bs-KK2K3

代入已知數據，得二階系統特征方程:

(1+0.1K)S2-0.1KS-K=0

列出勞斯表為:

521+0.1K-K

s'-OAK

s0-K

可見，只要放大器-10<K<0,系統就是穩(wěn)定的。

3-10

(1)設z=s+4,將s=z-4代入特征方程有

?-10Z2+37Z-28=0

列出勞斯表

Z3137

z2-10-28

z'34.2

Z0-28

由于勞斯表首列符號變化3次，所以系統位于s=-4垂線右側的特征根有3個。

3-12解：系統的穩(wěn)態(tài)誤差為：

=lime(r)=limsE(s)=lim--------R(s)

ST)201+G()(s)

10

⑴Go(s)=

s(O.ls+1)(0.5s+1)

系統的靜態(tài)位置誤差系數:

10

--------------------------------------=oo

Kn=IimG()(s)=lim

PSTOSTO5(0.15+1)(0.55+1)

系統的靜態(tài)速度誤差系數:

105

K,=limsG0($)=lim=10

STOSTO5(0.15+1)(0.55+1)

系統的靜態(tài)加速度誤差系數:

2

1()v

K=lim/GoG)=lim------------------=0

°a1?！?^<>5(0.15+1)(0.55+1)

當，⑺=1(。時,R(s)=-

s

s

lim*-=0

ST。10

1+

s(O.ls+l)(O.5s+l)

4

當"f)=4f時,R(s)=—

s

s4

/=嗎---------------------*丁=0.4

ST。］+1U§

s(0.1s+l)(0.5s+l)

當r(f)=/時,R(s)=.

s

p—rhrn----------$----------不*--2-=oo

ss-o1+101

s(0.ls+l)(0.5s+l)

當r(t)=l(f)+4f+f2時，R(s)=_L+g+N

SSS'

ess=0+0.4+oo=8

3-14解：

由于單位斜坡輸入下系統穩(wěn)態(tài)誤差為常值=2,所以系統為I型系統

設開環(huán)傳遞函數6")=^1一^~-=>9=0.5

s(s+as+h)b

G(s)K

閉環(huán)傳遞函數0G)=

1+G(s)53+as2+bs+K

s=-l±j是系統閉環(huán)極點，因此

s3+as2+bs+K=(5+c)(『+2s+2)=$3+(2+c)s2+(2c+2)s+2c

K=0.5bK=2

K=2ca=3

=>

b=2c+2b=4

a=2+cc=1

2

所以G(s)=

s(52+35+4)

4-1

4-2

P]=0,“2=0,P3=-l

1.實軸上的根軌跡(—,-D(0,0)

2.n-m=3

3條根軌跡趨向無窮遠處的漸近線相角為

（pa=±+D=±60°,180°（4=0,1）

漸近線與實軸的交點為

占’占，0-0-11

（7----------------=----------=----

n-m33

3.系統的特征方程為

1+G（s）=l+^^—=0

52（5+1）

即K=—S2（5+1）=—

dK

—=—352—2s=0s（3s+2）=0

ds

根=0（舍去）52=-0.667

4.令s=jco代入特征方程1+G（s）=1+—=0

5（5+1）

/（s+l）+K=0

（a）2（w+i）+K=o

-〃（a+i）+K=o

K-of-ja）=0

[K-CO2=0

CD-0

co=0（舍去）

與虛軸沒有交點，即只有根軌跡上的起點，也即開環(huán)極點P|,2=0在虛軸上。

55

5-1G(s)G(a)=

0.25s+10.25/。+1

A(a>)='-(p{(o)=-arctan(0.256>)

V(0.25<y)2+l

輸入?f)=5cos(4f-30°)=5sin(4/+60°)0=4

A(4)=,=2.5V29(4)=-arctan(0.25*4)=-45°

7(0.25*4)2+l

系統的穩(wěn)態(tài)輸出為

cQ)=A(4)*5cos[4f-300+9(4)]

=2.5V2*5cos(4f-30°-45°)

=17.68cos(4r-75°)=17.68sin(4z+15°)

sina=cos(90°-a)=cos(a-90°)=cos(a+270°)

c(t)=A(4)*5sin[4r+60°+.4)]

或者，=2.5V2*5sin(4r+60°-45°)

=17.68sin(4/+15°)

所以，對于cos信號輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出計算規(guī)律與sin信號作用下計算相同。

5-3

I

G(s)=G(ja>)=----------------

(14-5)(1+25)a+a)(i+/20)

A(<y)=9(0)=—arctan(o-arctan2a)

7(1+672)(1+4672)

起點：0=04(0)=1;例0)=0°位于正實軸上。

終點：A(8)=O；9(8)=-18O°+A從第三象限趨于原點

因此,，Nyquist曲線與虛軸有交點，并且滿足：

觀3)=-arctanco-arctan1a)=-90°arctanco+arctan2a)=90°

所以有，

1/(2。)心=1/2

A(<w)=/1==0.47

“1+1/2)(1+4*1/2)3

因此，與虛軸的交點為(0,-j0.47)

NytMStDiagram

(3)G(s)=------------------G(j(o)=--------------------------

5(1+5)(1+2s)j①(1+M(1+jlCO)

A(。)=——/1(p(3)=-90°-arctanco-arctan2a)

W(1+02)(1+46?)

起點：0=0A(0)=8；Q(0)=—90。一公位于負虛軸(左側)無窮遠方向

終點：8A(OO)=0;^(OO)=-270°+A從第二象限趨于原點

因此,，Nyquist曲線與實軸有交點，并且滿足：

夕(。)=-90°-arctanco-arctan2a)=-180°arctanco+arctan2。=90°

co=1/(2。)6>2=1/2

_1_2

-71727(1+1/2)(1+4*1/2)~3

A(。)=----19(0)=-180°-arctanco-arctan2o)

arJ(l+〃)(1+4〃)

起點：3=0A(0)=oo；^(0)=—180°—A位于負實軸(上側)無窮遠方向

終點：＞8A3)=0;夕(8)=-360°+A從第一象限趨于原點

因此,，Nyquist曲線與虛軸有交點，并且滿足：

(p((o)--\800-arctan(0-arctan2a)--270°arctan0+arctan2a)-90°

a)-11(2(0)a)1=1/2

121~

4(0)=-----/==—A/2=0.94

(1/2)7(l+l/2)(l+4*l/2)3

5-4

(2)G)x—0.5,q=1,K=1,v=0

(3)g=0.5,692=1,K=1,v=\

低頻段直線（延長線）與Odb線交點的頻率為：d=

低頻段直線（延長線）與Odb線交點的頻率為：d=K="

5-6

G(s)=—是一個非最小相位系統

5-1

G(ja))=—(一1-松)=

ja)-\1+。-1+0-

G(s)=—是一個最小相位系統

5+1

G(J0=—(1-jco)=—e-jarc,g<0

ja)+\1+41+4

Frequency(rad/MC)

5-8(a)

系統開環(huán)傳遞函數有一極點在s平面的原點處，因此乃氏回線中半徑為無窮小量￡的半圓弧

對應的映射曲線是一個半徑為無窮大的圓弧:

ty：(T-0+；6＞：-90°-0°―+90°+90。-0°--90°

N=P-Z,Z=P-N=0-(-2)=2

閉環(huán)系統有2個極點在右半平面，所以閉環(huán)系統不穩(wěn)定

(b)

系統開環(huán)傳遞函數有2個極點在s平面的原點處，因此乃氏回線中半徑為無窮小量￡的半圓

弧對應的映射曲線是一個半徑為無窮大的圓?。?/p>

3：0一一0+；6?：-90°-0°-+90°；?劭：+1800-0°--180°

N=P-Z,Z=P-N=0-0=0

閉環(huán)系統有0個極點在右半平面，所以閉環(huán)系統穩(wěn)定

5-10

G(s)H(s)=4=-^—2.28K

(1)

"I+15+2.28

2.28

201gK=10nK=M

3

K1_2.28K

(2)

G（S）〃T高11“I-s(s+2.28)

2.28

0=L(10)=201g―=>K=3=43.9

in102.28

—5+1

小、口,、KTS+IK054K(s+05)

(3)G(S)H(s)=———=-——

sTs+1s1-s“s+2)

—5+1

2

L(o)(dB)

求取K-.

方法一(三角形法)

201g白=a-201gK+201g.=401g點-201gK=20端

??J\J?\J

201g(KF=201g2K=l/2=0.5

方法二(漸近線法)

0=L(l)=-401g1+201gK-201go.5nK=0.5

方法三(利用低頻段直線延長線與Odb線交點坐標求取)

y/~K=a)c-Vo.5xlzz>A"=0.5(幾何中心)

所以所求開環(huán)傳遞函數為：

、4KG+0.5)2(5+0.5)

G(s)H(s)=--~—=一~—

s'(5+2)s'(s+2)

K_______

G(s)"(s)=nG(jco)H(j3)=

s(s+l)(3s+l)網a+1)(3a+1)

與實軸交點坐標滿足：

夕(。)=-90°-arctan①-arctan369=-180°arctanco+arctan3。=90°

co=1/(3。)4=1/3

A⑷=71/茄1+1/3)(1+9*1/3)=V=1

所以當K,.=4/3=1.33時，系統臨界穩(wěn)定。

6-2

(1)

G(s)=1____=______5______

s(s2+45+6)s(s24-2gs+或)

l42

3；=6co=v6=2.45,2^69=4J=-----=—j==0.816

2conV6

K=l所以，a)c=\201gK=0

9(0,)=-90°-arcfg2g(2*0.816*1/2.45]

--900-arctg1-I—I/2.452-j

(2*0.816*1/2.45、cc。(0.666)八

=-9nA0O-arctgIj-、45,----I=—90—arctgI0833I=-90—arcfgO.7995

=-90°-38.64°=-128.64°

/=