級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開(kāi)三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1求和展開(kāi)(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問(wèn)題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開(kāi).為傅立葉級(jí)數(shù).為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);2一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限3例1.

若級(jí)數(shù)均收斂,且證明級(jí)數(shù)收斂.證:

則由題設(shè)收斂收斂收斂5例2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,原級(jí)數(shù)發(fā)散.因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,6利用比值判別法,可知原級(jí)數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級(jí)數(shù)因n充分大時(shí)∴原級(jí)數(shù)發(fā)散.用比值判別法可知:時(shí)收斂;時(shí),與p

級(jí)數(shù)比較可知時(shí)收斂;時(shí)發(fā)散.再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂.時(shí)發(fā)散.發(fā)散,收斂,7例4.設(shè)級(jí)數(shù)收斂,且是否也收斂？說(shuō)明理由.但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂.問(wèn)級(jí)數(shù)提示:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知級(jí)數(shù)收斂,收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.例如,取9例5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:提示:(1)P>1時(shí),絕對(duì)收斂;0<p≤1時(shí),條件收斂;p≤0時(shí),發(fā)散.(2)因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù)

原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.故10因單調(diào)遞減,且但所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂.由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)收斂;11二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法?標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù):先求收斂半徑R,再討論?非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性.例7.求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:13解:當(dāng)因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散,時(shí),時(shí)原級(jí)數(shù)收斂.故收斂區(qū)間為14解:因故收斂區(qū)間為級(jí)數(shù)收斂;一般項(xiàng)不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;15例1.

求冪級(jí)數(shù)法1易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?7法2先求出收斂區(qū)間則設(shè)和函數(shù)為18例2.解:(1)顯然x=0時(shí)上式也正確,故和函數(shù)為而在x≠0求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：級(jí)數(shù)發(fā)散,19顯然x=0時(shí),和為0;根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性,有x=1時(shí),級(jí)數(shù)也收斂.即得21例3:解:原式=的和.求級(jí)數(shù)22因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及23四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法?直接展開(kāi)法?間接展開(kāi)法例題:1.將函數(shù)展開(kāi)成

x的冪級(jí)數(shù).—利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì)—利用泰勒公式解:1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法252.

將在x=0處展為冪級(jí)數(shù).解:因此26五、函數(shù)的付式級(jí)數(shù)展開(kāi)法系數(shù)公式及計(jì)算技巧;收斂定理;延拓方法上的表達(dá)式為將其展為傅氏級(jí)數(shù).例題1.設(shè)f(x)是周期為