PAGEPAGE7用心愛心專心三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一、素質(zhì)教育目標(biāo)(一)知識教學(xué)點1．理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法．2．掌握并運用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值、化簡或證明三角函數(shù)式．(二)能力訓(xùn)練點1．理解掌握誘導(dǎo)公式及應(yīng)用，提高三角恒等變形能力．2．樹立化歸思想方法，將任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0°～90°間的角的三角函數(shù)值問題，培養(yǎng)學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化能力．二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決辦法1．教學(xué)重點：理解并掌握誘導(dǎo)公式．2．教學(xué)難點：運用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，化簡或證明三角函數(shù)式．3．教學(xué)疑點：運用誘導(dǎo)公式時符號的確定．三、課時安排本課題安排1課時．四、教與學(xué)過程設(shè)計(一)復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式一師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過誘導(dǎo)公式一，即終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，這組公式是如何表達(dá)的？它們的作用是什么？生：誘導(dǎo)公式一可這樣表達(dá)：sin(2kπ+α)=sinα；cosα(2kπ+α)=cosα；tg(2kπ+α)=tgα；ctg(2kπ+α)=ctgα．利用誘導(dǎo)公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值的問題，轉(zhuǎn)化為求0°～360°(0～2π)間角的三角函數(shù)值的問題．師：學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式的基本思想方法是化歸轉(zhuǎn)化，如果我們能把求90°～360°間的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°～90°間的角的三角函數(shù)值，那么任意角的三角函數(shù)值就都能通過查表來求．設(shè)0°≤α≤90°，則90°～180°間的角，可以寫成180°-α；180°～270°間的角，可以寫成180°+α；270°～360°間的角，可以寫成360°-α．下面我們依次討論180°+α，-α，180-α，360°-α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．為了使討論更具有一般性，這里假定α為任意角．(布置學(xué)生閱讀P．152—153初步了解誘導(dǎo)公式二、公式三的推導(dǎo)過程．)(二)誘導(dǎo)公式二、三師：首先我們先介紹單位圓概念，如圖2-18示，以原點為圓心，等于單位長的線段為半徑作一個圓，這樣的圓稱為單位圓．下面我們利用單位圓和任意角三角函數(shù)的定義來推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二、三．推導(dǎo)之前，請一位同學(xué)回答分別關(guān)于x軸，y軸，原點對稱的兩個點的坐標(biāo)間的關(guān)系．生：設(shè)點P(x、y)，它關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的點坐標(biāo)分別是P1(x，-y)，P2(-x，-y)，P3(-x，-y)．師：請同學(xué)們作出一個任意角α的終邊，再作出180°+α角的終邊，它們與單位圓的交點有何特征？為什么？生：如圖2-18，任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)．由于角180°+α的終邊就是角α終邊的反向延長線，角180°+α的終邊與單位圓的交點P′，是與點P關(guān)于點O對稱的。師：正由于點P與點P′關(guān)于原點O中心對稱，所以P′坐標(biāo)是(-x，-y)，又因單位圓半徑r=1，由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義可得到因此，sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα，請同學(xué)們思考能否由同角三角函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出tg(180°+α)，ctg(180°+α)化簡結(jié)果？生：由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式，可得到師：因此我們可以得到誘導(dǎo)公式二sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα，tg(180°+α)=tgα，ctg(180°+α)=ctgα．例1求下列各三角函數(shù)值師：我們再來研究角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．請同學(xué)們作出任意角α與-α的終邊，它們與單位圓的交點有何特征？為什么？生：如圖2-19，任意角α的終邊與單位圓相交于P(x，y)，角-α的終邊與單位圓相交于點p′，從圖上可觀察得到P與P′關(guān)于x軸成軸對稱．師：這位同學(xué)回答得正確！由于角α與-α是由射線從x軸的正半軸開始，按相反的方向繞原點作相同大小的旋轉(zhuǎn)而成的，這兩個角的終邊關(guān)于x軸對稱，因此，點p′的坐標(biāo)為(x，-y)，由于r=1，我們得到sinα(-α)=-y，cos(-α)=x，從而sin(-α)=-sinα，(cos(-α)=cosα．如何由同角三角函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出tg(-α)．ctg(-α)的化簡結(jié)果？生：由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得到師：因此我們可以得到誘導(dǎo)公式三sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tg(-a)=-tgα，ctg(-α)=-ctgα．例2求下列各三角函數(shù)值(1)sin(-400°)=-sin(360°+40°)=-sin40°=-0.6428，解：∵ctg(-α-180°)=ctg[-(180°+α)]=-ctg(180°+α)=-ctgα，sin(-180°-α)=sin[-(180°+α)]=-sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα．課堂練習(xí)：P．155中練習(xí)3(1)、(3)、(6)；4．(三)誘導(dǎo)公式四、五師：請同學(xué)們思考如何利用已學(xué)過的誘導(dǎo)公式推導(dǎo)180°-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系？生：由誘導(dǎo)公式我們可以得到sin(180°-α)=sin[180°+(-α)]=-sin(-α)=sinα；cosα(180°-α)=cos[180°+(-α)]=-cos(-α)=-cosα；tg(180°-α)=tg[180°+(-α)]=tg(-α)=-tgα；ctg(180°-α)=ctg[180°+(-α)]=ctg(-α)=-ctgα．公式四：sin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosα，tg(180°-α)=-tgα，ctg(180°-α)=-ctgα．師：請大家再思考如何利用已學(xué)過的誘導(dǎo)公式推導(dǎo)360°-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．生：由誘導(dǎo)公式我們可以得到：sin(360°-α)=sin(-α)=-sinα，cos(360°-α)=cos(-α)=cosα，tg(360°-α)=tg(-α)=-tgα，ctg(360°-α)=ctg(-α)=-ctgα．師：于是我們得到誘導(dǎo)公式五sin(360°-α)=-sinα，cos(=360°-α)=cosα，tg(360°-α)=-tgα，ctg(360°-α)=-ctgα．公式一、二、三、四、五都叫做誘導(dǎo)公式．上面這些誘導(dǎo)公式，可以概括如下：k·360°+α(k∈z)，-α，180°±α，360°-α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．簡化成“函數(shù)名不變，符號看象限”的口訣。請同學(xué)思考利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟，即如何利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)求值問題化歸成銳角三角函數(shù)求值問題？請看下面例題后總結(jié)其步驟．例4求下列各三角函數(shù)值(2)cos(-1665°)=-cos1665°=-cos(4×360°+225°)=-cos225°師：反思例4的解題過程，請一位同學(xué)總結(jié)．生：利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值，一般可按以下步驟進(jìn)行：師：運用誘導(dǎo)公式解題本質(zhì)上是