PAGE課題：數(shù)學(xué)歸納法【教材分析】1、教學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)歸納法是人教社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)選修2-2第二章第3節(jié)的內(nèi)容，根據(jù)課標(biāo)要求，本書該節(jié)共2課時(shí)，這是第一課時(shí)，其主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法的原理及其應(yīng)用。2、地位作用：在已經(jīng)學(xué)習(xí)了不完全歸納法的基礎(chǔ)上，介紹了數(shù)學(xué)歸納法，它是一種用于關(guān)于正整數(shù)命題的直接證法。教材通過剖析生活實(shí)例中蘊(yùn)含的思維過程揭示數(shù)學(xué)思想方法，即借助“多米諾骨牌”的設(shè)計(jì)思想，揭示數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個(gè)條件及它們之間的關(guān)系?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1、知識(shí)與技能：（1）了解歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟。（2）會(huì)證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的命題。2、過程與方法：努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅的情境，使學(xué)生處于積極思考，大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意見和數(shù)學(xué)交流能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些簡單的與正整數(shù)n（n取無限多個(gè)值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。【教學(xué)難點(diǎn)】（1）學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個(gè)步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明。（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系?！窘虒W(xué)方法】運(yùn)用類比啟發(fā)探究的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)；【教學(xué)手段】借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材輔助課堂教學(xué)；【教學(xué)程序】第一階段：創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維情境1、法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到：歸納猜想：任何形如（n∈）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費(fèi)馬猜想。半個(gè)世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù),從而推翻了費(fèi)馬的猜想?！安煌耆珰w納有時(shí)是錯(cuò)誤的”（培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程．）情境2、數(shù)列通過對(duì)前4項(xiàng)歸納，猜想——可以讓學(xué)生通過數(shù)列的知識(shí)加以驗(yàn)證——“不完全歸納有時(shí)是正確的”。通過對(duì)上述兩個(gè)情況的探究可以發(fā)現(xiàn)用“不完全歸納法”得到的結(jié)論不一定可靠。為了尋求一種能夠證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的方法，從而引入本節(jié)課的新課內(nèi)容一數(shù)學(xué)歸納法。第二階段：搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣1、“多米諾骨牌”游戲動(dòng)畫演示：探究“多米諾骨牌”全部倒下的條件引導(dǎo)學(xué)生思考并分析“多米諾骨牌”全部倒下的兩個(gè)條件；①第一塊骨牌倒下；②任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。強(qiáng)調(diào)條件②的作用：是一種遞推關(guān)系（第k塊倒下，使第k+1塊倒下）。2、類比“多米諾骨牌”的原理來驗(yàn)證情境2中對(duì)于通項(xiàng)公式的猜想。“多米諾骨牌”原理①第一塊骨牌倒下；②若第k塊倒下，則使得第k+1塊倒下驗(yàn)證猜想↓↓①驗(yàn)證猜想成立②如果時(shí)，猜想成立。即，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)猜想成立3、引導(dǎo)學(xué)生概括,形成科學(xué)方法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確；（歸納奠基）(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈，k≥)時(shí)結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也正確．（歸納遞推）完成這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都正確．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．第三階段：鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實(shí)認(rèn)知過程例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊，右邊，等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。=右邊即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。由（1）、（2）可知，n∈時(shí)，等式成立。師生共同總結(jié)：1、數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用于與自然數(shù)有關(guān)的問題。2、兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不能成立；3、在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，進(jìn)行恒等變換。4、完成第1)、2）步驟的證明后，要對(duì)命題成立進(jìn)行總結(jié)。練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：(1)n=1時(shí)，左邊=證明：(1)n=1時(shí)，左邊=右邊=等式成立。(2)假設(shè)n=k（k∈N*(2)假設(shè)n=k（k∈N*)時(shí)等式成立，即則n=k+1時(shí)，則n=k+1時(shí)，即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N*都成立。探究:已知數(shù)列設(shè)Sn為數(shù)列前n項(xiàng)和，計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。解:可以看到，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1,可以猜想證明過程由學(xué)生自主完成。【課堂小結(jié)】（1）數(shù)學(xué)歸納法只適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟：1°驗(yàn)證n=n0（n0為命題允許的最小正整數(shù)）時(shí)，命題成立2°假設(shè)n=k（k≥n0）時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題成立，由1°和2°對(duì)任意的n≥n0,n∈N*命題成立。（3）本節(jié)課通過從“多米諾骨牌”講起，借助這個(gè)游戲的設(shè)計(jì)理念，揭示了數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個(gè)條件及它們之間的關(guān)系。（4）本節(jié)課使用數(shù)學(xué)歸納法只證明了與正整數(shù)有關(guān)的等式成立的問題，在以后的學(xué)習(xí)中，我們將會(huì)遇到使用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式及幾何問題，也會(huì)遇到n0的取值不是1的情況。在下一節(jié)課我們還將通過具體的例子使同學(xué)們明白為什么在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)兩個(gè)步驟缺一不可。【作業(yè)】習(xí)題2.3A組1.2.3思考：平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點(diǎn)，設(shè)f(n)為n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求證：證明：(1)n=1時(shí)，f(1)=1等式成立(2)假設(shè)n=k時(shí),等式成立即成立那么當(dāng)n=k+1時(shí)，即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N*都成立【板書設(shè)計(jì)】§2·3數(shù)學(xué)歸納法(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論正確；（歸納奠基）(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也正確．（歸納遞推）由1°和2°對(duì)任意的n≥n0,n∈N*命題成立猜想證明過程：練習(xí)：1)學(xué)生板演2)例題：數(shù)學(xué)歸納法學(xué)情分析數(shù)學(xué)歸納法是一種學(xué)生完全沒有接觸過的數(shù)學(xué)方法.再此之前,學(xué)生通過對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí),腦海里有一定歸納猜想的思想,但是并不是很清晰.初次接觸數(shù)學(xué)歸納法時(shí),學(xué)生往往難以理解,會(huì)懷疑數(shù)學(xué)歸納法證明的可靠性或者只是形式上的模仿而不知其所以然,這會(huì)對(duì)以后進(jìn)一步的學(xué)習(xí)造成極大的困難.因此要突破這一節(jié)課的難點(diǎn)和重點(diǎn).學(xué)生已經(jīng)在必修5中學(xué)習(xí)了不完全歸納法(推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式)；在本章的合情推理中已經(jīng)學(xué)習(xí)了歸納推理，在演繹推理中學(xué)習(xí)了“三段論”．這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生理解推理思想和證明方法的重要基礎(chǔ)．因此，教學(xué)中通過類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)歸納法當(dāng)堂評(píng)測結(jié)果分析1．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是()A．假設(shè)n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)”時(shí)，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋13．對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r((k＋1)2＋(k＋1))＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r((k2＋3k＋2)＋(k＋2))＝eq\r((k＋2)2)＝(k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A．過程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確4．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_____．5．觀察不等式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)，…，由此猜測第n個(gè)不等式為________(n∈N*)．6．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a0＝1，an＋1＝eq\f(1,2)an·(4－an)(n∈N)．證明：an<an＋1<2(n∈N)．1.考查學(xué)生對(duì)命題中變量取值的整題把握，這對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的證明尤為關(guān)鍵，本題的答對(duì)率為100%。2.本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)命題中項(xiàng)的變化情況，在部分復(fù)雜命題中會(huì)給學(xué)生造成一定的障礙。本題的答對(duì)率為90%。3.本題考查在用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程中必須用歸納假設(shè)，否則就會(huì)造成證明錯(cuò)誤。本題的答對(duì)率為90%。4.本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)命題中項(xiàng)的變化情況，只需用f(k＋1)-f(k)即可。本題的答對(duì)率為100%。5.本題考查學(xué)生的歸納猜想能力本題的答對(duì)率為90%。6.本題考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行問題的證明，首先是證明的步驟的訓(xùn)練，其次是綜合推理能力的考查，對(duì)學(xué)生的能力要求較高。本題的答對(duì)率為80%?？傇u(píng)：通過以上題目進(jìn)行當(dāng)堂評(píng)測，可以發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生已經(jīng)掌握了本節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)，只是在綜合題目的把握上還需強(qiáng)化提高。數(shù)學(xué)歸納法教材分析本節(jié)內(nèi)容是第三冊(cè)(選修)第二章極限的第一節(jié).數(shù)學(xué)歸納法在討論涉及正整數(shù)無限性的問題時(shí)是一種重要的方法,它的地位和作用可以從以下三方面來看:1.中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論,如等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,二項(xiàng)式定理等都可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.由歸納猜想得出一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,可以使學(xué)生更深層次地掌握有關(guān)知識(shí).2.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多數(shù)學(xué)命題(不等式、數(shù)列、等式、整除),既可以開闊學(xué)生的眼界,又可以使他們受到推理論證的訓(xùn)練.3.數(shù)學(xué)歸納法在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要經(jīng)常用到,因此掌握這種方法為今后的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).本節(jié)課在已經(jīng)學(xué)習(xí)了不完全歸納法的基礎(chǔ)上，介紹了數(shù)學(xué)歸納法，它是一種用于關(guān)于正整數(shù)命題的直接證法。教材通過剖析生活實(shí)例中蘊(yùn)含的思維過程揭示數(shù)學(xué)思想方法，即借助“多米諾骨牌”的設(shè)計(jì)思想，揭示數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個(gè)條件及它們之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)堂檢測1．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是()A．假設(shè)n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇數(shù)，只有D中k為奇數(shù)，k＋2為奇數(shù)．答案：D2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)”時(shí)，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：增加的項(xiàng)數(shù)為(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案：C3．對(duì)于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A．過程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確解析：在n＝k＋1時(shí)，沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法．答案：D5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)<eq\f(13,14)(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)不等式左邊()A．增加了一項(xiàng)eq\f(1,2k＋1)B．增加了兩項(xiàng)eq\f(1,2k＋1)、eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)eq\f(1,k＋1)D．以上各種情況均不對(duì)解析：∵n＝k時(shí)，左邊＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，n＝k＋1時(shí)，左邊＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，∴增加了兩項(xiàng)eq\f(1,2k＋1)、eq\f(1,2k＋2)，少了一項(xiàng)eq\f(1,k＋1).答案：C6．(2011·淮南調(diào)研)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_____．解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)27．觀察不等式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)，…，由此猜測第n個(gè)不等式為________(n∈N*)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜測：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2).答案：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)8．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a0＝1，an＋1＝eq\f(1,2)an·(4－an)(n∈N)．證明：an<an＋1<2(n∈N)．證明：證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝0時(shí)，a0＝1，a1＝eq\f(1,2)a0(4－a0)＝eq\f(3,2)，所以a0<a1<2，命題正確．(2)假設(shè)n＝k－1(k∈N*)時(shí)命題成立，即ak－1<ak<2.則當(dāng)n＝k時(shí)，ak－ak＋1＝eq\f(1,2)ak－1(4－ak－1)－eq\f(1,2)ak(4－ak)＝2(ak－1－ak)－eq\f(1,2)(ak－1－ak)(ak－1＋ak)＝eq\f(1,2)(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)．而ak－1－ak<0,4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0.又ak＋1＝eq\f(1,2)ak(4－ak)＝eq\f(1,2)[4－(ak－2)2]<2.所以n＝k時(shí)命題成立．由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N時(shí)有an<an＋1<2.證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝0時(shí)，a0＝1，a1＝eq\f(1,2)a0(4－a0)＝eq\f(3,2)，所以0<a0<a1<2；(2)假設(shè)n＝k－1(k∈N*)時(shí)有ak－1<ak<2成立，令f(x)＝eq\f(1,2)x(4－x)，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：f(ak－1)<f(ak)<f(2)，即eq\f(1,2)ak－1(4－ak－1)<eq\f(1,2)ak(4－ak)<eq\f(1,2)×2×(4－2)，也即當(dāng)n＝k時(shí)，ak<ak＋1<2成立．所以對(duì)一切n∈N，有ak<ak＋1<2.一、教學(xué)目標(biāo)的確定針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，我參照新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、自身的教學(xué)條件，按照新課程倡導(dǎo)的三維一體的課堂教學(xué)目標(biāo)，制定了“一、理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，感受數(shù)學(xué)歸納法的思維方法；二、能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題”這一教學(xué)目標(biāo)，應(yīng)該說作為數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課，這個(gè)目標(biāo)很恰當(dāng)、科學(xué)、全面，而且易于操作，從而保證課堂教學(xué)達(dá)到應(yīng)有的基本標(biāo)準(zhǔn)，不至于在教學(xué)目標(biāo)上產(chǎn)生較大的偏差。二、教學(xué)行為的反思新課程倡導(dǎo)的是教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者、促進(jìn)者，是平等的，而不再是“傳道”“解惑”的權(quán)威，更不是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的“批發(fā)商”。將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生，是這節(jié)課給我的最大的啟示。首先，我讓他們先感受多米諾骨現(xiàn)象，通過播放一段影片并且聯(lián)系生活中的事物和現(xiàn)象，比較這些現(xiàn)象之間的相似之處，感受多米諾骨牌的原理，并在引導(dǎo)他們類比到數(shù)學(xué)的證明題中，引出數(shù)學(xué)歸納法，分析三個(gè)步驟間的邏輯推理關(guān)系。接著，選取三道由易到難的練習(xí)，以填空到不做任何提示的方式過渡，讓學(xué)生經(jīng)歷“嘗試——熟練運(yùn)用”的過程，強(qiáng)化使用數(shù)學(xué)歸納法的步驟和注意事項(xiàng)。設(shè)置課堂教學(xué)如果以灌輸為主的，總以為只要抓緊時(shí)間將基礎(chǔ)知識(shí)講完，然后進(jìn)行大量的練習(xí)和講評(píng)、多講些例題，就能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。這樣的課看起來效率很高，其實(shí)不然。因?yàn)橛行╊}目講過幾遍，學(xué)生依然會(huì)做錯(cuò)，原因就在于灌輸?shù)恼n堂往往不能從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，糾正學(xué)生本來的錯(cuò)誤，而是把教師的想法和解法填鴨給學(xué)生，幾乎沒有師生之間的交流與互動(dòng)，這與新課程改革的方向相背離。于是我大膽采取以練為主，例題練習(xí)合二為一的方式，學(xué)生剛明白數(shù)學(xué)歸納法的原理，就動(dòng)手運(yùn)用，避免不了的要犯錯(cuò)誤，我再抓住時(shí)機(jī)糾正這些錯(cuò)誤，一邊強(qiáng)化使用歸納法的步驟，一邊規(guī)范解題的過程。這樣的教學(xué)方式學(xué)生自然是更感興趣的，提前發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤肯定比等到做作業(yè)和練習(xí)甚至考試時(shí)再發(fā)現(xiàn)更好，所以這樣的課堂教學(xué)也是更高效的。最后我以微軟的一道面試題結(jié)束整節(jié)課，目的是想學(xué)生們知道自己今天所學(xué)的雖然是數(shù)學(xué)上的一種證明方法，但其實(shí)也是一種思維方法，甚至在關(guān)系自己前程的一場面試中，只要會(huì)運(yùn)用它，就能取得成功。三、學(xué)生學(xué)習(xí)方式的反思為了突出學(xué)生的主體地位，在教學(xué)中我盡量的多由學(xué)生來發(fā)現(xiàn)問題，回答問題。特別是在學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，我通過巡堂，收集學(xué)生做題時(shí)的典型錯(cuò)誤，并及時(shí)地投影，和學(xué)生一起分析對(duì)錯(cuò)，修正。比如他們不約而同的犯了同一個(gè)錯(cuò)誤，他們?cè)诶脭?shù)學(xué)歸納法證明問題的時(shí)候都沒有利用到歸納假設(shè)的結(jié)論，均采用了以前學(xué)過的等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式，這一點(diǎn)正是數(shù)學(xué)歸納法能否將無限的推理論證轉(zhuǎn)化為有限的步驟演繹的關(guān)鍵所在，反映出剛才的講授學(xué)生還沒有完全弄清楚數(shù)學(xué)歸納法的精髓，因此我與學(xué)生再次回到“多米諾骨牌”實(shí)驗(yàn)中，與他們一起推敲剛才的論證過程是否是數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，他們異口同聲的說“不是！”，此時(shí)我就有一種新課程理念給我?guī)淼某删透?，心里非常的高興。當(dāng)然還有的學(xué)生缺乏必要的推導(dǎo)過程或者表達(dá)順序顛倒等等，都在投影時(shí)及時(shí)發(fā)現(xiàn)更正過來。但是在整個(gè)過程，我又是個(gè)主導(dǎo)者，因?yàn)閷W(xué)生犯錯(cuò)的類型大部分我是心中有數(shù)的，有目的地尋找這些錯(cuò)誤去投影展示，才能達(dá)到我的教學(xué)目的。不過有一點(diǎn)遺憾的是，在給出最后一道“微軟面試題”時(shí)，由于臨近下課，沒能讓學(xué)生充分地思考談?wù)?，教學(xué)的效果就不夠好了。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.”教學(xué)