控制工程基礎(chǔ)

第十講控制系統(tǒng)的頻率法分析（3）清華大學(xué)機(jī)械工程系朱志明教授2010-11-292023/4/181整理ppt主要內(nèi)容概述典型環(huán)節(jié)的頻率特性系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制用頻率法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)的品質(zhì)小結(jié)2023/4/182整理ppt概述在控制系統(tǒng)的工程設(shè)計(jì)中，首先希望能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定－即判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，希望能進(jìn)一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度－即相對(duì)穩(wěn)定性。對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，希望能指出如何改進(jìn)系統(tǒng)參數(shù)或改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)使其穩(wěn)定。用頻率特性判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定的乃奎斯特判據(jù)具有上述功能。乃奎斯特判據(jù)還能用來(lái)研究延遲系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈氏穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的幅角原理（映射定理）。2023/4/183整理ppt用頻率法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性映射定理奈氏判據(jù)對(duì)數(shù)判據(jù)穩(wěn)定裕量2023/4/184整理ppt映射設(shè)有一單值有理復(fù)變函數(shù)F(s)，它在s平面上的指定域內(nèi)，除去有限個(gè)點(diǎn)外，在其它各點(diǎn)上均解析，則對(duì)于s平面上指定域內(nèi)的每一個(gè)解析點(diǎn)，在F平面上必有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。s平面上的封閉曲線Cs通過(guò)函數(shù)F(s)映射到F平面上2023/4/185整理ppt設(shè)F(s)為一單值有理復(fù)變函數(shù)：它在s平面上的封閉曲線Cs內(nèi)有P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)。封閉曲線Cs不通過(guò)F(s)的任何零點(diǎn)和極點(diǎn)。在F平面上，通過(guò)函數(shù)F(s)的映射，有一條封閉曲線CF與s平面上的封閉曲線Cs對(duì)應(yīng)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)s沿Cs順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周時(shí)，它映射到F平面上相應(yīng)點(diǎn)的軌跡，沿CF順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)的次數(shù)為：k＝Z-P。若k為負(fù)值，則表示CF是沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的。映射定理2023/4/186整理ppt映射定理Cs只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)Cs只包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)Cs包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)2023/4/187整理pptCs只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（1）－z1位于封閉曲線Cs以內(nèi)，其余零極點(diǎn)均在Cs以外。2023/4/188整理pptCs只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（2）當(dāng)s按順時(shí)針?lè)较蜓谻s運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，向量（s＋z1）的幅角增量為（s＋z1）＝－2（幅角取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颍?；從其余零極點(diǎn)指向s點(diǎn)的向量（s+z2），…

，（s+p1），（s+p2），…

的幅角增量均為0。2023/4/189整理pptCs只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（3）F(s)向量的相角為：當(dāng)s按順時(shí)針?lè)较蜓谻s運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，向量F(s)的幅角增量為：即當(dāng)s按順時(shí)針?lè)较蜓谻s運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，向量F(s)繞原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)了一周。2023/4/1810整理pptCs只包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)若Cs只包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)p1時(shí)：（s＋p1）＝－2F（s）＝2即向量F(s)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)了一周。2023/4/1811整理pptCs包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)F(s)＝Z(－2)－P(－2)＝k(－2)k＝Z-P即向量F(s)繞原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)了k周。由于F(s)向量每繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)－2角度，CF就順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)一次，所以，CF順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)的次數(shù)為k。順（逆）時(shí)針?lè)较虬鼑侵福貉胤忾]曲線方向前進(jìn)時(shí)，被包圍區(qū)域位于曲線的右（左）側(cè)。2023/4/1812整理ppt設(shè)F(s)為一單值有理復(fù)變函數(shù)：它在s平面上的封閉曲線Cs內(nèi)有P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)。封閉曲線Cs不通過(guò)F(s)的任何零點(diǎn)和極點(diǎn)。在F平面上，通過(guò)函數(shù)F(s)的映射，有一條封閉曲線CF與s平面上的封閉曲線Cs對(duì)應(yīng)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)s沿Cs順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周時(shí)，它映射到F平面上相應(yīng)點(diǎn)的軌跡，沿CF順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)的次數(shù)為：k＝Z-P。若k為負(fù)值，則表示CF是沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的。映射定理2023/4/1813整理ppt用頻率法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性映射定理奈氏判據(jù)對(duì)數(shù)判據(jù)穩(wěn)定裕量2023/4/1814整理ppt奈氏判據(jù)（1）－序系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：F(s)的零點(diǎn)等于閉環(huán)特征方程的根或閉環(huán)極點(diǎn)；F(s)的極點(diǎn)等于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。2023/4/1815整理ppt奈氏判據(jù)（2）－奈氏圍線為了判斷F(s)在s平面上有沒(méi)有右零點(diǎn)，在s平面上作一條包圍整個(gè)右半s平面的封閉曲線Cs，Cs由Cs1和Cs2組成，方向?yàn)轫槙r(shí)針。Cs1為從－到＋的整個(gè)虛軸。Cs2為以原點(diǎn)為中心，以R=為半徑的右半圓。2023/4/1816整理ppt奈氏判據(jù)（3）－閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設(shè)Z為被Cs包圍的F(s)的零點(diǎn)數(shù)，即閉環(huán)系統(tǒng)的右極點(diǎn)數(shù)，P為被Cs包圍的F(s)的極點(diǎn)數(shù)，即開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)，Cs通過(guò)F(s)映射到F平面上的軌跡為CF，k為CF順時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)的次數(shù)（在F平面上）。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是被Cs包圍的右半s平面上沒(méi)有閉環(huán)特征根，即Cs不包圍F(s)的零點(diǎn)。即Z=0，k＝－P即當(dāng)s點(diǎn)沿包圍右半平面的封閉曲線Cs順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，通過(guò)函數(shù)F(s)映射到F平面上的軌跡CF逆時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)的次數(shù)等于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的分布已知，很容易求得P，要求出k，必須畫出CF曲線。2023/4/1817整理ppt奈氏判據(jù)（4）－與Cs1相應(yīng)的部分CF曲線在s平面的Cs1上：s＝j(luò)（＝－～＋）在F平面上：F（j）＝1＋G（j）H（j）只要將在GH平面上的G（j）H（j）曲線沿正實(shí)軸方向平移距離1，即得從－到＋變化時(shí)的F（j）圖形。2023/4/1818整理ppt奈氏判據(jù)（5）－與Cs2相應(yīng)的部分CF曲線在s平面的Cs2上：在F平面上：一般n>m：若n＝m，則：即Cs2通過(guò)函數(shù)F(s)映射到F平面上為一個(gè)點(diǎn)（1，j0）（n>m)或（1＋K，j0）（n=m）。2023/4/1819整理ppt奈氏判據(jù)（6）－CF的繪制在GH平面上畫出G（j）H（j）（＝0＋～＋）的曲線，即系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖。由于曲線G（j）H（j）在＝0＋～＋和＝0－～－時(shí)是對(duì)稱實(shí)軸的，所以采用鏡像法可繪出＝－～0－的G（j）H（j）曲線。2023/4/1820整理ppt奈氏判據(jù)（7）－CF的繪制將GH平面上的圖形沿正實(shí)軸方向平移距離為1，所得圖形為G（j）H（j）＋1＝F（j）的圖形。若不移動(dòng)G（j）H（j）曲線，將虛軸向左移距離為1，效果相同。在F平面上，向量F（j）繞原點(diǎn)O’轉(zhuǎn)動(dòng)與在GH平面上向量O’F繞（－1，j0）點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況是相同的。2023/4/1821整理ppt奈氏判據(jù)（8）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是當(dāng)從－變化到＋時(shí)，開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖G（j）H（j）在GH平面上逆時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)的次數(shù)等于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。2023/4/1822整理ppt例4－閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷（1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏圖不包圍（－1，j0）點(diǎn)。2023/4/1823整理ppt例4－閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷（2）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性：當(dāng)＝0時(shí)：G（j）H（j）＝K當(dāng)＝時(shí)：根據(jù)0型系統(tǒng)極坐標(biāo)圖的形狀可繪出奈氏圖。由于它不包圍（－1，j0）點(diǎn)，因而閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2023/4/1824整理ppt關(guān)于奈氏穩(wěn)定判據(jù)的說(shuō)明（1）由于奈氏圖在為正及為負(fù)時(shí)是對(duì)稱于實(shí)軸的，因此通常僅畫它的為正的部分。對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，只要（－1，j0）不被奈氏圖所包圍即可判斷閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對(duì)于有開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)的系統(tǒng)，當(dāng)僅用為正的一部分曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，奈氏圖逆時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)的次數(shù)為P/2次。2023/4/1825整理ppt例5－閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷（1）單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)有一個(gè)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性：2023/4/1826整理ppt例5－閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷（2）系統(tǒng)的幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性完全相同。系統(tǒng)的相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相頻特性對(duì)稱于－90線。二者的極坐標(biāo)圖的形狀相似。1.慣性環(huán)節(jié)2.本系統(tǒng)2023/4/1827整理ppt例5－閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷（3）慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是一個(gè)半圓；本系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖也是一個(gè)半圓，僅相角變化的范圍不同，半圓所處的象限不同，曲線變化方向不同而已。極坐標(biāo)圖逆時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)1/2次。P=1，k/2=P/2，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。此例說(shuō)明有開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)的系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)可能穩(wěn)定。2023/4/1828整理ppt關(guān)于奈氏判據(jù)的說(shuō)明（2－1）映射定理只適用于封閉曲線Cs不通過(guò)F(s)的零極點(diǎn)的情況，因此奈氏圍線應(yīng)不通過(guò)F(s)的零點(diǎn)或極點(diǎn)。如果系統(tǒng)在虛軸上（例如在原點(diǎn)處）有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（為I型以上系統(tǒng)）時(shí)，由于奈氏圍線不能通過(guò)F(s)的極點(diǎn)，因此，應(yīng)使奈氏圍線繞過(guò)虛軸上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。2023/4/1829整理ppt關(guān)于奈氏穩(wěn)定判據(jù)的說(shuō)明（2－2）C1：s由－j沿負(fù)虛軸運(yùn)動(dòng)到j(luò)0－；C2：s沿著以原點(diǎn)為圓心，半徑為?的半圓（?0）從j0－運(yùn)動(dòng)到j(luò)0＋，即s＝?ej，從－/2到＋/2。C3：s沿正虛軸由j0＋

運(yùn)動(dòng)到＋j；C4：s沿著以原點(diǎn)為圓心，以R為半徑的無(wú)窮大半圓（R），從＋j運(yùn)動(dòng)到－j，即s＝ej，從＋/2到－/2。2023/4/1830整理ppt關(guān)于奈氏穩(wěn)定判據(jù)的說(shuō)明（2－3）奈氏圍線包圍了除原點(diǎn)以外的整個(gè)右半s平面。對(duì)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)的N型系統(tǒng)（N1），奈氏穩(wěn)定判據(jù)可敘述為：如果G(s)H(s)在右半s平面上有P個(gè)極點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為s順時(shí)針通過(guò)修改后的奈氏圍線時(shí)，G(s)H(s)軌跡逆時(shí)針?lè)较虬鼑ǎ?，j0）點(diǎn)P次。對(duì)于N型最小相位系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為，當(dāng)s順時(shí)針通過(guò)修改后的奈氏圍線時(shí)，G(s)H(s)軌跡不包圍（－1，j0）點(diǎn)。2023/4/1831整理ppt例6－閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷（1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試判斷K0＝2和K0＝20時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)為I型系統(tǒng)。在原點(diǎn)處有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，無(wú)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)，因此，奈氏圍線需加以修改。2023/4/1832整理ppt例6－閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷（2）在C2上：相應(yīng)于C2部分上變點(diǎn)s在GH平面上映射為：上式說(shuō)明當(dāng)變點(diǎn)s沿C2運(yùn)動(dòng)時(shí)（變化角度為），通過(guò)G(s)H(s)在GH平面上映射的軌跡為圓弧，圓弧的半徑為無(wú)窮大，向量G(s)H(s)繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為N（N型系統(tǒng)）。2023/4/1833整理ppt例6－閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷（3）C1，C3部分上變點(diǎn)s在GH平面上的映射軌跡即奈氏圖，可由開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性轉(zhuǎn)換而得。作K0＝1的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖；當(dāng)K0＝2時(shí)，把橫坐標(biāo)向下移20lg2＝6dB，如圖aa’。當(dāng)K0＝20時(shí)，把橫坐標(biāo)向下移20lg20＝26dB，如圖bb’。相頻特性不隨K0改變。2023/4/1834整理ppt例6－閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷（4）將開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖經(jīng)對(duì)數(shù)－數(shù)轉(zhuǎn)換后可得開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖。將奈氏圖與無(wú)窮大半徑的圓弧相連，即得奈氏軌跡在GH平面上映射的軌跡CGH。當(dāng)K0＝2時(shí)，CGH不包圍（－1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)K0＝20時(shí)，CGH包圍了（－1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)變得不穩(wěn)定了。2023/4/1835整理ppt關(guān)于奈氏穩(wěn)定判據(jù)的說(shuō)明（3－1）N型系統(tǒng)的奈氏圍線在原點(diǎn)附近以無(wú)窮小半圓逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)弧度。相應(yīng)的CGH曲線上的一段軌跡為無(wú)窮大半徑的圓弧，圓弧以順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)轉(zhuǎn)N弧度。即G(s)H(s)＝－N由于奈氏圍線上下對(duì)稱，可以在s平面上只畫為正的奈氏圍線，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

G(s)H(s)軌跡逆時(shí)針?lè)较虬鼑ǎ?，j0）點(diǎn)P/2次。此時(shí)的G(s)H(s)軌跡由開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖和輔助圓構(gòu)成，輔助圓起點(diǎn)在實(shí)軸上，沿半徑為無(wú)窮大的圓弧順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)N個(gè)象限（相應(yīng)的轉(zhuǎn)角增量為－N/2）。2023/4/1836整理ppt關(guān)于奈氏穩(wěn)定判據(jù)的說(shuō)明（3－2）N型系統(tǒng)的輔助圓2023/4/1837整理ppt關(guān)于奈氏穩(wěn)定判據(jù)的說(shuō)明（3－3）對(duì)任意N型最小相位系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖（從0到）及輔助圓構(gòu)成的G(s)H(s)圖不包圍（－1，j0）點(diǎn)。在例6中，當(dāng)K0由2變到20時(shí)，G(s)H(s)軌跡從不包圍（－1，j0）點(diǎn)變?yōu)榘鼑ǎ?，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。使G(s)H(s)軌跡通過(guò)（－1，j0）點(diǎn)的K0為系統(tǒng)的臨界開(kāi)環(huán)增益，在此參數(shù)下系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，（－1，j0）點(diǎn)稱為特征點(diǎn)。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)只需確定奈氏圖與特征點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系，而不必注意奈氏圖的精確形狀。由于奈氏圖與伯德圖有對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此奈氏圖與特征點(diǎn)的關(guān)系也可在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)下反映出來(lái)，因而可直接從開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2023/4/1838整理ppt用頻率法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性映射定理奈氏判據(jù)對(duì)數(shù)判據(jù)穩(wěn)定裕量2023/4/1839整理ppt對(duì)數(shù)判據(jù)－

開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖與開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）G(j)H(j)平面上A=1的單位園，對(duì)應(yīng)于開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上L=0dB的水平線。G(j)H(j)平面上的負(fù)實(shí)軸（＝－180）對(duì)應(yīng)于開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上＝－180的水平線。使L()＝0時(shí)的頻率稱增益交界頻率或開(kāi)環(huán)截止頻率，通常用0表示。2023/4/1840整理ppt對(duì)數(shù)判據(jù)－

開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖與開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系（2）奈氏圖每包圍（－1，j0）點(diǎn)一次，必在A>1的條件下穿越負(fù)實(shí)軸一次。奈氏圖逆時(shí)針?lè)较虬鼑ǎ?，j0）點(diǎn)時(shí)，是自上而下穿越負(fù)實(shí)軸，且相角是增大的，稱為正穿越。奈氏圖順時(shí)針?lè)较虬鼑ǎ?，j0）點(diǎn)時(shí)，是自下而上穿越負(fù)實(shí)軸，且相角是減小的，稱為負(fù)穿越。2023/4/1841整理ppt對(duì)數(shù)判據(jù)－

開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖與開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系（3）奈氏圖每包圍（－1，j0）點(diǎn)一次，必在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()>0的條件下，相頻特性穿越－180線一次。正穿越對(duì)應(yīng)()曲線自下而上穿越－180線；負(fù)穿越對(duì)應(yīng)()曲線自上而下穿越－180線；2023/4/1842整理ppt對(duì)數(shù)判據(jù)

設(shè)0為系統(tǒng)的增益交界頻率（剪切頻率或開(kāi)環(huán)截止頻率），N＋、N-分別為正、負(fù)穿越次數(shù)；P為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：

在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，在<0的頻段內(nèi)，相頻特性穿越－180線的次數(shù)N+－N-＝P/22023/4/1843整理ppt例7－判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：2023/4/1844整理ppt例7－判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）根據(jù)對(duì)數(shù)判據(jù)，要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有N+－N-＝0；本系統(tǒng)中，N+－N-＝0－1＝－1，因此閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。本系統(tǒng)中，無(wú)論K0為何值，開(kāi)環(huán)頻率特性圖上的穿越次數(shù)不變，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，即系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。2023/4/1845整理ppt用頻率法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性映射定理奈氏判據(jù)對(duì)數(shù)判據(jù)穩(wěn)定裕量2023/4/1846整理ppt穩(wěn)定裕量（1）G（j）H（j）曲線通過(guò)特征點(diǎn)時(shí)，最小相位系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)階躍響應(yīng)呈等幅振蕩。在G（j）H（j）曲線不包圍特征點(diǎn)的系統(tǒng)中，G（j）H（j）曲線愈靠近特征點(diǎn)，階躍響應(yīng)振蕩性愈強(qiáng)?？梢杂肎（j）H（j）曲線靠近特征點(diǎn)的程度來(lái)表示系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定程度。通常這種靠近程度以相位裕量和幅值裕量來(lái)度量。2023/4/1847整理ppt相位裕量（1）在增益交界頻率0上，使系